Solide d\'Einstein

Le Einstein plein est un modèle d'un solide fondé sur trois hypothèses :
Chaque atome dans le trellis est un oscillateur harmonique de Quantum du 3D
Les atomes n'agissent pas l'un sur l'autre avec un chaque autre
Les atomes vibrent avec la même fréquence (contraste avec Debye modèles)

Tandis que la première prétention est tout à fait précise, la deuxième n'est pas. Si les atomes n'agissaient pas l'un sur l'autre entre eux, les ondes sonores ne propageraient pas par des solides.

Capacité de chaleur

La capacité de chaleur d'un objet est définie As $C\_V\; de$

= \ ({\ U partiel \ au-dessus de \ T partiel} \ droit) _V. laissé

$T$, la température du système, peut être trouvé de l'entropie $de$

{1 \ au-dessus de T} = {\ S partiel \ au-dessus de \ U partiel}

Pour trouver l'entropie pour considérer un solide fait d'atomes de $N$, qui a 3 degrés de liberté. Donc il y a les oscillateurs harmoniques (ci-après SHOs) de Quantum de de $3N$. $N^\; de$

{\ perfection} = 3N

Des énergies possibles d'un SHO sont données près $E\_n\; de$

= \ hbar \ Omega \ (n+ {1 \ over2} \ droit) laissé

ou, en d'autres termes, les forces sont également espacées et on peut définir un quantum de d'énergie $\backslash \; varepsilon\; de$

= \ hbar \ omega

ce qui est la plus petite et seule quantité par laquelle l'énergie de SHO peut être incrémentée. Après, nous devons calculer la multiplicité du système. C'est-à-dire, calculer le nombre de manières de distribuer des quanta de $q$ d'énergie parmi le $N^\; \{\backslash \; perfection\}$ SHOs. Cette tâche devient plus simple si on pense à distribuer des cailloux de $q$ au-dessus des boîtes du $N^\; \{\backslash \; perfection\}$

ou séparant des piles de cailloux avec le $N^\; \{\backslash \; perfection\}\; -\; cloisons\; 1$

ou s'chargeant des cailloux de $q$ et du $N^\; \{\backslash \; perfection\}\; -\; cloisons\; 1$

La dernière image est le dire. Le nombre d'arrangements de $n$objects est $n\; !$. Ainsi le nombre d'arrangements possibles des cailloux de $q$ et du $N^\; \{\backslash \; perfection\}\; -\; les\; cloisons\; 1$ est $\backslash \; est\; parti\; (q+N^\; \{\backslash \; perfection\}\; -\; 1\; \backslash \; droit)\; !$. Cependant, si les endroits commerciaux de la cloison #2 et de la cloison #5, personne noteraient. Le même argument va pour des quanta. Pour obtenir le nombre d'arrangements distinguables un du possible doit diviser tout le nombre d'arrangements par le nombre d'arrangements indistinguibles du . Il y a $q\; !arrangementsidentiques\; de\; quanta\; de$, et $(N^\; \{\backslash \; perfection\}\; -\; 1)\; !\; arrangements\; identiques\; de\; cloison\; de$. Par conséquent, la multiplicité du système est donnée près $\backslash \; Omega\; de$

= {\ laissé (q+N^ {\ perfection} - 1 \ droit) ! \ au-dessus de q ! (N^ {\ perfection} - 1) !}

avant ce que, comme mentionné, est le nombre de manières de déposer des quanta de $q$ d'énergie dans le $N^\; \{\backslash \; perfection\}\; -\; les\; oscillateurs\; 1$. L'entropie du système a la forme = de

$S/k\; \backslash \; ln\; \backslash \; =\; d\text{'}Omega\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; laissé\; (q+N^\; \{\backslash \; perfection\}\; -\; 1\; \backslash \; droit)\; !\; \backslash \; au-dessus\; de\; q\; !\; (N^\; \{\backslash \; perfection\}\; -\; 1)\; !\}.$

le $N^\; \{\backslash \; perfection\}$ est un number&mdash énorme ; la soustraction d'un de elle n'a aucun effet global quelque :

$S/k\; \backslash \; approximativement\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; laissé\; (q+N^\; \{\backslash \; perfection\}\; \backslash \; droit)\; !\; \backslash \; au-dessus\; de\; q\; !\; N^\; \{\backslash \; perfection\}\; !\}$

Avec l'aide de l'approximation de Stirling de , l'entropie peut être simplifiée :

$S/k\; \backslash \; approximativement\; \backslash \; parti\; (q+N^\; \{\backslash \; perfection\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; ln\; \backslash \; parti\; (q+N^\; \{\backslash \; perfection\}\; \backslash \; droit)\; -\; N^\; \{\backslash \}\; de\; perfection\; \backslash \; ln\; N^\; \{\backslash \; perfection\}\; -\; q\; \backslash \; ln\; q.$

De l'énergie totale du solide est donnée près $U\; de$

= {N^ {\} de perfection \ varepsilon \ over2} + q \ varepsilon.

