Spectre d\'un anneau

Dans l'algèbre d'abrégé sur et la géométrie algébrique , le spectre d'un R de l'anneau commutatif , dénoté par Spéc. ( R ), est défini pour être l'ensemble de tous les idéaux appropriés de perfection de du R . Il est généralement augmenté avec la topologie de Zariski de et avec une gerbe de structure, la transformant en espace bagué localement.

Topologie de Zariski

Spéc. ( R ) peut être transformée en espace topologique comme suit : un V de sous-ensemble de Spéc. ( R ) est clôturé par si et seulement si là existe un I de sous-ensemble du R tels que le V se compose de tous ces idéaux principaux dans le R qui contiennent le I . Ceci s'appelle la topologie de Zariski de sur Spéc. ( R ) n'est presque jamais un espace de contrat de , mais Hausdorff : en fait, les idéaux maximaux dans le R sont avec précision les points fermés dans cette topologie. ( R ) est toujours un espace de Kolmogorov de , cependant. C'est un espace radioélectrique .

Gerbes et arrangements

Pour définir une gerbe de structure sur Spéc. ( R ), laisser d'abord le f de _{du D être l'ensemble de tout le principal d'idéaux P dans Spéc. ( R ) tels que le f n'est pas dans le P . La forme du R} de ∈ du f de _{d'ensembles { D_f } une base pour la topologie sur Spéc. Définir une gerbe sur le f} de _{du D en plaçant Γ ( X} de _{de f}, de O de _{de D ) = le f}, la localisation de _{du R de du R au système multiplicatif {1, f , f ², f ³,…}. Il peut montrer que ceci satisfait les axiomes nécessaires pour être une B-Gerbe . Après, si le U est l'union { i} de _{de B } du I} de ∈ du i de _{, nous avons laissé Γ ( X} de _{de U , de O ) = le fi} de _{du R du I} de ∈ du i de lim_{, et ceci produit une gerbe ; voir l'article de la gerbe pour plus de détail.}

Pour obtenir une description directe de Γ ( X de _{de U , de O ) pour en ouvrir le réglé U dans le X , nous notons que la limite ci-dessus a la propriété universelle qui si le T est n'importe quel T du fi}→ de _{d'anneau commutatif et de R est n'importe quel système des cartes qui sont quand limité d'accord sur le R , puis il y a un unique T de → de la carte Γ ( X} de _{de U , de O ) par lequel les cartes données factorisent. Depuis chaque i de _{du f} trace à une unité dans le T , si nous laissions le S être l'ensemble multiplicatif produit par { i} de _{de f } le I} de ∈ du i de _{, alors par la propriété universelle de la localisation nous obtenons un →T unique du R du S ^-1} de carte par lequel chaque fi de _{du R}→T factorise. C'est la même propriété universelle que Γ ( X de _{de U , de O ) a, ainsi Γ ( X} de _{de U , de O ) = le R du S ^-1}.

Pour obtenir une description bien plus directe de Γ ( X de _{de U , de O ), laisser le du s de être le complément dans le R de tous les idéaux principaux dans le U . Le du s de est un ensemble multiplicatif, puisque c'est l'intersection du multiplicatif R \ P d'ensembles, où le P est un idéal principal dans le U . Chaque i} de _{du f est dans le du s de , ainsi le du s de de ⊆ du S . Pour l'autre inclusion, choisir un g dans le du s de , et supposer que le g n'est pas dans le S . Alors le g n'est pas une unité dans le R du S ^-1}, ainsi nous pouvons trouver un idéal principal P du R qui contient le g et ne rencontrons pas le S . Le P doit se situer dans le U , mais d'autre part par la définition du du s de , le g n'est pas dans le du s de . En conséquence, Γ ( X de _{de U , de O ) = R du ^-1} du s de .

Tandis que cette description directe peut sembler utile, la plupart des opérations sur des gerbes mettent en boîte plus facilement soient effectuées sur des B-gerbes, et puisqu'une B-gerbe peut toujours être prolongée dans une gerbe dans l'arrangement des arrangements, il est habituellement plus utile de travailler au-dessus de base ouvrent des ensembles.

Si le P est un point dans Spéc., un idéal principal, alors la tige au P égale la localisation du R au P , et c'est un anneau local . En conséquence, Spéc. ( R ) est un espace bagué localement.

Chaque espace localement bagué isomorphe à un de cette forme s'appelle un affinent l'arrangement . Les arrangements généraux sont obtenus par le " ; collage du together" ; plusieurs affinent des arrangements.

Functoriality

Il est utile d'employer la langue de la théorie de catégorie de et d'observer que Spéc. Chaque f de l'homomorphisme d'anneau de : Le S de → du R induit Spéc. continue de carte du ( f ) : Spéc. ( S ) ( R ) (puisque le preimage de n'importe quel idéal principal dans le S est un idéal principal dans le R ). De cette façon, Spéc. peut être vue comme functor contravariant de la catégorie des anneaux commutatifs à la catégorie des espaces topologiques. D'ailleurs pour chaque principal P le f d'homomorphisme descend au ^{du f de _{du O de de homomorphisms ; - P}, de _{du O de → de 1}} ( P ) des anneaux locaux. définit même un functor contravariant de la catégorie des anneaux commutatifs à la catégorie des espaces bagués localement en fait que c'est l'universel un tel functor et ceci peut être employé pour définir Spéc. de functor jusqu'à l'isomorphisme normal. de functor rapporte une équivalence contravariant entre la catégorie de des anneaux commutatifs et la catégorie de de affinent les arrangements ; chacune de ces catégories est souvent considérée comme vis-à-vis de la catégorie de l'autre.

Motivation de la géométrie algébrique

À la suite de l'exemple, dans la géométrie algébrique un de étudie les ensembles algébriques , c. sous-ensembles de de n de ^{du K (où le K est un champ algébriquement fermé ) qui sont définis comme zéros communs d'un ensemble de polynômes dans des variables du n . Si le A est un ensemble si algébrique, on considère le R d'anneau commutatif de tout le K de → du A de fonctions polynômes. Les idéaux maximaux de du R correspondent aux points de A (parce que le K est algébriquement fermé), et les idéaux de perfection de du R correspondent aux sous-variétés de du A (un ensemble algébrique s'appelle le irréductible ou une variété s'il ne peut pas écrire comme union de deux sous-ensembles algébriques appropriés).}

Le spectre du R comprend donc les points de A ainsi que des éléments pour toutes les sous-variétés du A . Les points de A sont fermés dans le spectre, alors que les éléments correspondant aux sous-variétés ont une fermeture se composer de tous leurs points et sous-variétés. Si on considère seulement les points de A , c. les idéaux maximaux dans le R , alors la topologie de Zariski définie ci-dessus coïncide avec la topologie de Zariski définie sur les ensembles algébriques (qui a avec précision les sous-ensembles algébriques en tant qu'ensembles fermés).

On peut regarder ainsi Spéc. de l'espace topologique ( R ) comme " ; enrichment" ; du A de l'espace topologique (avec la topologie de Zariski) : pour chaque sous-variété du A , un point non-fermé additionnel a été présenté, et ce " de point ; garde le track" ; de la sous-variété correspondante. On pense à ce point comme point générique pour la sous-variété. En outre, la gerbe sur Spéc. ( R ) et la gerbe de fonctions polynômes sur le A sont essentiellement identiques. En étudiant des éventails des anneaux polynômes au lieu des ensembles algébriques avec la topologie de Zariski, on peut généraliser les concepts de la géométrie algébrique aux champs non-algebraically fermés et là-bas, par la suite arrivant à la langue du complote

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