Spineur

Dans les mathématiques et la physique , en particulier dans la théorie des spineurs orthogonaux des groupes sont certains genres d'objets mathématiques auxiliaires présentés pour augmenter la notion du vecteur spatial . Ils sont nécessaires parce que la pleine structure des rotations dans un nombre donné de dimensions exige d'un certain nombre supplémentaire de dimensions de le montrer.

Plus formellement, des spineurs peuvent être définis en tant qu'objets géométriques construits d'un espace de vecteur donné doté d'une forme quadratique au moyen d'une quantification algébrique ou < ! --est-ce que ceci peut wikilinked à la page correcte après le disambig ? --> procédé. Le groupe de rotation de agit sur l'espace des spineurs, mais pour une ambiguïté dans le signe de l'action. Les spineurs forment ainsi une représentation projective du groupe de rotation. On peut éclaircir cette ambiguïté de signe en considérant l'espace des spineurs pendant que la représentation de groupe (linéaire) de d'a de la rotation du groupe de rotation de (n). Dans ce point de vue alternatif, plusieurs des propriétés intrinsèques et algébriques des spineurs sont plus clair évidentes, mais le raccordement avec la géométrie spatiale originale est plus obscur. D'une part l'utilisation des grandeurs scalaires du nombre complexe peut être gardée à un minimum.

Historiquement, des spineurs en général ont été découverts par le Élie Cartan dans le 1913 . Plus tard, des spineurs ont été adoptés par la mécanique quantique De afin d'étudier les propriétés du moment angulaire intrinsèque de l'électron et d'autres spineurs des fermions aujourd'hui apprécient un éventail d'applications de physique. Classiquement, des spineurs de dans trois dimensions sont employés pour décrire la rotation de l'électron non-relativistic. Par l'intermédiaire de l'équation de Dirac de , les spineurs de Dirac de sont exigés dans la description mathématique de l'état de Quantum de l'électron relativiste du . Dans la théorie des champs de Quantum , les spineurs décrivent l'état de systèmes relativistes de beaucoup-particule.

Dans les mathématiques, en particulier dans la géométrie différentielle et la géométrie algébrique , les spineurs ont depuis lors de larges applications trouvées à la théorie d'index de , à la géométrie Symplectic , à la théorie de mesure de , à la géométrie algébrique complexe , à l'analyse globale , et au la topologie différentielle algébrique de et de .

Vue d'ensemble

Dans la géométrie classique de l'espace, un vecteur montre un certain comportement quand il est agi au moment par une rotation ou reflété dans un hyperplan. Cependant, dans un certain sens les rotations et les réflexions contiennent l'information géométrique plus fine que peut être exprimé en termes de leurs actions sur des vecteurs. Les spineurs sont des objets construits afin d'entourer plus entièrement cette géométrie. (Voir l'enchevêtrement d'orientation de .)

Il y a essentiellement deux cadres pour regarder la notion d'un spineur.

On est la représentation théorétique de . Dans ce point de vue, on connaît le a priori qu'il y a quelques représentations de l'algèbre de Lie du groupe orthogonal qui ne peut pas être constitué par les constructions habituelles de tenseur. Ces représentations absentes sont alors marquées les représentations de rotation de , et leurs spineurs constituants. Dans cette vue, un spineur doit appartenir à une représentation de la couverture de double de du groupe de rotation AINSI (n, R ), ou plus généralement du a généralisé le groupe orthogonal spécial AINSI (p, q, R ) sur les espaces avec la signature métrique (p, q). Ces double-couvre sont les groupes de Lie , appelés les groupes de rotation de la rotation de (p, q). Toutes les propriétés des spineurs, et leurs applications et objets dérivés, sont manifestés d'abord dans le groupe de rotation.

L'autre point de vue est géométrique. On peut explicitement construire les spineurs, et puis examine comment ils se comportent sous l'action des groupes de Lie appropriés. Cette dernière approche a l'avantage de pouvoir dire avec précision ce qu'est un spineur, sans appeler un certain théorème non-constructive de théorie de représentation. La théorie de représentation doit par la suite compléter les machines géométriques une fois que ce dernier devient trop difficile à manier.

Algèbres de Clifford

voient également :

l'algèbre de Clifford de

La langue des algèbres de Clifford de ref>Named pour le W. fournit une image complète des représentations de rotation de tous les groupes de rotation, et les divers rapports entre ces représentations, par l'intermédiaire de la classification de des algèbres de Clifford. Il enlève le besoin de constructions ad hoc du , en présentant un type d'algèbre géométrique .

Using les propriétés des algèbres de Clifford, il est alors possible de déterminer le nombre et le type de tous les espaces irréductibles des spineurs. Dans cette vue, un spineur est un élément de la représentation fondamentale du n ( C ) de ℓ _{du C d'algèbre de Clifford au-dessus des nombres complexes (ou, plus généralement, de de ℓ de C p, q ( R ) au-dessus des reals). Dans certains cas il apparaît clairement que les spineurs coupent en composants irréductibles sous l'action de la rotation ( p , q ). < ! --Importé de la vieille introduction : nous avons besoin un peu de plus de détail pour n'importe qui qui souhaite savoir ce qu'est un spineur. -->}