Nous sommes maintenant prêts à calculer la température

$\{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; T\}\; =\; \{\backslash \; S\; partiel\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; U\; partiel\}\; =\; \{\backslash \; S\; partiel\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; q\; partiel\}\; \{dq\; \backslash \; au-dessus\; de\; du\}\; =\; \{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; varepsilon\}\; \{\backslash \; S\; partiel\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; q\; partiel\}\; =\; \{k\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \}\; de\; varepsilon\; \backslash \; ln\; \backslash \; (1+N^\; \{\backslash \; perfection\}\; /q\; \backslash \; droit)$ laissé

Inverser cette formule pour trouver le U :

$U\; =\; \{N^\; \{\backslash \}\; de\; perfection\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; over2\}\; +\; \{N^\; \{\backslash \}\; de\; perfection\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; au-dessus\; d\text{'}e^\; \{\backslash \; varepsilon/kT\}\; -\; 1\}.$

Différenciation en ce qui concerne la température pour trouver $C\_V$ : $C\_V\; de$

= {\ U partiel \ au-dessus de \ T partiel} = {N^ {\ perfection} \ varepsilon^2 \ au-dessus de k T^2} {e^} {\ varepsilon/kT \ au-dessus de \ laissé (e^ {\ varepsilon/kT} - 1 \ droit) ^2}

ou

style=" de

remplissage : 10px ; " ; > $C\_V\; de\; =\; 3Nk\; \backslash \; (\{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; au-dessus\; de\; k\; T\}\; \backslash \; droit)\; ^2\; laissé\; \{e^\}\; \{\backslash \; varepsilon/kT\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; laissé\; (e^\; \{\backslash \; varepsilon/kT\}\; -\; 1\; \backslash \; droit)\; ^2\}.$

Bien que le modèle d'Einstein du solide prévoie la capacité de chaleur exactement à températures élevées, il dévie sensiblement des valeurs expérimentales à de basses températures. Voir le Debye modèle pour le calcul à basse température précis de capacité de chaleur.

Capacité de chaleur (dérivation alternative)

La capacité de chaleur peut être obtenue beaucoup plus rapidement par l'utilisation de la fonction de cloison d'un SHO. $Z\; de$

= \ e^ ^ du sum_ {n=0} {\ infty} {- E_n/kT}

là où = de $E\_n\; de$

\ varepsilon \ (n+ {1 \ over2} \ droit) laissé

la substitution de ceci dans la formule de fonction de cloison rapporte

$\backslash \; commencer\; \{aligner\}\; Z\; et\; \{\}\; =\; \backslash \; e^\; ^\; du\; sum\_\; \{n=0\}\; \{\backslash \; infty\}\; \{-\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; (n+1/2\; \backslash \; droit)\; /kT\; laissé\}\; =\; e^\; \{-\; \backslash \; varepsilon/2kT\}\; \backslash \; =e^\; d\text{'}e^\; ^\; du\; sum\_\; \{n=0\}\; \{\backslash \; infty\}\; \{-\; n\; \backslash \; varepsilon/kT\}\; \{-\; \backslash \; varepsilon/2kT\}\; \backslash \; ^\; du\; sum\_\; \{n=0\}\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; (e^\; \{-\; \backslash \; varepsilon/kT\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; laissé\; de\; ^n\; \backslash \; et\; \{\}\; =\; \{e^\; \{\}\; -\; \backslash \; varepsilon/2kT\; \backslash \; plus\; de\; 1\; e^\; \{-\; \backslash \; varepsilon/kT\}\}\; =\; \{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; l\text{'}e^\; \{\backslash \; varepsilon/2kT\}\; -\; e^\; \{-\; \backslash \; varepsilon/2kT\}\}\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\; \backslash \; sinh\; \backslash \; parti\; (\{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; au-dessus\; de\; 2kT\}\; \backslash \; droit)\}.\; \backslash \; extrémité\; \{aligner\}$

C'est la fonction de cloison du un SHO. Puisque, statistiquement, la capacité de chaleur, l'énergie, et l'entropie du solide sont également distribuées parmi ses atomes (SHOs), nous pouvons travailler avec cette fonction de cloison pour obtenir ces quantités et puis pour les multiplier simplement par le $N^\; \{\backslash \; perfection\}$ pour obtenir le total. Après, calculons l'énergie moyenne de chaque oscillateur

$\backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle\; =\; u\; =\; -\; \{1\; \backslash \; au-dessus\; de\}\; de\; Z\; \backslash \; partial\_\; \{\backslash \; bêta\}\; Z$

là où $de$

\ bêta = {1 \ au-dessus du kT}.

Par conséquent

$u\; =\; -2\; \backslash \; sinh\; \backslash \; parti\; (\{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; au-dessus\; de\; 2kT\}\; \backslash \; droit)\; \{-\; \backslash \; matraque\; \backslash \; parti\; (\{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; au-dessus\; de\; 2kT\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; plus\; de\; 2\; \backslash \; sinh^2\; \backslash \; parti\; (\{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; au-dessus\; de\; 2kT\}\; \backslash \; droit)\}\{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; over2\}\; =\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; over2\}\; \backslash \; coth\; \backslash \; parti\; (\{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; au-dessus\; de\; 2kT\}\; \backslash \; droit).$

La capacité de chaleur d'oscillateur du un est alors $C\_V\; de$

= {\ U partiel \ au-dessus de \ T partiel} = - {\ varepsilon \ over2} {1 \ au-dessus de \ sinh^2 \ parti ({\ varepsilon \ au-dessus de 2kT} \ droit)}\ parti (- {\ varepsilon \ au-dessus de 2kT^2} \ droit) = k \ ({\ varepsilon \ plus de 2 k T} \ droit) ^2 laissé {1 \ au-dessus de \ sinh^2 \ parti ({\ varepsilon \ au-dessus de 2kT} \ droit)}.

La capacité de chaleur du solide entier est donnée par le $C\_V\; =\; le\; 3NC\_V$ :

style=" de

frontière : noir 1px plein ; remplissage : 10px ; " ; > $C\_V\; de\; =\; 3Nk\; \backslash \; (\{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; plus\; de\; 2\; k\; T\}\; \backslash \; droit)\; ^2\; laissé\; \{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; sinh^2\; \backslash \; parti\; (\{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; au-dessus\; de\; 2kT\}\; \backslash \; droit)\}.$

ce qui est algébriquement identique à la formule dérivée dans la section précédente.

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