Somme de cale

Dans la topologie , la somme de cale de est un " ; union" d'un-point ; d'une famille des espaces topologiques spécifiquement, si le X et le Y sont les espaces dirigés par (c. les espaces topologiques avec distingué X ₀ de basepoints et y ₀) la somme de cale de X et de Y est le quotient du disjoignent l'union du X et du Y par le &sim du X ₀ d'identification ; y ₀ : $X\; \backslash \; vé\; de\; Y\; =\; (X\; \backslash \; amalg\; Y)\; \backslash \; ;\; /\backslash \; ;\; \backslash \; \{x\_0\; \backslash \; sim\; y\_0\; \backslash \}$ Plus généralement, supposer ( i de _{de X ) le &isin du i de ; Le I est une famille des espaces aigus avec des basepoints { i} de _{de p }. La somme de cale du famille est indiquée par : $de\; \backslash \; bigvee\_i\; X\_i\; :\; =\; \backslash \; coprod\_i\; X\_i\; \backslash \; ;\; /\backslash \; ;\; \backslash \; \{p\_j\; de\; p\_i\; \backslash \; sim\; \backslash \; mi\; I,\; j\; \backslash \; dedans\; I\; \backslash \}$}

En d'autres termes, la somme de cale est la jointure de plusieurs espaces à un unique. Cette définition naturellement dépend du choix de { i de _{de p } à moins que les espaces { i} de _{de X } soient le homogène.}

Exemples

La somme de cale de deux cercles est le homéomorphe à une Figure-huit l'espace . La somme de cale de n - des cercles s'appelle souvent un bouquet de des cercles , alors qu'un produit de cale des sphères arbitraires s'appelle souvent un bouquet de des sphères .

Une construction commune dans le Homotopy est d'identifier tous les points le long de l'équateur d'un n - la sphère $S^n$. Faire a ainsi comme conséquence deux copies de la sphère, jointives au point qui était l'équateur :

$S^n/\backslash \; sim\; =\; S^n\; \backslash \; S^n\; en\; vé$

Laisser le $\backslash \; Psi$ être le $de\; carte\; \backslash \; livre\; parpouce\; carré:\; S^n\; \backslash \; à\; S^n\; \backslash \; à\; vé\; S^n$, c., d'identifier l'équateur vers le bas à un unique. Puis addition du $f\; de\; deux\; éléments,\; g\; \backslash \; dans\; \backslash \; pi\_n\; (X,\; x\_0)$ du n - le $dugroupe\; de\; Homotopyde\; \backslash \; pi\_n\; dimensionnels\; (X,\; x\_0)$ d'un de l'espace X au point distingué $x\_0\; \backslash \; dans\; X$ peuvent être compris comme composition de $f$ et de $g$ avec le $\backslash \; Psi$ :

$f+g\; =\; (f\; \backslash \; vé\; g)\; \backslash \; circ\; \backslash \; Psi$

Ici, on comprend que $f$ et $g$ sont des cartes, $f\; :\; S^n\; \backslash \; à\; X$ et pareillement pour $g$, qui acceptent un point de vue distingué $s\_0\; \backslash \; dans\; S^n$ à un point $x\_0\; \backslash \; dans\; X$. Noter que ci-dessus défini la somme de cale de deux fonctions, qui était possible parce que le =g du $f\; (s\_0)\; (s\_0)\; =x\_0$, qui était le point qui equivalenced dans la somme de cale des espaces fondamentaux.

Description catégorique

La somme de cale peut être comprise comme Coproduct dans la catégorie de des espaces aigus . Alternativement, la somme de cale peut être vue comme extraction du &larr du X de diagramme ; {&bull ;} &rarr ; Y dans la catégorie de des espaces topologiques (où {&bull ;} est n'importe quel un espace de point).

Propriétés

Le théorème de Van Kampen's de donne certaines conditions (qui sont habituellement remplies pour les espaces polis du , tels que les complexes d'onde entretenue de sous lesquels le groupe fondamental de la somme de cale de X des deux espaces et de Y est le produit libre des groupes fondamentaux de X et de Y .

Voir également

Produit de fracas de

.

Random links:

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