En détail, si le V est un espace de vecteur complexe fini-dimensionnel avec le bilinéaire nondegenerate g de forme, l'algèbre de Clifford est l'algèbre, ℓ du C ( V , g ), produit par le V avec le de relation d'anticommutation de x/y + yx de = 2 le g ( X , y ). C'est une version abstraite de l'algèbre produite par les matrices gamma ou les matrices de Pauli de . Le n ( C ) de ℓ _{du C d'algèbre de Clifford est algébriquement isomorphe à la natte d'algèbre (2 ^k , C ) 2 ^{des × du k} ; 2 ^{matrices complexes du k} , si le n = obscurcissent ( V ) = 2 le k ; ou le &oplus de natte d'algèbre (2 ^k , C ) ; Natte (2 ^k , C ) de deux copies 2 ^{des × du k} ; 2 ^{matrices du k} , si le n = obscurcissent ( V ) = 2 le k + 1. Il fait donc dénoter généralement une représentation irréductible unique par Δ du k de la dimension 2^{. Une telle représentation irréductible est, par définition, un espace des spineurs appelés une représentation de rotation de .}}

Le subalgebra des sous-produits enjambés par algèbre de Clifford d'un chiffre pair des vecteurs dans le V contient le ainsi ( V , g ) de l'algèbre de Lie du groupe orthogonal comme subalgebra de mensonge. En conséquence, Δ est une représentation du ainsi ( V , g ). Si le n est impair, cette représentation est irréductible. Si le n est égal, il coupe encore en deux représentations irréductibles le ⊕ Δ_- de Δ = de Δ₊ appelé le moitié-tournent les représentations .

Les représentations irréductibles dans le cas quand le V est un vrai espace de vecteur sont beaucoup plus complexes, et le lecteur est mentionnées l'article d'algèbre de Clifford de pour plus de détails.

Terminologie dans la physique

Le type le plus typique de spineur, le spineur de Dirac de de , est un élément de la représentation fondamentale de l'algèbre complexified de Clifford Cℓ (p, q), dans lequel la rotation de groupe de rotation (p, q) peut être inclus. Sur 2 un k - ou 2 l'espace du k +1-dimensional un spineur de Dirac peut être représenté comme vecteur 2 ^{des nombres complexes du k} (voir le groupe unitaire spécial .) Dans même des dimensions, cette représentation est le réductible une fois pris comme représentation de rotation (p, q) et peut être décomposé en deux : les représentations gauchères et droitières du spineur de Weyl de . En outre, parfois la version non-complexified de Cℓ (p, q) a une plus petite vraie représentation, la représentation du spineur de Majorana de . Si ceci se produit dans même une dimension, la représentation de spineur de Majorana se décomposera parfois en deux représentations du spineur de majorana-Weyl de .

Du tout ceux-ci, seulement la représentation de Dirac existe dans toutes les dimensions. Les spineurs de Dirac et de Weyl sont les représentations complexes tandis que les spineurs de Majorana sont de vraies représentations.

Spineurs dans la théorie de représentation

voient également :

la représentation de spineur de

Une application mathématique principale de la construction des spineurs est de rendre la construction explicite possible des représentations linéaires des algèbres de Lie des groupes orthogonaux spéciaux et par conséquent des représentations des groupes eux-mêmes de spineur de . À un niveau plus profond, des spineurs se sont avérés au coeur des approches au théorème d'index de , et pour fournir des constructions en particulier pour les représentations discrètes de la série des groupes de Semisimple de

Histoire

La forme mathématique la plus générale de spineurs a été découverte par le Élie Cartan dans le 1913 . Le " de mot ; spinor" ; a été inventé par le Paul Ehrenfest dans son travail sur la physique de Quantum .

Des spineurs ont été appliqués la première fois à la physique mathématique par le Wolfgang Pauli dans le 1927 , quand il a présenté les matrices de rotation . L'année suivante , Paul Dirac a découvert entièrement la théorie relativiste du de la rotation de l'électron en montrant le raccordement entre les spineurs et le groupe de Lorentz de . Par les années 30 , Dirac, Piet Hein et d'autres à l'institut de Niels Bohr de ont créé des jeux tels que le Tangloids de pour enseigner et modeler le calcul des spineurs.

Exemples

Quelques exemples simples importants des spineurs dans de basses dimensions résultent de considérer les subalgebras égal-évalués du p , le q ( R ) de ℓ _{du C d'algèbre de Clifford. C'est une algèbre accumulée d'une base orthonormale du n = p + vecteurs mutuellement orthogonaux du q sous l'addition et la multiplication, le p dont avoir la norme +1 et le q dont avoir le &minus de norme ; 1, avec la règle de produit pour les vecteurs de base = de _j de l'e_i. e de < maths > de}

. \ orge à quatre rangs \ {\ commencer {matrice} +1 et, d'i=j \, I \ dedans (\ de 1 \ ldots p) \ -1 et, d'i=j \, I \ dedans (p+1 \ \ de ldots n) \ - e_i d'e_j et I \ pas = j \ extrémité {matrice}

Deux dimensions

Le C ℓ_2,0 ( R ) d'algèbre de Clifford est accumulé d'une base d'une grandeur scalaire d'unité, de 1, deux vecteurs d'unité orthogonaux, de σ ₁ de et de σ ₂ de , et d'un pseudoscalaire i d'unité = σ ₂ de du σ ₁ de . Des définitions ci-dessus, il est évident que ( de σ ₁ de ) ² = ( ₂ de σ de ) ² = 1, et (σ ₂) (σ ₂ de de σ ₁ de de de σ ₁ de ) = - le σ de du σ ₂ de du σ ₁ de du σ ₁ de ₂ = -1.

