Sphère exotique

Dans les mathématiques , une sphère exotique est une tubulure différentiable qui est le homéomorphe au euclidien standard n - la sphère , mais pas le Diffeomorphic . Cela signifie qu'un si divers M est une sphère d'un point de vue topologique, mais pas du point de vue de sa structure différentielle . Ainsi, si le M a le n de dimension, il y a une homéomorphie h de

: &rarr du M ; n , de ^{du S}

mais aucun un tel h n'est un diffeomorphism.

Les premières sphères exotiques ont été construites près dans le n de dimension = 7 comme S ³-bundles au-dessus du S ⁴. Il a prouvé que sphères exotiques de orientées par les 7 sont les éléments non triviaux d'un groupe cyclique d'ordre 28 sous l'opération de la somme reliée par . Dans n'importe quelle dimension a prouvé que les classes de diffeomorphism des sphères exotiques orientées forment les éléments non triviaux d'un monoîde abélien sous la somme reliée, qui est un groupe abélien fini du si la dimension n'est pas 4.

Le monoîde des structures douces sur des sphères dans une dimension donnée

Le monoîde des structures douces sur le n - sphères est la collection de doux orienté n - tubulures qui sont homéomorphes au n - sphère, prise au diffeomorphism de orientation-préservation. L'opération de monoîde est l'opération reliée de somme. Si le n ≠4, ce monoîde est un groupe et est isomorphe au n de Θ_{de groupe du h - classes de Cobordism du orienté '' n '' homotopy - les sphères , qui est fini et abélien. Dans la dimension 4 presque rien n'est connu au sujet du monoîde des sphères lisses, au delà des faits qui il est fini ou comptable infini, et abélien, bien qu'on le suspecte pour être infini ; voir la section sur les torsions tout de Gluck de le homotopy n - sphères être homéomorphe au n - sphère par la conjecture généralisée de Poincaré de , prouvée par le Freedman de Michael de dans la dimension 4, le Stephen Smale dans des dimensions plus élevées, et le Grigori Perelman dans la dimension 3. Dans la dimension 3, Edwin Moise a montré que chaque tubulure topologique a une structure douce essentiellement unique, ainsi le monoîde des structures douces sur la sphère 3 est insignifiant. Le n de Θ_{de groupe a un sous-groupe cyclique n +1} de _{du point d'ébullition de}

représenté par le n - sphères qui bondissent les tubulures parallélisables les structures du n +1 et le quotient de _{du point d'ébullition de}
Θ n +1 de _{du point d'ébullition de du n}/de
sont décrits séparément dans le papier.
Le n +1 de _{du point d'ébullition groupe est insignifiant si le n est égal. Si le n est 1 mod 4 il a l'ordre 1 ou 2 ; en particulier il a l'ordre 1 si le n est 1, 5, 13, 29, ou 61, et montré qu'il a l'ordre 2 si mod 4 du n =1 n'est pas du k &minus de la forme 2^{; 3. L'ordre du n}} du point d'ébullition _{4 de pour le du n ; ≥ ; 2 est}
$2^ {2n-2} (2^ {2n-1} - 1) de B \, \ !$
de là où le B est le numérateur |4 n du n /du B _{2 |, et le n} du B _{2 est un nombre de Bernoulli . (La formule dans la littérature topologique diffère légèrement parce que les topologists emploient une convention différente pour appeler des nombres de Bernoulli ; cet article emploie la convention de théoriciens de nombre.)}
Le n +1 de _{du point d'ébullition de du n}/de Θ_{de groupe de quotient a une description en termes de groupes stables de Homotopy de de modulo des sphères l'image du J-homomorphisme ). Plus avec précision il y a un &Theta injectif de de carte ; &rarr du n +1} de _{du point d'ébullition de du n}/de _{; &pi ; J du S /du n}^{de _{là où le S}} du n ^{de π_{est le groupe homotopy stable de Th du n de sphères, et le J est l'image du J - homomorphisme. s'est avéré que c'est un isomorphisme si le n n'est pas du k}}&minus de la forme 2^{; 2, et si le n est de cette forme son image est le groupe entier ou un sous-groupe de l'index 2, et est un sous-groupe de l'index 2 dans les cas premiers quand le n est 2, 6, 14, 30, ou 62.}
L'ordre du n de Θ_{de groupe est donné à cette table de (sauf qu'à l'entrée pour le n =19 est erroné par un facteur de 2 en leur papier).}

