Somme reliée

Dans les mathématiques , spécifiquement dans la topologie , l'opération de la somme reliée par est une modification géométrique sur effet des tubulures son est de joindre deux tubulures données ensemble près d'un point choisi sur chacun. Cette construction joue un rôle principal dans la classification de des surfaces fermées .

Plus généralement, on peut également joindre des tubulures ensemble le long des submanifolds identiques ; cette généralisation s'appelle souvent la somme de fibre de . Il y a également une notion étroitement liée de somme reliée sur les noeuds appelés la somme de noeud de ou la composition des noeuds.

Somme reliée à un point

Une somme reliée par de deux tubulures de $m$ -dimensional est une tubulure constituée en supprimant une boule à l'intérieur de chaque tubulure et collant ensemble les sphères en résultant de frontière

Si les deux tubulures sont orientés par , il y a une somme reliée unique définie en ayant l'orientation renversée de collage de carte. Bien que la construction emploie le choix des boules, le résultat est unique jusqu'à l'homéomorphie . On peut également faire ce travail d'opération dans la catégorie douce du , et alors le résultat est unique jusqu'au Diffeomorphism . Il y a des problèmes subtiles dans le cas lisse : non chaque diffeomorphism entre les frontières des sphères donne la même tubulure composée, même si les orientations sont choisies correctement. Par exemple, Milnor a prouvé que deux 7 cellules peuvent être collées le long de leur frontière de sorte que le résultat soit une sphère exotique homéomorphe mais non diffeomorphic à une sphère 7. De quelque manière qu'il y a une manière canonique de choisir le collage qui donne une somme reliée bien définie unique. Cette unicité dépend crucialement du théorème d'anneau de , qui est pas du tout évident).

L'opération de la somme reliée est dénotée par le $\ #$ ; par exemple le $A \ # B$ dénote la somme reliée de $A$ et de $B$ .

L'opération de la somme reliée a la sphère $S^m$ comme identité ; c'est-à-dire, le $M \ # S^m$ est homéomorphe (ou diffeomorphic) à $M$ .

La classification des surfaces fermées, d'un résultat fondamental et historiquement significatif dans la topologie, déclare que n'importe quelle surface fermée peut être exprimée comme somme reliée d'une sphère avec un certain nombre $g$ des tores et un certain nombre $k$ des vrais avions projectifs

Somme reliée le long d'un submanifold

Laisser $M_1$ et $M_2$ être deux lisses, tubulures orientées de dimension égale et $V$ une tubulure douce, fermée, orientée, incluse comme submanifold dans $M_1$ et $M_2$ . Supposer en outre que là existe un isomorphisme des paquets de normale de $de \ livre par pouce carré : N_ {M_1} V \ à N_ {M_2} V$

cela renverse l'orientation sur chaque fibre. Alors le $\ psi$ induit un diffeomorphism de orientation-préservation

$N_1 \ setminus V \ cong N_ {M_1} V \ setminus V \ à N_ {M_2} V \ setminus V \ à N_ {M_2} V \ setminus V \ cong N_2 \ setminus V,$

là où chaque $N_ normal de paquet {M_i} V$ est diffeomorphically identifié avec un voisinage $N_i$ de $V$ dans $M_i$ , et la carte $N_ de {M_2} V \ setminus V \ à N_ {M_2} V \ setminus V$

est l'involution diffeomorphic orientation-renverser $v de \ mapsto v/ |v|^2$

sur des vecteurs normaux. La somme reliée par de $M_1$ et de $M_2$ le long de $V$ est alors l'espace $de (M_1 \ setminus V) \ bigcup_ {N_1 \ setminus V = N_2 \ setminus V} (M_2 \ setminus V)$

obtenu en collant les voisinages supprimés ensemble par le diffeomorphism de orientation-préservation. La somme est souvent dénotée $de (M_1, V) \ # (M_2, V).$

Son type de diffeomorphism dépend du choix des deux embeddings de $V$ et du choix du $\ psi$ .

Lâchement parlant, chaque fibre normale du submanifold $V$ contient un unique de $V$ , et la somme reliée le long de $V$ est simplement la somme reliée a décrit la section précédente, exécutée le long de chaque fibre. Pour cette raison, la somme reliée le long de $V$ s'appelle souvent la somme de fibre de .

Le cas spécial de $V$ par point récupère la somme reliée de la section précédente.

Somme reliée le long d'un submanifold de codimension-two

Un autre cas spécial important se produit quand la dimension de $V$ est deux moins que cela du $M_i$ . Alors le $d'isomorphisme \ psi$ des paquets normaux existe toutes les fois que leurs classes d'Euler de sont vis-à-vis de : $e de (N_ {M_1} V) = - e (N_ {M_2} V).$

En outre, dans ce cas-ci le groupe de structure de des paquets normaux est le $SO du groupe de cercle de (2)$ ; il suit que le choix des embeddings peut être canoniquement identifié avec le groupe de classes de Homotopy des cartes de $V$ au cercle, qui égale alternativement le premier groupe intégral $H^1 (V)$ de Cohomology . Ainsi le type de diffeomorphism de la somme dépend du choix du $\ psi$ et d'un choix d'élément de $H^1 (V)$ .

Une somme reliée le long d'un codimension-two $V$ peut également être effectuée dans la catégorie des tubulures Symplectic que cette élaboration s'appelle la somme Symplectic .

Opération locale

La somme reliée est une opération locale sur des tubulures, signifiant qu'elle change les summands seulement dans un voisinage de $V$ . Ceci implique, par exemple, que la somme peut être effectuée sur une tubulure simple $M$ contenant le deux disjoindre les copies de de $V$ , avec l'effet de coller $M$ à elle-même. Par exemple, la somme reliée d'une deux-sphère à deux points distincts de la sphère produit le deux-tore.

Somme reliée de noeuds

Il y a une notion étroitement liée de la somme reliée de deux noeuds. En fait, si on considère un noeud simplement comme une un-tubulure, puis la somme reliée de deux noeuds est juste leur somme reliée comme un-tubulure. Cependant, la propriété essentielle d'un noeud n'est pas sa structure diverse (tous les noeuds sont des cercles) mais plutôt son enfonçant dans l'espace ambiant . Ainsi la somme reliée de noeuds a une définition plus raffinée qui produit un encastrement bien défini, comme suit.png|pouce|centre|300px|Trouver un rectangle dans l'avion où une paire de côtés est des arcs le long de chaque noeud mais est disjoignent autrement des noeuds. ]]

Ce procédé a comme conséquence la projection d'un nouveau noeud, la somme reliée par (ou somme de noeud de , ou composition ) des noeuds originaux.

Sous cette opération, noeuds sous la forme de l'espace 3 un monoîde commutatif avec la factorisation de perfection de , qui nous permet de définir ce qui est signifié par un noeud de perfection de . La preuve du commutativity peut être vue en laissant un rétrécissement de summand jusqu'à ce qu'elle soit très petite et puis la tirant le long de l'autre noeud. L'unknot est l'unité. Le noeud de minette est le noeud de perfection de le plus simple. Des noeuds dimensionnels plus élevés peuvent être ajoutés en épissant le $n$ -spheres.

Dans trois dimensions, l'unknot ne peut pas être écrit comme somme de deux noeuds non triviaux. Ce fait suit de l'additivité du genre de noeud de ; une autre preuve se fonde sur une construction infinie parfois appelée l'escroquerie de Mazur de . Dans des dimensions plus élevées, il est possible d'obtenir un unknot en ajoutant deux noeuds non triviaux.

Voir également

somme de bande
Décomposition principale de (3-manifold)
Décomposition diverse

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