Spineur de Dirac

Les solutions à l'équation de Dirac de pour des libre-particules ont la forme d'un avion-ondulent :


$\backslash \; livre\; parpouce\; carré=\; \backslash \; Omega\; e^\; \{-\; I\; p\; \backslash \}\; de\; cdot\; X\; \backslash ,$ là où le $\backslash \; omega$ est un spineur de quatre-composant (spineur de Dirac de ) qui n'est pas une fonction du X .

Ce spineur peut être écrit


$\backslash \; Omega\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; p\}\}\; \{E\; +\; m\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; extrémité\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash ,\; le$
de où le $de\; \backslash $ de\; phi\; \backslash ,$est\; un\; deux-spineur,\; de$
\ sigma \, sont les matrices , le E , le m , le p de Pauli de de
sont l'énergie, la masse, et le quatre-élan de la particule respectivement.

Dérivation d'équation de Dirac

Dirac équation a forme


$\backslash \; est\; parti\; (-\; I\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; +\; \backslash \; bêtas\; m\; \backslash \; droit)\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; I\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; \{\backslash \}\; partiel\; de\; t\; \backslash ,$

Afin de dériver la forme du $de\; quatre-spineur\; \backslash \; omega$ nous devons d'abord noter la valeur du α et du β de matrices :


$\backslash \; alpha\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\; et\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\}\; et\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash quadruple\backslash \; quadruple\; \backslash \; bêta\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; et\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{0\}\; et\; -\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash \; extrémité\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash ,$ Ces deux matrices 4x4 sont liées aux matrices gamma de Dirac de . Noter ce 0 et le I sont les matrices 2x2 ici.

La prochaine étape est de rechercher des solutions de la forme, le $de\; de$
\ livre par pouce carré = \ e^ d'Omega {- I p \ cdot X} , Tandis qu'en même temps ω de division dans deux deux-spineurs :


$\backslash \; Omega\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; chi\; \backslash \; extrémité\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash ,$.

Résultats

Using tout les ci-dessus l'information pour brancher à Dirac équation résultat dans


$E\; \backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; phi\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; chi\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; m\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; et\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; p\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; p\}\; et\; -\; m\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; chi\; \backslash \; extrémité\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash ,$.

Que l'équation de matrice est vraiment deux a couplé des équations :


*$\backslash \; parti\; (E\; -\; m\; \backslash \; droit)\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; parti\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; p\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; chi\; \backslash ,$
*$\backslash \; parti\; (E\; +\; m\; \backslash \; droit)\; \backslash \; chi\; =\; \backslash \; parti\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; p\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; phi\; \backslash ,$

Résolvent 2ème équation pour $\backslash \; chi\; \backslash ,$ et puis un peut puis écrire


$\backslash \; Omega\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; chi\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; p\}\}\; \{E\; +\; m\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; extrémité\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash ,$

Résolvent ęr équation pour $\backslash \; phi\; \backslash ,$ un peut trouver que


$\backslash \; Omega\; =\; \backslash \; commencer\; \{bmatrix\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; chi\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; p\}\}\; \{-\; E\; +\; m\}\; \backslash \; chi\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; chi\; \backslash \; extrémité\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash ,$ Cette solution est utile pour montrer la relation entre l'antiparticule et la particule.

Détails

Deux-spineurs

Les définitions les plus commodes pour les deux-spineurs sont :


$\backslash \; phi^1\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \; \backslash \; 0\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; phi^2\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \; extrémité\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash ,$ et


$\backslash \; chi^1\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; chi^2\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \; \backslash \; 0\; \backslash \; extrémité\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash ,$

Matrices de Pauli

Les matrices de Pauli de sont le

Employant, peut calculer : + = \ sigma_1 p_1 + \ sigma_2 p_2 \ sigma_3 de $\backslash \; mathbf\; de\; de$
{\ sigma \ cdot p} p_3 = \ commencer {le bmatrix} p_3 et p_1 - \ d'I p_2 \ p_1 + I p_2 et - p_3 \ extrémité {bmatrix}

Quatre-spineur pour des particules

Des particules sont définies en tant qu'ayant l'énergie positive du . La normalisation pour le ω de quatre-spineur est choisie de sorte que $\backslash \; omega^\; \backslash poignard\backslash \; Omega\; =\; 2\; E\; \backslash ,$. Ces spineurs sont dénotés comme u : = du $u\; de$

de
(\ mathbf {p}, s) \ racine carrée {E+m} \ commencer {le bmatrix} \ \ de phi^ {(s)} \ \ frac {\ mathbf {\} de sigma \ cdot \ mathbf {p}} {} d'E+m \ phi^ {(s)} \ extrémité {} de bmatrix \, de où s = 1 ou 2 (" de rotation ; up" ; ou " ; down" ;)