Même le C ℓ⁰_2,0 ( R ) de subalgebra, enjambé par les éléments de base de égal-évalués par du C ℓ_2,0 ( R ), détermine l'espace des spineurs par l'intermédiaire de ses représentations. Il se compose de vraies combinaisons linéaires de 1 et de σ ₂ de du σ ₁ de . Comme vraie algèbre, Cℓ⁰_2,0 ( R ) est isomorphe au champ du C des nombres complexes . En conséquence, il admet une opération de conjugaison (analogue à conjugaison complexe ), parfois appelée l'inverse de d'un élément de Clifford, défini par le ^* du $de\; (a+b\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2)\; =\; l\text{'}a+b\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash ,$. ce qui, par les relations de Clifford, peut être écrit le ^* du $de\; (a+b\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2)\; =\; l\text{'}a+b\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; sigma\_1\; =\; l\text{'}a-b\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash ,$.

L'action même d'un C ℓ⁰_2,0 de ∈ de γ d'élément de Clifford sur des vecteurs, considérée comme les éléments évalués par 1 de Cℓ_2,0, est déterminée en traçant un général u de vecteur = un σ _{1 1} + un σ de de _{2 2} au $\backslash \; au\; gamma\; de\; de\; vecteur\; (u)\; =\; \backslash \; gamma\; u\; \backslash \; gamma^*\; \backslash ,$, là où γ^* est le conjugé du γ, et le produit est multiplication de Clifford. Dans cette situation, un spineur est un nombre complexe ordinaire. L'action du γ sur un φ de spineur est donnée par multiplication complexe ordinaire : = de $\backslash \; gamma\; de\; (\backslash \; phi)\; \backslash \; gamma\; \backslash \; phi\; \backslash ,$.

Un dispositif important de cette définition est la distinction entre les vecteurs ordinaires et les spineurs, manifestés dans la façon dont les éléments égal-évalués agissent sur chacun de eux dans différentes manières. Généralement un contrôle rapide des relations de Clifford indique que les éléments égal-évalués conjuguer-permutent avec des vecteurs ordinaires : $\backslash \; gamma\; de\; (u)\; =\; \backslash \; gamma\; u\; \backslash \; =\; de\; gamma^*\; \backslash \; gamma^2\; u\; \backslash ,$. D'une part, rivalisant avec l'action sur le γ de spineurs (φ) = le γφ, γ sur des vecteurs ordinaires agit en tant que place son action sur des spineurs.

Considérer, par exemple, l'implication que ceci a pour des rotations plates. La rotation d'un vecteur par un angle de θ correspond à γ² = exp (θ σ ₁σ₂), de sorte que l'action correspondante sur des spineurs soit par l'intermédiaire du γ = du ± exp (θ σ ₁σ₂/2). Généralement en raison du de embranchement logarithmique, il est impossible de choisir un signe d'une manière cohérente. Ainsi la représentation des avion-rotations sur des spineurs est two-valued.

Dans les applications des spineurs dans deux dimensions, il est commun pour exploiter le fait que l'algèbre des éléments égal-évalués (qui est juste l'anneau des nombres complexes) est identique à l'espace des spineurs. Ainsi, par abus de de la langue , les deux sont souvent combinés. On peut alors parler du " ; l'action d'un spineur sur un vector." ; Dans un arrangement général, de tels rapports sont sans signification. Mais dans les dimensions 2 et 3 (comme appliqué, par exemple, à infographies ) ils semblent raisonnable.

;
d'exemples Le
égal-évalué de
de
d'élément $de\; \backslash \; gamma\; =\; \backslash )\; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash ,\; (1\; -\; de\; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash racine\; carrée\{2\}\}\; \backslash \; le$
de correspond à une rotation de vecteur de 90° du &sigma de ; ₁ autour vers le &sigma de ; ₂, qui peut être vérifié par confirmant que

$\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\; (1)\; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash ,\; -\; \backslash \; \backslash \; \{a\_1\; \backslash \; sigma\_1+a\_2\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \}\; \backslash ,\; (1\; -\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; sigma\_1)\; =\; a\_1\; \backslash \; sigma\_2\; -\; a\_2\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash ,$
de il correspond à une rotation de spineur de 45° seulement, de quelque manière que : ) sigma_1 \ sigma_2 \, (1 - de $\backslash \; tfrac\; de\; \{1\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{2\}\}\; \backslash \; \backslash \; \{a\_1+a\_2\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \}\; =\; \backslash \; frac\; \{a\_1+a\_2\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; frac\; \{-\; a\_1+a\_2\}\; 2\}\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2$

même le γ égal-évalué de d'élément = - le σ ₂ de du σ ₁ de correspond à une rotation de vecteur de 180° : de
$(-\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2)\; \backslash ,\; \backslash \; \{a\_1\; \backslash \; sigma\_1\; +\; a\_2\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \}\; \backslash ,\; (-\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; sigma\_1)\; =\; -\; a\_1\; \backslash \; sigma\_1\; -\; a\_2\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash ,$
de mais une rotation de spineur seulement de 90° :

$)\; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash ,\; (-\; \backslash \; \backslash \; \{a\_1\; +\; a\_2\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \}$

a_2 - a_1 \ sigma_1 \ sigma_2

Continuant dessus plus loin, le γ égal-évalué de d'élément = -1 correspond à une rotation de vecteur de 360° : de
$(-\; 1)\; \backslash ,\; \backslash \; \{a\_1\; \backslash \; sigma\_1+a\_2\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \}\; \backslash ,\; (-\; 1)\; =\; a\_1\; \backslash \; sigma\_1+a\_2\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash ,$
de mais une rotation de spineur de 180°.

