Suite analytique

₁ = F ₂

partout. C'est parce que la différence est une fonction analytique qui disparaît sur un non vide ouvre le réglé U (le domaine de f ), et une fonction analytique qui disparaît sur un ensemble ouvert non vide doit disparaître partout sur son domaine (assumer le domaine est relié par ) et par conséquent doit être identiquement zéro.

Par exemple, si une série entière avec le rayon de r de la convergence environ un de point un du C est indiquée, on peut considérer des suites analytiques des séries entières, c. le de fonctions analytiques F qui sont définies sur de plus grands ensembles que le disque ouvert du de rayon r au un , dans les symboles

{ z : | &minus du z ; un | < r },

et être d'accord avec la série entière donnée sur cela placent. Le r de nombre est maximal dans le sens suivant : là existe toujours un de nombre complexe z avec

| &minus du z ; un | = r

tels qu'aucune suite analytique de la série ne peut être définie au z . Par conséquent il y a une limitation à la suite analytique à de plus grands disques avec le même de centre par . D'une part il peut bien y avoir des suites analytiques à quelques plus grands ensembles. Cela dépend du rayon de convergence quand vous augmentez au sujet du b de points autres que le un ; si c'est plus grand que &minus du r de

; | &minus du b ; un |

alors nous gagnons la droite d'employer cette expansion sur un disque ouvert, partie dont des mensonges en dehors du disque original de la définition. Sinon, il y a une frontière normale sur le cercle de bondissement.

Applications

Une manière commune de définir des fonctions dans l'analyse complexe procède en spécifiant d'abord la fonction sur un petit domaine seulement, et alors le prolongeant par suite analytique. Dans la pratique, cette suite est souvent faite en établissant d'abord une certaine équation fonctionnelle sur le petit domaine et alors using cette équation pour prolonger le domaine. Les exemples sont la fonction de zéta de Riemann et la fonction gamma .

Le concept d'une couverture universelle a été développé la première fois pour définir un domaine normal pour la suite analytique d'une fonction analytique . L'idée de trouver la suite analytique maximale d'une fonction a à leur tour mené au développement de l'idée des surfaces de Riemann de

La série entière définie ci-dessus est généralisée par l'idée d'un germe de . La théorie générale de suite analytique et ses généralisations sont connues en tant que théorie de gerbe de .

Définition formelle d'un germe

Laisser le $f\; de\; (^\; de\; z)=\; \backslash \; sum\_\; \{k=0\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; alpha\_k\; (z-z\_0)\; ^k$ être une série entière convergeant dans le r ( z ₀) de _{du D de disque : = { z dans C : | z - z 0| < r } pour le r > 0. (Note, sans perte de généralité, ici et dans la suite, nous supposerons toujours qu'un maximal un tel r a été choisi, même si c'est ∞.) Noter également qu'il serait équivalent pour commencer par une fonction analytique définie sur un certain petit ouvrent l'ensemble. Nous disons que le g de de vecteur = ( z 0, α0, α1, α2,…) est un germe de du f . Le g 0 de la base de du g est le z 0, la tige de du g est (α0, α1, α2,…) et le g 1 du dessus de du g est α0. Le dessus du g est la valeur du f au z 0, le fond du g .}

Tout g de vecteur = ( z ₀, α₀, α₁,…) est un germe s'il représente une série entière d'une fonction analytique autour du z ₀ avec un certain rayon de r de convergence > 0. Par conséquent, nous pouvons sans risque parler de l'ensemble de $de\; germes\; \backslash \; de\; G$ mathcal.

La topologie de l'ensemble de germes

Laisser le g et le h être les germes . Si | h ₀ - g ₀| < le r où le r est le rayon de convergence du g et si les séries entières que le g et le h représentent définissent des fonctions identiques sur l'intersection des deux domaines, puis de nous indiquent que le h est produit par (ou compatible avec) le g , et nous écrivons le h de ≥ du g . Cet état de compatibilité n'est ni transitif, symétrique ni antisymmétrique. Si nous prolongeons la relation par la transitivité , nous obtenons une relation symétrique, qui est donc également une relation d'équivalence sur des germes (mais pas une commande). Cette prolongation par la transitivité est une définition de suite analytique. La relation d'équivalence sera le $dénoté\; \backslash \; cong$.

Nous pouvons définir une topologie sur le $\backslash \; G$ mathcal. Laisser le r > 0, et laisser $U\_r\; de$

(g) = \ {h \ dans \ G mathcal : g \ GE h, |g_0 - h_0| < r \}.