Explicitement, $u\; de\; de$
(\ mathbf {p}, 1) = \ racine carrée {E+m} \ commencent {bmatrix} 1 \ \ 0 \ \ \ \ du frac {p_3} {E+m} \ \ frac {p_1 + I p_2} {E+m} \ extrémité {bmatrix} \ quadruple \ mathrm {et} \ quadruple u (\ mathbf {p}, 2) = \ racine carrée {E+m} \ commencent {le bmatrix} 0 \ \ 1 \ \ \ \ du frac {p_1 - I p_2} {E+m} \ \ frac {- p_3} {E+m} \ extrémité {bmatrix}

Quatre-spineur pour des antiparticules

Des antiparticules ayant l'énergie positive $E$ du sont définies comme particules ayant l'énergie négative du et propageant vers l'arrière à temps.

Par conséquent le changement du signe de $E$ et de $\backslash \; de\; mathbf\; \{p\}$ dans le quatre-spineur pour des particules donnera le quatre-spineur pour des antiparticules : = du $v\; de$

de
(\ mathbf {p}, s) \ racine carrée {E+m} \ commencer {le bmatrix} \ frac {\ mathbf {\} de sigma \ cdot \ mathbf {p}} {E+m} \ \ de chi^ {(s)} \ \ chi^ {(s)} \ extrémité {} de bmatrix \, Ici nous choisissons les solutions du $\backslash \; chi$.

Explicitement, $v\; de\; de$
(\ mathbf {p}, 1) = \ racine carrée {E+m} \ commencent {bmatrix} \ \ du frac {p_1 - I p_2} {E+m} \ \ \ de frac {- p_3} {E+m} \ 0 \ \ 1 \ extrémité {bmatrix} \ quadruple \ mathrm {et} \ quadruple v (\ mathbf {p}, 2) = \ racine carrée {E+m} \ commencent {le bmatrix} \ \ du frac {p_3} {E+m} \ \ \ de frac {p_1 + I p_2} {E+m} \ 1 \ \ 0 \ \ \ extrémité {bmatrix}

Relations de perfection

Les relations de perfection pour le u de quatre-spineurs et le v sont $de\; de$
\ sum_ {s=1,2} {_p d'u^ {(s)} \ _p ^ de barre {u} {(s)}} = p \ ! \ ! \ ! /+ m \, $$ \ sum_ {s=1,2} {_p de v^ {(s)} \ _p ^ de barre {v} {(s)}} = p \ ! \ ! \ ! /- m \,
de où $p\; de\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; /=\; \backslash \; p\_\; du\; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; MU\; \backslash ,\; \; de$ ;   ;   ;   ; (voient Feynman barre oblique notation )
$\backslash \; barre\; \{u\}\; =\; u^\; \{\backslash \}\; de\; poignard\; \backslash \; gamma^0\; \backslash ,$

Spineurs de Dirac et l'algèbre de Dirac

Les matrices de Dirac de sont un ensemble de quatre matrices du 4x4 cela sont employés comme rotation et charge opérateurs .

Conventions

Il y a plusieurs choix de la signature et de la représentation ce sont d'usage courant dans la littérature de physique. Les matrices de Dirac sont typiquement écrits comme $\backslash \; gamma^\; \backslash \; mu$ où le $\backslash \; mu$ courses de 0 à 3. Dans cette notation, 0 correspond au temps, et 1 à 3 correspondre à x, à y, et à Z.

+ - - - la signature s'appelle parfois côte ouest métrique, tandis que - + + + est Côte Est métrique. Actuellement + - - - la signature est dans plus d'usage courant et notre exemple emploiera ceci signature. Pour commuter d'un exemple à l'autre, multiplier tous $\backslash \; gamma^\; \backslash \; mu$ par $i$.

Après le choix de la signature, il y a beaucoup de manières de construisant une représentation dans les matrices 4x4, et beaucoup il y a d'usage courant. Afin de faire ceci d'exemple général aussi que possible nous ne spécifierons pas une représentation avant l'étape finale. À ce moment-là nous substituerons dans " de ; chiral" ; ou " de ; Weyl" ; représentation de comme utilisé dans le manuel gradué populaire, une introduction à Quantum Théorie des champs, par le Michael E.

