Sphère de Bloch

Dans la mécanique quantique De , la sphère de Bloch de est une représentation géométrique de l'espace pur de l'état d'un système mécanique de quantum à deux niveaux de baptisé du nom du Felix Bloch de physicien. Alternativement, c'est l'espace d'état pur d'un 1 registre de quantum de Qubit . La sphère de Bloch est réellement géométriquement une sphère et la correspondance entre les éléments de la sphère de Bloch et les états purs peut être explicitement donnée. Sous la forme généralisée, la sphère de Bloch peut également se rapporter à l'espace analogue d'un n - système de quantum de niveau.

La mécanique quantique Est mathématiquement formulée dans l'espace de Hilbert ou l'espace de Hilbert projectif . L'espace des états purs d'un système de quantum est donné par les rayons dans l'espace de Hilbert (le " ; points" ; de l'espace de Hilbert projectif). L'espace des rayons dans n'importe quel espace de vecteur est un espace projectif , et en particulier, l'espace des rayons dans un espace de Hilbert bidimensionnel est la ligne projective complexe , qui est isomorphe à une sphère. Chaque paire de points antipodaux sur la sphère de Bloch correspond aux paires exclusives d'a mutuellement - d'états de la particule, à savoir, de rotation vers le haut et de rotation vers le bas pour une expérience de Poupe-Gerlach de orientée le long d'un axe particulier dans l'espace physique.

Le normal métrique sur la sphère de Bloch est le Fubini-Étudient métrique.

Le qubit

Pour montrer cette correspondance explicitement, considérer la description de qubit de la sphère de Bloch ; n'importe quel

d'état \ psi

peut être écrit pendant qu'une superposition complexe du Ket dirige le

de |0 \ rangle

|1 \ rangle

; d'ailleurs depuis des facteurs de phase ne pas affecter l'état physique, nous peut prendre la représentation de sorte que le coefficient de

|0 \ rangle

est vrai et non négatif. Ainsi le

\ psi

a une représentation en tant que

\ rangle = \ cos \ thêta \, |0 \ rangle + e^ {} d'I \ phi \ péché \ thêta \,|1 \ = de rangle \ quadruple \ quadruple \ cos \ thêta \, |0 \ rangle \, + \, (\) de cos \ phi + d'I \ péché \ phi \, \ péché \ thêta \,|1 \ rangle

avec le

0 \ leq \ thêta < \, de frac {\ pi} {2} \ quadruple 0 \ leq \ phi de < 2 \ pi.

Excepté dans le $de cas \ psi$ est un du $de vecteurs de ket |0 \ rangle$ ou $|1 \ rangle$ , la représentation est unique, c. le $de paramètres \ phi \,$ et $\ thêta \, les$ spécifient uniquement un point sur la sphère d'unité du $\ du ^ du mathbb {R} {3}$ , à savoir le $de coordonnées de point dont (x, y, z)$ sont $de \ commencent {matrice} x et = et \ péché 2 \ thêta \ périodes \ cos \ \ de phi \ y et = et \ péché 2 \ thêta \ périodes \ \ de péché \ phi \ z et = et \ cos 2 \ thêta. \ extrémité {matrice}$

Une généralisation pour les états purs

Considérer un n - système mécanique de quantum de niveau. Ce système est décrit par un n - le dimensionnel n de _{du H de l'espace de Hilbert . L'espace d'état pur est par définition l'ensemble de rayons à une dimension du n} de _{du H . Laisser le U ('' n '') soit le groupe de Lie de matrices unitaires du n de taille. Alors l'espace d'état pur du n} de _{du H peut être identifié avec le $\ operatorname compacts {U} (n)/(\ operatorname {U} (n-1) \ périodes \ operatorname {U} (1)).$}

Pour prouver ce fait, noter qu'il y a une action de groupe normale de du d'U ( n ) sur l'ensemble d'états du n de _{du H . Cette action est continue et le transitif sur les états purs. Pour n'importe quel ψ d'état, le groupe d'isotropie de de ψ, (défini comme ensemble de g d'éléments d'U ( n ) tels que ψ de g = ψ) est isomorphe au groupe de produits $de \ operatorname {U} (n-1) \ périodes \ operatorname {U} (1).$}

En termes d'algèbre linéaire, ceci peut être justifié comme suit. N'importe quel g de cette nécessité invariable de ψ de feuilles d'U ( n ) ont le ψ comme vecteur propre . Puisque la valeur propre correspondante doit être un nombre complexe du module 1, ceci donne U (1) facteur du groupe d'isotropie. L'autre partie du groupe d'isotropie parametrized par les matrices unitaires sur le complément orthogonal du ψ, qui est isomorphe à U ( n - 1). De ceci l'affirmation du théorème suit des faits de base sur des actions de groupe transitives des groupes compacts.

Le fait important pour noter ci-dessus est que le groupe unitaire de agit transitif sur les états purs.

Maintenant (la vraie) dimension d'U ( n ) est le n ². Il est facile voir ce depuis le $exponentiel A de de carte \ e^ de mapsto {I A}$ est une homéomorphie locale de l'espace des matrices complexes d'individu-adjoint à U ( n ). L'espace des matrices complexes d'individu-adjoint a le vrai n ² de dimension. La vraie dimension de l'espace d'état pur du n de _{du H est 2 &minus du n ; 2.}

En fait, $n^2 de - ((n-1) ^2 +1) = 2 n - 2. \ quadruple$

Appliquons ceci pour considérer la vraie dimension d'un registre de quantum de qubit du m . L'espace de Hilbert correspondant a le m de la dimension 2^{. La vraie dimension de l'espace d'état pur d'un registre de quantum de qubit du m est 2^{&minus du m +1} ; 2.}

La géométrie des opérateurs de densité

Les formulations de la mécanique quantique en termes d'états purs sont proportionnées pour les systèmes d'isolement ; en général des systèmes mécaniques de quantum doivent être décrits en termes d'opérateurs de densité . Cependant, alors que la sphère de Bloch paramatrizes non seulement les états purs mais les états mélangés pour 2 systèmes de niveau, parce que des états des dimensions plus élevées il y a difficulté en prolongeant ceci aux états mélangés. La description topologique est compliquée par le fait que le groupe unitaire n'agit pas transitif sur des opérateurs de densité. Les orbites d'ailleurs sont extrêmement diverses comme suit de l'observation suivante :

Théorème . Supposer que le A est un opérateur de densité sur un système mécanique de quantum de niveau du n dont les valeurs propres distinctes sont μ₁,…, le k de μ_{avec le n ₁ de multiplicities,…, le k} de _{du n . Puis le groupe de V d'opérateurs unitaires tels que V A V * = le A est isomorphe (comme mensonge groupe) au $de \ à operatorname {U} (n_1) \ aux périodes \ aux cdots \ aux périodes \ operatorname {U} (n_k).$ En particulier l'orbite du A est isomorphe au $de \ à operatorname {U} (n) (\ operatorname {U} (n_1) \ périodes \ cdots \ périodes \ operatorname {U} (n_k)).$}

Nous notons ici que, dans la littérature, on peut trouver le type paramétrisations de non-Bloch de déclarer (mélangés) qui généralisent aux dimensions plus haut que 2.

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