Sous-groupe convenable

Dans la théorie de groupe , une branche des mathématiques , le convenable F de du sous-groupe d'un fini G du groupe du , baptisé du nom de Hans adaptant , est le sous-groupe nilpotent du plus grand normal du du G . Intuitivement, elle représente le plus petit sous-groupe qui " ; controls" ; la structure du G quand le G est le soluble. Quand le G n'est pas soluble, un rôle semblable est joué par le convenable F^* du sous-groupe généralisé par , ce qui est produit par le sous-groupe convenable et les composants de de du G .

Pour un arbitraire G de groupe (pas nécessairement fini), le sous-groupe convenable est défini pour être le sous-groupe produit par les sous-groupes normaux nilpotent du G . Pour les groupes infinis, le sous-groupe convenable n'est pas toujours nilpotent.

Le reste de cet article traite exclusivement les groupes finis

Le sous-groupe convenable

Le nilpotency du sous-groupe convenable d'un groupe fini est garanti par le théorème de l'ajustage de précision de ce qui indique que le produit d'une collection finie de sous-groupes nilpotent normaux du G est encore un sous-groupe nilpotent normal. Il peut également être explicitement construit pendant que le produit des p-noyaux du G au-dessus de tout les amorce le p divisant l'ordre du G .

Si le G est un groupe soluble non trivial fini puis le sous-groupe convenable est toujours non trivial, c. si le G ≠1 est soluble fini, puis le F ( G ) ≠1. De même le sous-groupe convenable du G / F ( G ) sera non trivial si le G n'est pas lui-même nilpotent, provoquant le concept de la longueur convenable . Puisque le sous-groupe convenable d'un groupe soluble fini contient son propre centralisateur, ceci donne une méthode de comprendre les groupes solubles finis pendant que les prolongements des groupes nilpotent par l'automorphisme fidèle de du groupe des groupes nilpotent.

Le sous-groupe convenable généralisé

Un composant d'un groupe est un sous-groupe inférieur à la normale de Quasisimple du . (Le groupe d'A est le quasisimple si c'est une prolongation centrale parfait du d'un groupe simple.) Le E ( G ) de la couche ou le L ( G ) d'un groupe est le sous-groupe produit par tous les composants. Deux composants quelconques d'un groupe permutent, ainsi la couche est une prolongation centrale parfaite d'un produit des groupes simples, et est plus grand sous-groupe normal du G avec cette structure. Le convenable généralisé F ^* ( G ) de sous-groupe est le sous-groupe produit par la couche et le sous-groupe convenable. La couche permute avec le sous-groupe convenable, ainsi le sous-groupe convenable généralisé est une prolongation centrale d'un produit du p - des groupes et des groupes simples

La couche est également le sous-groupe normal maximal de semisimple, où un groupe s'appelle le semisimple si c'est une prolongation centrale parfaite d'un produit des groupes simples.

La définition du sous-groupe convenable généralisé regarde étrange au début. Pour la motiver, considérer le problème de l'essai de trouver un normal H de sous-groupe du G qui contient son propre centralisateur et le groupe convenable. Si le C est le centralisateur du H nous voulons montrer que le C est contenu dans le H . Sinon, sélectionner un caractéristique M/Z du sous-groupe minimal (H) de C/Z (H) , où Z (H) est le centre du H , qui est identique que l'intersection du C et du H . Puis le M / Z ( H ) est un produit des groupes cycliques simples ou de car il est caractéristiquement simple. Si le M / Z ( H ) est un produit des groupes cycliques puis le M doit être dans le sous-groupe convenable. Si le M / Z ( H ) est un produit des groupes simples non-abéliens puis le sous-groupe dérivé du M est un sous-groupe normal de semisimple traçant sur le M / Z ( H ). Ainsi si le H contient le sous-groupe convenable et tous sous-groupes normaux de semisimple, alors le M / Z ( H ) doit être insignifiant, ainsi le H contient son propre centralisateur. Le sous-groupe convenable généralisé est le plus petit sous-groupe qui contient le sous-groupe convenable et tous sous-groupes normaux de semisimple.

Propriétés

Si le G est un groupe soluble fini, alors le sous-groupe convenable contient son propre centralisateur. Le centralisateur du sous-groupe convenable est le centre du sous-groupe convenable. Dans ce cas-ci, le sous-groupe convenable généralisé est égal au sous-groupe convenable. Plus généralement, si le G est n'importe quel groupe fini, le sous-groupe convenable généralisé contient son propre centralisateur. Ceci signifie que cela dans un certain sens le sous-groupe convenable généralisé commande le G , parce que le modulo du G le centralisateur du F ^* ( G ) est contenu dans le groupe d'automorphisme de F ^* ( G ), et le centralisateur du F ^* ( G ) est contenu dans le F ^* ( G ). Il y a en particulier seulement un nombre fini de groupes avec le sous-groupe convenable généralisé donné.

Applications

Les normalisateurs du non trivial p - sous-groupes d'un groupe fini s'appellent le p de - les sous-groupes locaux et exercent beaucoup de contrôle de la structure du groupe (admettant ce qui s'appelle l'analyse locale ). Un groupe fini serait du type caractéristique du p de si le F ^* ( G ) est un p - groupe pour chaque p - sous-groupe local, parce que n'importe quel groupe de de type de mensonge défini au-dessus d'un champ du caractéristique p a cette propriété. Dans la classification de des groupes simples finis , ceci permet à on de deviner au-dessus de quel champ par groupe simple devrait être défini. Noter que quelques groupes sont de type caractéristique du p pour plus d'un p .

Si un groupe simple n'est pas de type de mensonge au-dessus d'un champ du caractéristique indiqué p , alors le p - les sous-groupes locaux ont habituellement des composants dans le sous-groupe convenable généralisé, bien qu'il y ait beaucoup d'exceptions pour les groupes qui ont le petit rang, soient définis au-dessus de petits champs, ou soient sporadique. Ceci est employé pour classifier les groupes simples finis, parce que si un p - le sous-groupe local a un composant connu, il est souvent possible pour identifier le groupe entier.

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