Trois dimensions spineurs principaux de d'articles de de de

dans trois dimensions , Quaternions et rotation spatiale Le C ℓ_3,0 ( R ) d'algèbre de Clifford est accumulé d'une base d'une grandeur scalaire d'unité, de 1, trois vecteurs d'unité orthogonaux, de σ ₁ de , de σ ₂ de et de σ ₃ de , trois du σ ₂ de du σ ₁ de de bivectors d'unité, du σ ₃ de du σ ₂ de , du σ ₁ de du σ ₃ de et du pseudoscalaire i = σ ₃ de du σ ₂ de du σ ₁ de . Il est franc pour montrer cela (σ ₁ de ) ² = (σ ₂ de ) ² = (σ ₃ de ) ² = 1, et (σ ₂ de de σ ₁ de ) ² = (σ ₃ de de σ ₂ de ) ² = (σ ₁ de de σ ₃ de ) ² = (σ ₃ de de σ ₂ de de σ ₁ de ) ² = -1.

La secondaire-algèbre des éléments égal-évalués se compose des dilatations scalaires, = de $u^\; de\; \{\backslash \; perfection\}\; \backslash \; rho^\; \{(1/2)\}\; u\; \backslash \; rho^\; \{(1/2)\}\; =\; \backslash \; rho\; u,$ et = de $u^\; de\; de\; rotations\; de\; vecteur\; \{\backslash \; perfection\}\; \backslash \; gamma\; \backslash ,\; u\; \backslash ,\; \backslash \; gamma^*,$ là où le $de\; \backslash \; est\; parti.\; \backslash \; commencent\; \{matrice\}\; \backslash \; gamma\; et\; =\; et\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta/2)\; -\; \backslash \; \{a\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; sigma\_3\; +\; a\_2\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash \; sigma\_1\; +\; a\_3\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \}\; \backslash \; péché\; (\backslash \; theta/2)\; \backslash \; \backslash \; et\; =\; et\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta/2)\; -\; I\; \backslash \; \{a\_1\; \backslash \; sigma\_1\; +\; a\_2\; \backslash \; sigma\_2\; +\; a\_3\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash \}\; \backslash \; péché\; (\backslash \; theta/2)\; \backslash \; \backslash \; et\; =\; et\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta/2)\; -\; I\; v\; \backslash \; péché\; (\backslash \; theta/2)\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}\; \backslash \; droit\; \backslash \}$ (1) correspond à une rotation de vecteur par un θ de d'angle autour d'un axe défini par un v de vecteur d'unité = un σ _{1 1} + un σ _{2 2} + un σ ₃ de de ₃

Comme cas spécial, il est facile de voir que si le v = σ ₃ de ceci reproduit la rotation du σ ₂ de du σ ₁ de considérée dans la section précédente ; et qu'une telle rotation laisse les coefficients de vecteurs dans la direction du σ ₃ de invariables, depuis

$(\backslash \; cos\; (\backslash \; theta/2)\; -\; I\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash \; péché\; (\backslash \; theta/2))\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash ,\; (\backslash \; cos\; (\backslash \; theta/2)\; +\; I\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash \; péché\; (\backslash \; theta/2))$

(\ cos^2 (\ theta/2) + \ sin^2 (\ theta/2)) \, \ sigma_3 \ sigma_3.

Le σ ₃ de du σ ₂ de de bivectors, le σ ₁ de du σ ₃ de et le σ ₂ de du σ ₁ de sont en fait le i de Quaternions du de Hamilton de , le j et le k , découvert en 1843 :

$\backslash \; commencent\; \{\}\; de\; matrice\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; =\; -\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; sigma\_3\; =\; -\; I\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; =\; -\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash \; sigma\_1\; =\; -\; I\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; =\; -\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; =\; -\; I\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}$

Avec l'identification des éléments égal-évalués avec le H d'algèbre des quaternions, comme dans le cas des deux-dimensions la seule représentation de l'algèbre des éléments égal-évalués est sur elle-même. Ainsi (les vrais) spineurs dans les trois-dimensions sont des quaternions, et l'action d'un élément égal-évalué sur un spineur est donnée par multiplication quaternionic ordinaire.

Noter que l'expression (1) pour une rotation de vecteur par un θ d'angle, l'angle apparaissant dans le γ a été divisée en deux. Ainsi le γ de rotation de spineur (ψ) = γψ (multiplication quaternionic ordinaire) tournera le ψ de spineur par un un demi- de la mesure d'angle de l'angle de la rotation correspondante de vecteur. De nouveau, le problème de soulever une rotation de vecteur à une rotation de spineur est two-valued : l'expression (1) avec (180° + θ/2) au lieu de θ/2 produira la même rotation de vecteur, mais le négatif de la rotation de spineur.

La représentation de spineur/quaternion des rotations dans 3D devient de plus en plus répandue dans la géométrie d'ordinateur et d'autres applications, en raison de la brièveté notable de la matrice de rotation correspondante, et la simplicité avec laquelle ils peuvent être multipliés ensemble pour calculer l'effet combiné des rotations successives au sujet de différentes haches.

