Slerp
Dans les infographies , le Slerp est sténographie pour l'interpolation linéaire sphérique , présentée par Ken Shoemake dans le cadre de l'interpolation de Quaternion afin du animant la rotation de 3D. Il se rapporte au mouvement de vitesse constante le long d'un arc du grand cercle de rayon d'unité, donné les extrémités et un paramètre d'interpolation entre 0 et 1.
Slerp géométrique
Slerp a un indépendant géométrique de formule des quaternions, et l'indépendant de la dimension de l'espace dans lequel l'arc est enfoncé. Cette formule, une somme pesée symétrique créditée à Glenn Davis, est basée sur le fait que n'importe quel point sur la courbe doit être une combinaison linéaire des extrémités. Laisser le p 0 et le p 1 être les premiers et derniers points de l'arc, et laisser le t être le paramètre, 0 ; ≤ ; du t ; ≤ ; 1. Le calcul Ω comme angle a sous-tendu par l'arc, de sorte que cos ; Ω = p 1, le n - produit scalaire dimensionnel de ∙ du p 0 des vecteurs d'unité de l'origine aux extrémités. La formule géométrique est alorsLa symétrie peut être vue dans le fait que Slerp ( p 0, p 1 ; t ) = Slerp ( p 1, p 0 ; 1− t ). Dans le → 0 de la limite Ω, cette formule réduit à la formule symétrique correspondante pour l'interpolation linéaire ,
Un chemin de Slerp est, en fait, l'équivalent de la géométrie sphérique d'un chemin suivant une ligne segment dans l'avion ; un grand cercle est un sphérique géodésique.
Plus familier que la formule du Général Slerp est le cas quand les vecteurs de fin sont perpendiculaires, dans ce cas la formule est le p 0 ; cos ; &theta ; + p 1 ; sin ; &theta ;. Laisser le &theta ; ; = du t ; &pi ; /2, et application du cos trigonométrique d'identité ; &theta ; ; = sin ; (&pi ; /2−&theta ;), ceci devient la formule de Slerp. Le facteur de 1/sin ; Ω dans la formule de général est une normalisation, depuis un p 1 de vecteur sous un angle de Ω aux projets du p 0 sur le perpendiculaire p 0 de ⊥ avec une longueur de sin seulement ; Ω.
Quelques cas spéciaux de Slerp admettent un calcul plus efficace. Quand un arc circulaire doit être dessiné dans une image de trame, la méthode preferred est une certaine variation d'algorithme de cercle du de Bresenham de . L'évaluation aux valeurs de paramètre spéciales 0 et 1 rapporte trivialement le p 0 et le p 1, respectivement ; et le bisection, évaluation au ½, simplifie ( p 1 de p 0+) /2, normalisé. Un autre cas spécial, commun dans l'animation, est évaluation avec les extrémités fixes et les étapes paramétriques d'égale. Si le k de du k −1 et du p de du p sont deux valeurs consécutives, et si le c est deux fois leur produit scalaire (constant pour toutes les étapes), alors la prochaine valeur, le k +1 de du p , est le k +1 de du p de réflexion ; = k de du p de c ; k −1 de du p de −. Slerp a également les expressions en termes d'algèbre de quaternion, toutes using l'élévation à une puissance . Pour un q de quaternion et un t , le exponentiel de vrai nombre du q ; le t est défini en termes de exponentiel du e ; q , lui-même donné par le familier de série entière de l'analyse complexe , e^q de Inscription d'un q de quaternion d'unité en forme polaire, cos ; Ω ; + ; du v ; sin ; Ω, avec le v un vecteur de l'unité 3, et noter que le v 2 de place de quaternion égale −1 (impliquant une version de quaternion de la formule d'Euler de ), nous avons le v Ω de du e ; = du q , et du q ; t ; = cos ; t Ω ; + ; du v ; sin ; t Ω. L'identification d'intérêt est du q ; = q 0−1 du q 1, de sorte que la partie réelle de q soit cos ; Ω, les mêmes que le produit scalaire géométrique utilisé ci-dessus. Voici quatre expressions équivalentes de quaternion pour Slerp.
Quaternion Slerp
Quand Slerp est appliqué au Quaternions d'unité le chemin de quaternion trace à un chemin par les rotations 3D d'une manière standard . L'effet est une rotation avec la vitesse angulaire uniforme autour d'un axe de rotation fixe . Quand le point final initial est le quaternion d'identité, Slerp donne un segment d'un sous-groupe d'Un-paramètre de du groupe de Lie de rotations du 3D, AINSI (3), et son groupe universel de bâche de de quaternions d'unité, S3. Slerp donne un plus droit et un Shortest-Path entre ses points d'extrémité de quaternion, et des cartes à une rotation par un angle de 2Ω. Cependant, parce que la bâche est double (le q et le q de − tracent à la même rotation), le chemin de rotation peut tourner l'un ou l'autre le " ; way" court ; (moins que 180°) ou le " ; long way" ; (plus que 180°). De longs chemins peuvent être empêchés en niant une extrémité si le produit scalaire, cos ; Ω, est négatif, de ce fait assurant ce −90° ; ≤ ; Ω ; ≤ ; 90°. Random links: Ligne de Birka | 1970 Prix grand allemand | Homicide coupable | Chenille de Gnutella | Slerp