Somme de Riemann

Dans les mathématiques , une somme de Riemann de est une méthode pour rapprocher la surface totale sous une courbe sur un graphique ; autrement connu comme intégral. Il peut également être employé pour définir l'opération d'intégration. Les sommes sont baptisées du nom du allemand Bernhard Riemann de mathématicien.

Définition

Considérer un f de la fonction : &rarr du D ; Le R , où le D est un sous-ensemble du R des vrais nombres , et a laissé le I = '' b '' soit un intervalle fermé contenu dans le D . Un ensemble fini de points { X ₀, X ₁, X ₂,… n de _{de X } tels que = X ₀ < X ₁ < X ₂… < n de _{du X} = b crée une cloison P de = {_{'' n ''} de _{'' de '' x '' ₁), [ '' x '' ₁, '' x '' ₂),… ['' x '' n '' - 1}, '' x ''}
du I .
Si le P est une cloison avec des éléments du n du I , alors la somme de Riemann de de f au-dessus du I avec le P de cloison est définie As $S de = \ ^ du sum_ {i=1} {n} f (y_i) (x_ {I} - x_ {i-1})$
là où &le du i -1 de _{du X ; &le du i} de _{du y ; i} de _{du X . Le choix du i} de _{du y dans cet intervalle est arbitraire. Si le i de _{du y} = i -1} de _{du X pour tout le i , alors le S s'appelle un laissé la somme de Riemann. Si le i de _{du y} = i}, alors le S de _{du X s'appelle une somme de Riemann de droite de . Si le i de _{du y} = ( i-1} de _{de X de i}+ de _{de X ) /2, alors le S s'appelle une somme moyenne de Riemann de . En faisant la moyenne de la somme gauche et droite de Riemann on obtient la somme trapézoïdale de soi-disant .}
Supposer que nous avons $S de = \ v_i ^ du sum_ {i=1} {n} (x_ {I} - x_ {i-1})$
là où le i de _{du v est le Supremum du f au-dessus de x_i ; alors le S est défini pour être une somme supérieure de Riemann de . De même, si le i} de _{du v est le Infimum du f au-dessus '' de _{'' de '' x je ''}, puis le S est une somme inférieure de Riemann de .}
N'importe quelle somme de Riemann sur une cloison indiquée (c'est-à-dire, pour tout choix de i de _{de y entre i} de _{de i -1} et de X de _{de X ) est contenue entre les sommes inférieures et supérieures de Riemann. Une fonction est définie pour être Riemann intégrable de si les sommes inférieures et supérieures de Riemann deviennent toujours tout plus étroite que la cloison devient plus fine et plus fine. Ce fait peut également être employé pour l'intégration numérique .}

Méthodes
Comme cité ci-dessus, il y a quatre méthodes communes pour calculer une somme de Riemann : gauche, droit, moyen, et trapézoïdal. Nous élaborerons sur elles dans le cas simple quand la cloison se compose des intervalles de la taille égale. , Diviser ainsi l'intervalle '' b '' en sous-intervalles du n , chacun de Q de longueur = ( de b ; &minus ; ; un de ) ; du / ; n . Les points dans la cloison seront alors
un , + Q , + 2 Q ,…, + (&minus de n ; 2) Q , + (&minus de n ; 1) Q , b .

Somme gauche de Riemann
Pour la somme gauche de Riemann, nous rapprocherons la fonction par sa valeur au point terminant à gauche. Ceci donne des rectangles multiples avec le bas Q et le f ( de taille + Q. Faisant ceci pour le i = 0, 1,…, &minus du n ; 1, et s'ajouter vers le haut des secteurs en résultant nous donne le $Q de \ est parti + f (a + + de Q) + de f (a + 2Q) \ cdots+f (b - Q) \ droit. \,$
La somme à gauche de Riemann sera une surestimation si le f est diminuant monotoniquement sur cet intervalle, et une sous-estimation si c'est augmentant monotoniquement .

Bonne somme de Riemann
Ici, parce que chaque intervalle nous rapprocherons le f par la valeur au bon point final. Ceci donne des rectangles multiples avec le bas Q et le f ( de taille + Q. Faisant ceci pour le i = 1, 2,…, &minus du n ; 1, n, et s'ajouter vers le haut des secteurs en résultant nous donne le $Q de \ est parti + + de Q) + de f (a + 2Q) \ cdots+f (b) \ droit. \,$
La somme droite de Riemann sera une surestimation si le f de fonction est augmentant monotoniquement , et une sous-estimation si c'est diminuant monotoniquement .

Somme moyenne
Dans ce cas-ci nous prendrons comme approximation pour le f dans chaque intervalle sa valeur au point médian. Pour le premier intervalle nous prendrons ainsi le f ( + Q /2), pour l'un prochain f ( + 3 Q /2), et ainsi de suite jusqu'à ce que le f ( b - Q /2) soit atteint. Résumant les secteurs, nous trouvons le $+ de Q/2) + f (a + 3Q/2)+ \ cdots+f (b-Q/2) \ right.$
L'erreur de cette formule sera $de \ ^ laissé \ vert \ int_ {a} {b} f (x) - A_ \ mathrm {mi} \ droit \ vert \ le \ frac {M_2 (b-a) ^3} {(24n^2)},$
là où $M_2$ est la valeur maximum de la valeur absolue du $f^ {\ perfection \ perfection} (x)$ sur l'intervalle.

Règle trapézoïdale
Dans ce cas-ci, les valeurs du de fonction f sur un intervalle seront rapprochées par la moyenne des valeurs aux points finaux gauches et droits. De la même manière comme ci-dessus, un calcul simple using le $A=h de formule de secteur (b_1+b_2) /2$ pour un trapèze avec le parallèle dégrossit le b ₁, le b ₂ et le h un de taille calcule la somme de Riemann pour être le $de \ frac {1} {2} Q \ sont partis + 2f (a+Q) + 2f (a+2Q) + + 2f (a+3Q) \ cdots+f (b) \ right.$
L'erreur de cette approximation pour l'intégrale est $de \ ^ laissé \ vert \ int_ {a} {b} f (x) - A_ \ mathrm {piège} \ droit \ vert \ le \ frac {M_2 (b-a) ^3} {(12n^2)},$
là où $M_2$ est la valeur maximum de la valeur absolue du $f^ {\ perfection \ perfection} (x).$

Voir également

Riemann-Stieltjes intégral
Lebesgue intégral
La règle de Simpson de .
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