Constructions explicites

Un espace des spineurs peut être construit explicitement. Pour un exemple complet dans la dimension 3, voir les spineurs de dans trois dimensions . Il y a deux différents, mais essentiellement équivalent, manières de procéder. Une approche cherche à identifier les idéaux minimaux pour l'action gauche du Cl ( V , g ) de sur elle-même. Ce sont des sous-espaces de l'algèbre de Clifford du ω du Cl ( V , g ) de de forme, admettant l'action évidente du Cl ( V , g ) de par gauche-multiplication : c : ω de la CX → de ω du X . Il y a deux variations sur ce thème : on peut l'un ou l'autre trouver un ω d'élément primitif qui est un élément Nilpotent du de l'algèbre de Clifford, ou on qui est une quantité . La construction par l'intermédiaire des éléments nilpotent est plus fondamentale dans le sens qu'une quantité peut alors être produite à partir de elle. De cette façon, les représentations de spineur sont identifiées avec certains sous-espaces de l'algèbre de Clifford lui-même. La deuxième approche est de construire un espace de vecteur using un sous-espace distingué du V , et puis spécifie l'action du extérieurement d'algèbre de Clifford à cet espace de vecteur.

Dans l'une ou l'autre approche, la notion fondamentale est celle d'un isotrope W du sous-espace . Chaque construction dépend d'une première liberté en choisissant cet sous-espace. En termes physiques, ceci correspond au fait qu'il n'y a aucun protocole de mesure qui peut spécifier une base de l'espace de rotation, même si une base preferred du V déjà est donné.

Comme précédemment, nous avons laissé ( V , g ) soyons un n - l'espace de vecteur dimensionnel équipé d'une forme bilinéaire nondegenerate. Si le V est un vrai espace de vecteur, alors nous remplaçons le V par son C de ⊗ du V de la complexification et laissons le g dénoter la forme bilinéaire induite sur le C du R de ⊗ _{du V . Laisser le W être un sous-espace maximal du V tels que le g | W} =0 de _{, (c., le W est un sous-espace isotrope maximal). Si le n = 2 le k est égal, alors laisser le &prime du W ; être l'espace isotrope unique complémentaire au W . Si le n = 2 le k +1 est impair, alors laisser le u soit un vecteur d'unité fixe complémentaire au W , et &prime du W ; le sous-espace isotrope unique complémentaire au u de ⊕ du W .}

Idéaux minimaux

Le isotrope W de l'espace a le k de dimension, et (puisqu'elle est isotrope) la multiplication des éléments du W à l'intérieur du Cl ( V , g ) de est le oblique. En conséquence, le k - plier le produit du W avec elle-même, le W ^k, est unidimensionnel. Laisser le ω être un générateur du W ^k. En termes de base du W , le W ₁,…, le W _k, une possibilité est de placer le $de\; \backslash \; omega=w\_1w\_2\; \backslash \; points\; w\_k.$

Noter que ω² = 0 (c., le ω est nilpotent de l'ordre 2), et d'ailleurs, ω du W = 0 pour tout le W de ∈ du W . Les faits suivants peuvent être prouvés facilement : Si le n = 2 le k , puis l'idéal gauche Δ = ω du Cl ( V , g ) de est un idéal gauche minimal. En outre, ceci coupe en deux espaces de rotation Δ₊ = Cl ^evenω et Δ_- = Cl de ^oddω de sur la restriction à l'action même de l'algèbre de Clifford.

Si le n = 2 le k +1, alors l'action du de vecteur d'unité u sur le ω idéal gauche du Cl ( V , g ) de décompose l'espace en paire d'eigenspaces irréductibles isomorphes (tous les deux dénotés par Δ), correspondant au respectif des valeurs propres +1 et -1.

En détail, supposer par exemple que le n est égal. Supposer que ce I est un idéal gauche différent de zéro contenu dans le ω du Cl ( V , g ) de . Nous montrerons que ce I doit en fait être égal au ω du Cl ( V , g ) de en montrant qu'il contient un multiple scalaire non-évanescent de ω.

Fixer un W _i de base du W et d'un complémentaire W _i&prime de base ; du &prime du W ; de sorte que W _j&prime du W _i de ; + ' _j&prime de W ; de W _i = 2&delta ; _ij, et
( _i&prime de W ;)² = 0.

Noter que n'importe quel élément de de I doit avoir le αω de forme, en vertu de notre supposition qui ω de de Cl du ⊂ I ( de V, de g). Laisser le du ∈ I de αω être un tel élément. Using la base choisie, nous pouvons écrire $de$

\ alpha = \ ^ du w_ a_ de sum_ {i_1perfection \ + de ^ \ perfection w_ de points {i_p} \ sum_j B_jw_j

là où les un _{i1… ip} sont les grandeurs scalaires, et le _j de B sont les éléments auxiliaires de l'algèbre de Clifford. Sélectionner n'importe quel monôme un dans cette expansion du α ayant le degré homogène maximal parmi le _i&prime des éléments W ; : $a\; de\; =\; ^\; du\; w\_\; de\; l\text{'}a\_\; \{i\_1\; \backslash \; i\_p\; de\; points\}\; \{i\_1\}\; \backslash \; perfection\; \backslash \; ^\; w\_\; de\; points\; \{i\_p\}\; \backslash \; prime$ (aucune addition implicite) Observent maintenant que produit

$w\_\; \{i\_p\}\; \backslash \; point\; w\_\; \{i\_1\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; Omega\; =\; a\_\; \{\}\; d\text{'}i\_p\; d\text{'}i\_1\; \backslash \; points\; \backslash \; omega$ est un multiple scalaire non-vanishing de ω, au besoin.

