Subobject
Dans la théorie de catégorie de , il y a une définition générale du subobject prolongeant l'idée du sous-ensemble et du sous-groupe .
En détail, supposer que nous sommes donnés un certain C de catégorie et des monomorphismes u de
: &rarr du S ; Un v de et de
: &rarr du T ; Un .
Nous disons des facteurs de du u par le v de et écrivons &le du u de
; v
quand u = v∘u&prime de ; pour un certain u&prime de de morphism ; : &rarr du S ; T . Nous écrivons également &equiv du u de
; v
pour dénoter que tous les deux &le du u de
; &le du v et du v ; u .
Ceci définit un &equiv de relation d'équivalence ; sur la collection de monomorphismes avec le A de codomain, et les classes d'équivalence correspondantes de ces monomorphismes sont les subobjects du A . La collection de monomorphismes avec le de codomain A sous le &le de relation ; forme un Preorder , mais la définition d'un subobject s'assure que la collection de subobjects du A est un ordre partiel . (La collection de subobjects d'un objet peut en fait être une classe appropriée ; ceci signifie que la discussion donnée est quelque peu lâche. Si la subobject-collection de chaque objet est un réglé, nous appelons la catégorie bien-actionné par .)
Le concept duel du à un subobject est un objet de quotient de ; c'est-à-dire, pour définir l'objet de quotient de remplacer le monomorphisme de par l'epimorphism de ci-dessus et les flèches renversées.
Exemples
Dans les ensembles de catégorie, un subobject d'A correspond à un sous-ensemble B d'A, ou plutôt à la collection de toutes les cartes des ensembles équipotents à B à l'image exactement B. L'ordre partiel de subobject d'un ensemble dans les ensembles est juste son trellis de sous-ensemble. Les résultats similaires se tiennent dans les groupes , et quelques autres catégories.
Donné un partiellement commandé P de classe, nous pouvons former une catégorie avec des éléments de P s de comme objets et une flèche simple allant d'un objet (élément) à l'autre si la première est inférieur ou égal à la seconde. Si le P a un plus grand élément, l'ordre partiel de subobject de ce plus grand élément sera le P lui-même. C'est en partie parce que toutes les flèches dans une telle catégorie seront des monomorphismes.
Voir également
classificateur de Subobject
.
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