Exemples explicites des sphères exotiques
Un des premiers exemples d'une sphère exotique a trouvé par Milnor était le suivant : Prendre deux copies des × de ⁴ du '' B '' ; S ³, chacun avec le S ³× de la frontière ; Le S ³, et les collent ensemble par l'identification ( un , b ) dans la frontière avec ( un , un ^{&minus de Ba ² ; 1}), (où nous identifions chaque S ³ avec le groupe de Quaternions d'unité. La tubulure en résultant a une structure douce normale et est homéomorphe au S ⁷, mais n'est pas diffeomorphic au S ⁷. Milnor a indiqué au sujet de ces exemples : " ; Quand je suis venu sur un tel exemple au milieu des années 50, j'ai été très déconcerté et n'ai pas su quoi faire de lui. Au début, j'ai pensé que j'avais trouvé un contre-exemple à la conjecture généralisée de Poincaré dans la dimension sept. Mais l'étude soigneuse a prouvé que la tubulure était vraiment homéomorphe à S⁷. Ainsi, là existe une structure différentiable sur S ⁷ non diffeomorphic à l'one." standard ; Comme montré par (voir également) l'intersection de la tubulure complexe des points dans satisfaire du C ⁵
un ² + b ² + c ² + ^{du d 3} + &minus du k du e ^{6 ; 1} = 0
avec une petite sphère autour de l'origine pour le k = 1, 2,…, 28 donne chacune des 28 structures douces possibles sur la sphère 7 orientée.

Sphères Twisted
Donné un (de orientation-préservation) f de diffeomorphism : ; Le n −1 de ^{du S du n −1}→ de ^{du S , collant les frontières de deux copies du standard n} de ^{du D de disque ensemble par $f$ rapporte une tubulure appelée une sphère tordue par (avec f de torsion de ). C'est équivalent homotopy à la sphère standard du n parce que la carte de collage est homotope à l'identité (étant un diffeomorphism, par conséquent un degré de orientation-préservation 1), mais pas en général diffeomorphic à la sphère standard. Arrangement $\ Gamma_n$ pour être groupe de twisted n sphère (sous relier la somme), une obtient exact ordre

$\ pi_0 \, \ texte {Diff} ^+ (D^n) \ à \ pi_0 \, \ texte {Diff} ^+ () de S^ {n-1} \ \ Gamma_n \ à 0 \, \ !$ Pour le du n ; > ; ; 4, chaque sphère exotique est diffeomorphic à une sphère twisted, un résultat prouvé par le Stephen Smale . (En revanche, dans l'arrangement de PL, par l'intermédiaire de prolongation radiale la carte extrême gauche est sur : il n'y a aucune sphère PL-tordue.) Le n de Γ_{de groupe des sphères twisted est toujours isomorphe au n} de Θ_{de groupe. Les notations sont différentes, parce qu'on ne l'a pas connu d'abord cela qu'elles étaient les mêmes pour le n =3 ou 4 ; par exemple, le n =3 de cas est équivalent à la conjecture de Poincare.}
Applications
Si le M est une PL-tubulure, alors le problème de trouver les structures douces compatibles sur le M dépend de la connaissance du k de Γ_{de groupes} = k}} de Θ_{. Plus avec précision, les obstructions à l'existence de n'importe quelle structure douce se situent dans le k+1} ( M de H_{de groupes, k} de Γ_{) pour différentes valeurs du k , alors que si une structure si douce existe alors tout de telles structures douces peuvent être classifiées using le k} ( M de H_{de groupes, k} de Γ_{). En particulier le k} de Γ_{de groupes disparaissent si < du k ; 7, ainsi toutes les tubulures de PL de la dimension tout au plus 7 ont une structure douce, qui est essentiellement unique si la tubulure a la dimension tout au plus 6. Les groupes abéliens finis suivants sont essentiellement identiques :
Le n de Θ_{de groupe des classes de h-cobordism du homotopy orienté n - sphères.
Le groupe de classes de h-cobordism du orienté n - sphères.
Le n} de Γ_{de groupe des sphères orientées twisted du n .
Le homotopy n (PL/DIFF) de π_{de groupe
Si n ≠3, le homotopy n (TOP/DIFF) de π_{(si ce groupe du n =3 a l'ordre 2 ; voir le Kirby-Siebenmann invariable).
Le groupe de structures douces d'un orienté n - sphère de PL.
Si n ≠4, le groupe de structures douces d'un topologique orienté n - sphère.}}}

Torsions de Gluck
Dans 4 dimensions on ne le connaît pas s'il y a des structures douces exotiques sur la sphère 4. Le rapport qu'elles n'existent pas est connu comme " ; conjecture" doux de Poincare ;. Quelques candidats pour de telles structures sont donnés par les torsions de Gluck de . Ceux-ci sont construits en coupant un voisinage tubulaire d'un de 2 sphères S dans le S ⁴ et en le collant en arrière en employant un diffeomorphism de son S ²× de frontière ; S ¹. Le résultat est toujours homéomorphe au S ⁴. Mais dans la plupart des cas il est inconnu si le résultat soit diffeomorphic au S ⁴. (Si la sphère 2 unknotted, ou donné en tournant un noeud dans la sphère 3, alors la torsion de Gluck est connue pour être diffeomorphic au S ⁴, mais il y a plently d'autres manières de nouer une sphère 2 dans le S ⁴.)
Voir également

R⁴ exotique
Kervaire invariable .
Random links: Municipalité de Skurup | Edouard Smith-Stanley, 13ème comte de Derby | Catherine E. Coulson | de Katarzyna Kostka | J'ai épousé une sorcière | Esfera_exótica}