Construction extérieure

Laisser = de $\backslash \; wedge^\; \backslash \; cdot\; W\; \backslash \; oplus\_k\; \backslash \; wedge^k\; W$ dénoter l'algèbre extérieure du W considéré comme espace de vecteur. Avec cette installation, il est possible maintenant de définir un spineur :

le &Delta de l'espace ; = &and ; le W de ^. est un espace de spineur du V . Un spineur est un élément de l'espace de spineur.

L'action de l'algèbre de Clifford sur Δ est légèrement compliquée, et en conséquence plusieurs des propriétés de Δ sont obscures. Voir ci-dessous pour des détails.

En particulier, ceci définit seulement un genre d'espace de spineur qui s'avère être une représentation complexe du groupe de rotation. Dans même des dimensions, Δ autre se décompose en paire de représentations complexes irréductibles du groupe de rotation (moitié-tourner les représentations, ou les spineurs de Weyl) par l'intermédiaire du $de\; \backslash \; Delta\_+\; =\; \backslash ,\; du\; wedge^\; \{même\}\; W\; \backslash ,\; \backslash \; =\; de\; Delta\_-\; \backslash \; wedge^\; W$ {impair}. D'ailleurs, localiser de vraies représentations du groupe de rotation dans Δ exige présenter une structure de réalité de pour identifier le vrai sous-espace du complexe V de l'espace de vecteur. La structure de réalité dépend de la signature métrique, et tellement il y a différentes représentations de rotation correspondant à différentes signatures.

Action de l'algèbre de Clifford

Using la même notation comme ci-dessus, nous donnons l'action de l'algèbre de Clifford sur l'espace du S de spineurs le W de = de ∧^., où le W est un sous-espace isotrope maximal du V . Il y a un léger contraste entre le cas quand la dimension du V est égale, et quand elle est impaire. Nous traitons d'abord la caisse si faible ( V ) est égal.

Dans ce cas-ci, il y a un &prime complémentaire unique du W de l'espace ; du W dans le V , tels que &prime du W ; est également isotrope, et le V = &prime du W de ⊕ du W ;. L'action de l'algèbre de Clifford peut être donnée en donnant d'abord l'action d'un élément du V sur le S , et en prouvant ensuite que cette action respecte la relation de Clifford et ainsi se prolonge à un homomorphisme de la pleine algèbre de Clifford dans l'anneau d'Endomorphism de du S (par la propriété universelle de d'algèbres de Clifford). Laisser le V de ∈ du v être un vecteur qui se décompose comme v = &prime du W de ⊕ du W ; relativement à la décomposition du V dans les espaces complémentaires. Action de v sur spineur est donné par

$c\; (v)\; w\_1\; \backslash \; cale\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cale\; w\_n\; =\; (\backslash \; epsilon\; (w)\; +\; I)\; (de\; w\text{'})\; \backslash \; à\; gauche\; (w\_1\; \backslash \; cale\; \backslash \; cdots\; \backslash \; w\_n\; de\; cale\; \backslash \; droit)$ là où i (&prime de W ;) est le produit intérieur avec le &prime du W ; using la forme quadratique non dégénérée pour identifier le V avec le V ^*, et le ε (w) dénote le produit extérieur . On le vérifie facilement que le c ( v ) du c ( u ) de + le 2 g du c ( u ) du c ( v ) = ( u , v ), et ainsi le c respecte les relations de Clifford. En conséquence, le c se prolonge à un homomorphisme de l'algèbre de Clifford à l'anneau d'endomorphism du S .

Au cas où faible ( V ) serait impair, l'espace complémentaire du W dans le V n'est pas isotrope. Au lieu de cela, sélectionner un u de vecteur d'unité orthogonal au W . Alors l'envergure de ⊕ du W ( u ) a un &prime isotrope unique du W de complément ; dans le V . Laisser le c d'action de Clifford être défini en tant qu'avant sur le &prime du W de ⊕ du W ; , et le définir pour (des multiples de) le u près

De nouveau, on vérifie que le c respecte les relations de Clifford, et ainsi monte à un homomorphisme.

Cette définition dépend d'un choix du isotrope de l'espace W dans même le cas, et du choix du isotrope W de l'espace et du de vecteur d'unité u dans le cas impair. Le caractère arbitraire de ce choix représente la liberté dans la définition abstraite, et ainsi les propriétés de rotation du S sont obscures.

Conséquences : structures complexes et symplectic

Si le V de l'espace de vecteur a supplémentaire la structure qui rapporte naturellement à une décomposition de l'espace de vecteur complexified dans deux sous-espaces isotropes maximaux la définition des spineurs de cette façon devient normale. L'exemple principal est le cas où le vrai espace de vecteur $V$ est un espace de vecteur hermitien (le V , h) c. est équipé d'une vraie carte linéaire $J$ avec $J^2\; =\; -1$ (une structure complexe ) et quadratique g de forme = au sujet du h tels que le J est antisymmétrique. Puis $V\; \backslash \; otimes\_\; \{\backslash \}\; de\; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; mathbb\; \{C\}$ se dédouble dans les eigenspaces du $\backslash \; P.\; Ces\; Eigenspaces\; sont\; isotrope\; pour\; lacomplexificationdu\; g\; qui\; peut\; chacun\; être\; identifiée\; avec\; le\; vectorspace\; complexe$ V$et\; son$ \backslash \; barre\; conjugués\; complexes\; V$.\; Parconséquentpour\; a\; le$ hermitien\; de\; l\text{'}espace\; de\; vecteur\; (V,\; h)$le$ \backslash \; wedge^\; \backslash \; cdot\_\; de\; l\text{'}espace\; de\; vecteur\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; V$est\; un\; espace\; de\; spineur\; du\; vrai\; espace\; de\; vecteur\; euclidien\; fondamental.$

Avec l'action de Clifford comme au-dessus mais avec de la contraction using la forme hermitienne, cette construction donne un espace de spineur à chaque point d'une tubulure presque hermitienne et est la raison pour laquelle chaque tubulure presque complexe (en particulier chaque tubulure Symplectic de ) a une structure de SpinC de . De même, chaque paquet complexe de vecteur sur une tubulure porte une structure de SpinC.