Le U _r ( g ) d'ensembles, parce que tous r > 0 et $de\; \in \; du\; g\; \backslash \; G$ mathcal définissent une base de des ensembles ouverts pour la topologie sur le $\backslash \; G$ mathcal.

Un composant relié par de $\backslash \; de\; G$ mathcal (c., une classe d'équivalence) s'appelle une gerbe de . Nous notons également que le g ( h ) de φ _{de carte = le h 0 du r} ( g ) de _{du U au C où le r est le rayon de convergence du g , est un diagramme. L'ensemble de tels diagrammes forme un atlas pour le $\backslash \; G$ mathcal, par conséquent le $\backslash \; G$ mathcal est un Riemann extérieur. le $\backslash \; G$ mathcal s'appelle parfois le la fonction analytique universelle .}

Exemples de suite analytique

(z) = \ ^ \ infin \ frac de sum_ {k=1} {(- ^ de 1) {k+1}} {k} (z-1) ^k

est une série entière correspondant au logarithme naturel près du z = 1. Cette série entière peut être transformée en germe g de

= (1, 0, 1, −1, 1, −1, 1, −1,…).

Ce germe a un rayon de convergence de 1, et tellement il y a un S de la gerbe correspondant à lui. C'est la gerbe de la fonction logarithmique.

Le théorème d'unicité pour des fonctions analytiques se prolonge également dans des gerbes de fonctions analytiques : si la gerbe d'une fonction analytique contient le germe zéro (c., la gerbe est mettent uniformément dedans un certain voisinage) alors que la gerbe entière est zéro. Armé avec ce résultat, nous pouvons voir que si nous prenons n'importe quel g de germe du S de gerbe de la fonction logarithmique, comme décrit ci-dessus, et la transformer en f ( z ) de série entière alors que cette fonction aura la propriété cet exp ( f ( z ))=z. Si nous avions décidé d'employer une version du théorème de fonction inverse pour des fonctions analytiques, nous pourrions construire une large variété avec des inverses pour la carte exponentielle, mais nous découvririons qu'ils tous sont représentés par un certain germe dans le S . Dans ce sens, le S est le " ; un inverse" vrai ; de la carte exponentielle.

En littérature plus ancienne, des gerbes de fonctions analytiques se sont appelées les fonctions à valeurs multiples '. Voir la gerbe pour la notion générale.

Théorème de Monodromy

voient également :

du théorème de Monodromy de Le théorème monodromy donne un état suffisant pour l'existence d'une suite analytique directe (c., une prolongation de d'une fonction analytique à une fonction analytique sur un plus grand ensemble).

Supposer que le D est un ensemble ouvert dans le $\backslash \; mathbb\; \{C\}$, et f une fonction analytique sur le D . Si le G est un domaine simplement relié du contenant le D , tel que le f a une suite analytique le long de chaque chemin dans le G , à partir d'un certain de point fixe un dans le D , alors le f a une suite analytique directe au G .

Dans la langue ci-dessus ceci signifie que si le G est un domaine simplement relié, et le S est une gerbe dont l'ensemble de points bas contient le G , alors là existe un de fonction analytique f sur le G dont les germes appartiennent au S .

Théorème d'espace de Hadamard

voient également :

du théorème d'espace d'Ostrowski-Hadamard

Pour une série entière $f\; de$

(^ de z)= \ sum_ {k=0} \ infty \ alpha_k (z-z_0) ^k

avec des coefficients mettre la plupart du temps dedans le sens précis qu'ils disparaissent en dehors d'un ordre du d'exposants k ( i ) avec

$\backslash \; lim\_\; \{I\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{k\; (i+1)\}\; \{+\; de\; k\; (i)\}\; >\; 1\; \backslash \; delta\; \backslash ,$

pour un certain δ fixe > 0, le z ₀ de centre de cercle et avec le rayon le rayon de convergence est une frontière normale. Une telle série entière définit une fonction lacuneuse .

Le théorème de la polyA

Laisser le $f\; (le\; ^\; de\; z)=\; \backslash \; sum\_\; \{k=0\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; alpha\_k\; (z-z\_0)\; ^k$ soient une série entière, puis là existent $\backslash \; epsilon\_k\; \backslash \; dans\; \backslash \; \{-\; 1.1\; \backslash \}$ tels que $f\; de$

(^ de z)= \ sum_ {k=0} \ infty \ epsilon_k \ alpha_k (z-z_0) ^k

a le disque de convergence de f autour du z ₀ comme frontière normale.

La preuve de ce théorème se sert du théorème d'espace de Hadamard.

Voir également

.