Spirale d\'or

Dans la géométrie , une spirale d'or est une spirale logarithmique dont le b de facteur de croissance est lié au &phi ; , le rapport d'or . Spécifiquement, une spirale d'or obtient plus au loin (ou autre de son origine) par un facteur de &phi ; pour chaque quart de tour elle fait.

Formule

L'équation polaire pour une spirale d'or est la même que pour d'autres spirales logarithmiques mais avec une valeur spéciale du b :

$r = ae^ {} de b \ thêta \,$

$\ thêta = \ frac {1} {} de b \ ln (r/a),$

avec le e de étant la base du normal des logarithmes par étant une vraie constante positive arbitraire, et le b tels que quand &theta de ; est un à angle droit (un quart de tour dans l'une ou l'autre direction) :

$e^ {b \} {droit} de theta_ \ mathrm \, = \ varphi$

Par conséquent, le b est donné près $b de = {\ ln {\} de varphi \ au-dessus de \ theta_ \ mathrm {droit}}$

La valeur numérique du b dépend de si l'à angle droit est mesuré en tant que 90 degrés ou comme &pi ; /2 radian ; et puisque l'angle peut être dans l'une ou l'autre direction, il est le plus facile d'écrire la formule pour la valeur absolue du b (c'est-à-dire, le b peut également être le négatif de cette valeur) :

$|b| = {\ ln {\} de varphi \ plus de 90} = 0.0053468 \,$ pour le &theta ; en degrés ;

$|b| = {\ ln {\} de varphi \ au-dessus de \ pi/2} = 0.306349 \,$ pour le &theta ; en radians.

Une formule alternative pour une spirale logarithmique et d'or est :

$r = ac^ {\} de thêta \,$

là où le constant c est donné par : $c = e^b de \,$

de ce que pour la spirale d'or donne des valeurs du c : $c de = \ ^ de varphi \ frac {1} {90} = 1.0053611$

et $c de = \ ^ \ frac de varphi {2} {\ pi} = 1.358456$

Approximations de la spirale d'or

Il y a plusieurs spirales semblables qu'approximatif, mais ne pas égaler exactement, une spirale d'or. Celles-ci sont souvent confondues avec la spirale d'or.

Par exemple, une spirale d'or peut être rapprochée par un " ; diagramme de tourbillonnement de rectangle, " ; dans ce que les coins opposés des places constituées par des rectangles d'or se développants en spirales sont reliés par des quart-cercles. Le résultat est très semblable à une véritable spirale d'or (voir l'image sur la droite supérieure).

Une autre approximation est un Fibonacci en spirale, qui n'est pas une véritable spirale logarithmique. Chaque quart de tour qu'une spirale de Fibonacci obtient plus au loin pas par &phi ; , mais par un facteur changeant s'est rapporté aux rapports des limites consécutives dans l'ordre de Fibonacci de . Les rapports des limites consécutives de la série de Fibonacci approchent le &phi ; , de sorte que les deux spirales soient très semblables dans l'aspect. (Voir l'image sur la droite inférieure).

Spirale d'or en nature

Bien qu'on lui suggère souvent que la spirale d'or se produise à plusieurs reprises en nature (par exemple les bras de galaxies en spirale ou de têtes de tournesol), cette réclamation est rarement valide à moins que peut-être dans plus conçue des circonstances. Par exemple, on le croit généralement que les coquilles du Nautilus obtiennent plus au loin dans le modèle d'une spirale d'or, et par conséquent est lié aux les deux &phi ; et la série de Fibonacci. Dans le nautilus de vérité les coquilles montrent la croissance de la spirale logarithmique , mais à un taux distinctement différent de celui de la spirale d'or. La raison de ce modèle de croissance est qu'elle permet à l'animal de se développer à un taux constant sans devoir se déformer. Les spirales sont les dispositifs communs en nature, mais il n'y a aucune évidence qu'un nombre simple dicte la forme de chacune de ces spirales. La plus grande idée fausse dans la mystification de la spirale d'or est la prétention incorrecte que toutes les spirales en nature sont en fait la spirale d'or. Tandis qu'on observe souvent des spirales logarithmiques, elles peuvent être des lancements différents, et donc il n'y a aucun " ; " du mirabilis de Spira de ;.

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