Décomposition de Clebsch-Gordan

Un certain nombre de décompositions de Clebsch-Gordan de sont possibles sur le produit de tenseur d'une représentation de rotation avec des autres. Ces décompositions expriment le produit de tenseur en termes de représentations alternatives du groupe orthogonal.

Pour le vrai ou complexe cas, les représentations alternatives sont
V , la représentation de Γ_r = de ∧^r du groupe orthogonal sur les tenseurs obliques du luxuriant r .

En outre, pour les vrais groupes orthogonaux, il y a trois
s caractères (représentations unidimensionnelles) de σ₊ : → d'O ( p , q ) {- 1, +1} donné par σ₊(R) = -1 si le R renverse l'orientation spatiale du V , +1 si le R préserve l'orientation spatiale du V . ( le caractère spatial .)
σ_- : → d'O ( p , q ) {- 1, +1} donné par σ_-(R) = -1 si le R renverse l'orientation temporelle du V , +1 si le R préserve l'orientation temporelle du V . ( le caractère temporel .)
σ = σ₊σ_-. ( le caractère d'orientation.)

La décomposition de Clebsch-Gordan permet à on de définir, entre autres :
Une action des spineurs sur des vecteurs.
Un métrique hermitien sur les représentations complexes des vrais groupes de rotation.
Un opérateur de Dirac de sur chaque représentation de rotation.

Même dimensions

Si n = 2 k est égal, alors tenseur produit de Δ avec Contragredient représentation se décompose en tant que

$\backslash \; delta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta^*\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\_\; \{p=0\}\; ^n\; \backslash \; Gamma\_p\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\_\; \{p=0\}\; ^\; \{k-1\}\; \backslash \; à\; gauche\; (\backslash \; Gamma\_p\; \backslash \; oplus\; \backslash \; sigma\; \backslash \; Gamma\_p\; \backslash )\; droit\; \backslash ,\; \backslash \; oplus\; \backslash \; Gamma\_k$ ce qui peut être vu explicitement en considérant (dans la construction explicite) l'action de l'algèbre de Clifford sur le βω&prime décomposable de ⊗ de αω d'éléments ;. La formulation extrême droite suit des propriétés de transformation de l'opérateur d'étoile de Hodge de . Noter que sur la restriction même à l'algèbre de Clifford, le ⊕ appareillé σΓ_p des summands Γ_p sont isomorphe, mais sous la pleine algèbre de Clifford elles ne sont pas.

Il y a une identification normale de Δ avec sa représentation contragredient par l'intermédiaire de la conjugaison dans l'algèbre de Clifford : ^*= \ Omega de $de\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; Omega)\; (\backslash \; alpha^*).$ Ainsi Δ⊗Δ se décompose également de la façon ci-dessus. En outre, sous même l'algèbre de Clifford, moitié-tourner les représentations décomposent le

Pour les représentations complexes des vraies algèbres de Clifford, la structure associée de réalité de sur l'algèbre de Clifford de complexe descend à l'espace des spineurs (par l'intermédiaire de la construction explicite en termes d'idéaux minimaux, par exemple). De cette façon, nous obtenons le $\backslash \; barre\; conjugués\; complexes\; \{\backslash \; delta\}$ de la représentation Δ, et l'isomorphisme suivant est vu pour se tenir :

$\backslash \; barre\; \{\backslash \}\; de\; delta\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; Delta^*$

En particulier, noter que la représentation Δ du groupe orthochronous de rotation est une représentation unitaire . Généralement là sont Clebsch-Gordan décomposition

$\backslash \; delta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; barre\; \{\backslash \}\; de\; delta\; \backslash \; ^k\; de\; cong\; \backslash \; bigoplus\_\; \{p=0\}\; \backslash \; estparti(\backslash \; sigma\_-\; \backslash \; Gamma\_p\; \backslash \; oplus\; \backslash \; sigma\_+\; \backslash \; Gamma\_p\; \backslash \; droit).$

Dans la signature métrique ( p , q ), les isomorphisms suivants se tiennent pour le conjugué moitié-tournent le
représentations Si le q est égal, puis $\backslash \; barre\; \{\backslash \; delta\}\; \_+\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; otimes\; \backslash \; -\; \_\; de\; Delta\_+^*$ et de $\backslash \; barre\; \{\backslash \; delta\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\_-^*.$
Si le q est impair, puis $\backslash \; barre\; \{\backslash \; delta\}\; \_+\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; otimes\; \backslash \; -\; \_\; de\; Delta\_-^*$ et de $\backslash \; barre\; \{\backslash \; delta\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\_+^*.$ Using ces isomorphisms, on peut déduire des décompositions analogues pour les produits de tenseur du moitié-tournent le $de\; représentations\; \backslash \; Delta\_\; \backslash \; P.\; \backslash \; otimes\; \backslash \; \_\; de\; barre\; \{\backslash \; delta\}\; \backslash \; pm$.