Construction

D'abord nous choisissons une direction de la rotation pour notre électron ou positron. Comme avec l'exemple de l'algèbre de Pauli a discuté au-dessus de, la direction de rotation est définie par un vecteur d'unité dedans 3 dimensions, (a, b, c). Après la convention de Peskin et de Schroeder, l'opérateur de rotation pour la rotation dans (a, b, c) direction est défini comme produit scalaire de (a, b, c) avec le vecteur , I \ gamma^2 \ gamma^3 \ ; de $(\backslash \; ;\; ,\; gamma^3\; \backslash \; gamma^1\; \backslash \; ;\; d\text{'}i\; \backslash \backslash \; ;\; i\; \backslash \; gamma^1\; \backslash \; gamma^2)$

- (\ gamma^1, \ ; \ gamma^2, \ ; \ gamma^3) I \ gamma^1 \ gamma^2 \ gamma^3 :

$\backslash \; sigma\_\; de$

{(a, b, c)} = ia \ gamma^2 \ gamma^3 + ib \ gamma^3 \ gamma^1 + IC \ gamma^1 \ gamma^2

Noter que ce qui précède est une racine de de l'unité , c. En conséquence, nous pouvons faire à un opérateur de projection à partir de lui cela projets dehors le subalgebra de l'algèbre de Dirac qui a la rotation orientée dans (a, b, c) direction : $P\_\; de$

{(a, b, c)} = \ frac {1 + \ sigma_ {(a, b, c)}} 2

Maintenant nous devons choisir une charge, +1 (positron) ou -1 (électron). Après les conventions de Peskin et de Schroeder, l'opérateur pour la charge est $Q\; =\; -\; \backslash \; gamma^0$, c., états d'électron prendre une valeur propre de -1 en ce qui concerne cet opérateur tandis que les états de positron prendront une valeur propre de +1.

Noter que $Q$ est également une racine carrée de l'unité. En outre, $Q$ permute avec le $\backslash \; sigma\_\; \{(a,\; b,\; c)\}$. Ils former un ensemble complet de de opérateurs de permutation pour l'algèbre de Dirac. Continuant notre exemple, nous recherchons une représentation d' électron avec la rotation dans (a, b, c) direction. $Q$ de rotation dans un opérateur de projection pour la charge = -1, nous avons $P\_\; de$

{- Q} = \ = de frac {1 - Q} 2 \ frac {1 + \ gamma^0} 2

L'opérateur de projection pour le spineur que nous cherchons est donc le produit des deux opérateurs de projection nous avons trouvé :

$P\_\; \{(a,\; b,\; c)\}\; \backslash \; ;\; P\_\; \{-\; Q\}$

L'opérateur de projection ci-dessus, quand appliqué à n'importe quel spineur, donnera cette partie du spineur qui correspond à l'état d'électron nous cherchons. Par conséquent, pour nous noter à un spineur 4x1 prenons non zéro colonne de la matrice ci-dessus. Continuant l'exemple, nous mettons (a, b, c) = (0.1) et ont $P\_\; de$

{(0.1)} = \ frac {1+ i \ gamma_1 \ gamma_2} 2

et ainsi notre opérateur de projection désiré est = de $P\; de$

\ frac {1+ i \ gamma^1 \ gamma^2} 2 \ cdot \ frac {1 + \ gamma^0} 2 = \ frac {1+ \ gamma^0 +i \ gamma^1 \ gamma^2 + I \ gamma^0 \ gamma^1 \ gamma^2} 4

Le 4× ; 4 matrices gamma utilisées dans Peskin et Schroeder (représentation de Weyl) sont le $de$

\ gamma_0 = \ commencent {bmatrix} 0&1 \ \ 1&0 \ $\backslash \; gamma\_k$
d'extrémité {bmatrix} = \ commencent {bmatrix} \ de 0& \ sigma^k \ - \ sigma^k& 0 \ extrémité {bmatrix}

pour k=1,2,3 et où le $\backslash \; sigma^i$ sont le 2x2 habituel Matrices de Pauli de . La substitution de ces derniers dedans à P donne = de $P\; de$

\ frac14 \ commencent {bmatrix} 1+ \ sigma^3&1+ \ sigma^3 \ \ 1+ \ sigma^3&1+ \ sigma^3 \ extrémité {bmatrix}

\ frac12 \ commencent {bmatrix} 1&0&1&0 \ \ 0&0&0&0 \ \

1&0&1&0 \ \ 0&0&0&0 \ extrémité {bmatrix}

Notre réponse est la colonne non zéro de la matrice ci-dessus. La division près deux est juste une normalisation. Le premier et les troisième colonnes donnent le même résultat : le $de$

\ est parti|, d'e^- \, + \ frac12 \ droit \ rangle = \ commencer {bmatrix} 1 \ \ 0 \ \ 1 \ \ 0 \ extrémité {bmatrix}

Plus généralement, parce que électrons et positrons avec la rotation orientée dans (a, b, c) direction, l'opérateur de projection est le $de$

\ frac14 \ commencent {bmatrix} 1+c&a-ib& \ P. (a-ib) \ \ et d'a+ib&1-c& \ P. (a-ib) &1+c&a-ib \ \ P. (1-c) &a+ib&1-c \ extrémité {bmatrix}

là où les signes supérieurs sont pour l'électron et les signes inférieurs être pour le positron. Le spineur correspondant peut être pris en tant que non zéro colonne. Puisque $a^2+b^2+c^2=1$ les différentes colonnes sont multiples du même spineur.

Voir également

Équation de Dirac de

.

Random links:

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