Dimensions impaires

Si le n = 2 le k +1 est impair, puis $\backslash \; delta\; \backslash \; otimes\; de\; \backslash \; Delta^*\; \backslash \; ^k\; de\; cong\; \backslash \; bigoplus\_\; \{p=0\}\; \backslash \; Gamma\_\; \{2p\}.$ Dans vrai cas, de nouveau isomorphisme se tient

$\backslash \; barre\; \{\backslash \}\; de\; delta\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; Delta^*.$ Par conséquent là est Clebsch-Gordan décomposition (encore using l'étoile de Hodge à dualize) donné par

$\backslash \; delta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; barre\; \{\backslash \}\; de\; delta\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; Gamma\_0\; \backslash \; oplus\; \backslash \; sigma\_+\; \backslash \; Gamma\_1\; \backslash \; oplus\; \backslash \; points\; \backslash \; oplus\; \backslash \; sigma\_\; \backslash \; P.\; \backslash \; Gamma\_k$

Conséquences

Il y a beaucoup de conséquences de grande envergure des décompositions de Clebsch-Gordan des espaces de spineur. Plus le principe fondamental de ces derniers concerne la théorie de Dirac de l'électron, parmi lequel les conditions de base sont le
Façon de considérant produit de deux spineur $\backslash \; barre\; \{\backslash \}\; de\; phi\; \backslash \; psi$ comme grandeur scalaire. En termes physiques, un spineur devrait déterminer une amplitude de probabilité de pour l'état de Quantum .
Façon de considérant produit $\backslash \; barre\; \{\backslash \}\; de\; phi\; \backslash \; psi$ comme vecteur. C'est un dispositif essentiel de la théorie de Dirac, qui attache le formalisme de spineur à la géométrie de l'espace physique.
Une façon de considérer un spineur comme agissant sur un vecteur, par une expression telle que le $\backslash \; livre\; parpouce\; carrév\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}$ ;. En termes physiques, c'est représente un courant électrique de la théorie électromagnétique du de Maxwell, ou plus généralement d'une probabilité courant de .

Résumé dans de basses dimensions

dans 1 dimension (un exemple insignifiant), la représentation simple de spineur est formellement Majorana, une vraie représentation à une dimension du qui ne transforme pas.

dans 2 dimensions euclidiennes, le spineur gaucher et droitier de Weyl sont 1 des nombres complexes complexes des représentations composant c. qui obtiennent multipliés par le $e^\; \{\backslash \; P.\; i\; \backslash \; phi/2\}$ sous une rotation par le $d\text{'}angle\; \backslash \; phi$.

dans 3 dimensions euclidiennes, la représentation simple de spineur est à deux dimensions et Pseudoreal . L'existence des spineurs dans 3 dimensions suit de l'isomorphisme du $SU\; des\; groupes\; (2)\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathit\; \{rotation\}\; (3)$ qui nous permet de définir l'action du $Spin\; (3)$ sur une colonne de composant de complexe 2 (un spineur) ; les générateurs du $SU\; (2)$ peut être écrit en tant que matrices de Pauli de .

dans 4 dimensions euclidiennes, l'isomorphisme correspondant est le $Spin\; (4)\; \backslash \; SU\; équivalent\; (2)\; \backslash \; périodes\; SU\; (2)$. Il y a deux spineurs composants de Pseudoreal 2 inequivalent Weyl de et chacune de elles transforme au-dessous de un du $SU\; (2)$ factorise seulement.

dans 5 dimensions euclidiennes, l'isomorphisme approprié est le $Spin\; (5)\; \backslash \; USp\; équivalent\; (4)\; \backslash \; PS\; équivalent\; (2)$ qui implique que la représentation simple de spineur est 4 dimensionnels et pseudoreal.

dans 6 dimensions euclidiennes, le $Spin\; d\text{'}isomorphisme\; (6)\; \backslash \; SU\; équivalent\; (4)$ garantit qu'il y a deux 4 représentations complexes dimensionnelles de Weyl qui sont les conjugés complexes d'un des autres.

dans 7 dimensions euclidiennes, la représentation simple de spineur est 8 dimensionnels et vrais ; aucuns isomorphisms à une algèbre de Lie d'une autre série (A ou C) existent de cette dimension dessus.

dans 8 dimensions euclidiennes, là sont deux vraies 8 représentations dimensionnelles de Weyl-Majorana qui sont liées à la vraie représentation dimensionnelle du vecteur 8 par une propriété spéciale de rotation de (8) a appelé le Triality .

dans des dimensions de $d+8$, le nombre de représentations irréductibles distinctes de spineur et leur réalité (si elles sont vraies, pseudoreal, ou complexe) imite la structure dans des dimensions de $d$, mais leurs dimensions sont 16 fois plus grand ; ceci permet à on de comprendre tous les cas restants. Voir la périodicité de Bott de .

dans les spacetimes avec $p$ spatial et $q$ temps-comme des directions, les dimensions vues comme dimensions au-dessus des nombres complexes coïncident avec le cas de l'espace euclidien de $p+q$-dimensional, mais les projections de réalité imitent la structure dans le $|p-q|Dimensions\; euclidiennes\; de$. Par exemple, dans 3+1 dimensions il y a le complexe de Weyl de deux non équivalents (comme dedans 2 dimensions) 2 spineurs de composant (comme dedans 4 dimensions), qui suit du $SL\; d\text{'}isomorphisme\; (2,\; C)\; \backslash \; rotation\; équivalente\; (3.$

Voir également

paquet de spineur
Spineur pur
Anyon
Twistor

.

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