Sequent

Dans la théorie de preuve de , un sequent est un rapport formalisé du provability qui est fréquemment employé en spécifiant les calculs pour la déduction . Dans le calcul Sequent , le nommé sequent est employé pour la construction qui peut être considérée comme un genre spécifique de jugement , caractéristique à ce système de déduction.

Explication

Un sequent a le $\ gamma \ vdash de de forme \ Sigma$

là où les deux &Gamma ; et &Sigma ; sont les ordres des formules logiques du (c., le nombre et l'ordre de la matière de occurrence de formules). Le $de symbole \ vdash$ désigné habituellement sous le nom du tourniquet de ou de la pièce en t de et est souvent lu, suggestif, comme " ; yields" ; ou " ; proves" ;. Ce n'est pas un symbole dans la langue, plutôt il est un symbole dans le métalangage employé pour discuter des preuves. Dans un sequent, &Gamma ; s'appelle l'antécédent et le &Sigma ; serait le succedent du sequent.

Signification intuitive

La signification intuitive d'un sequent tel que celle donnée ci-dessus est celle dans l'acceptation du &Gamma ; la conclusion du &Sigma ; est prouvable. Dans un arrangement classique, les formules du côté gauche du tourniquet sont le interprété conjonctif tandis que les formules du côté droit sont considérées comme disjonction . Ceci signifie cela, quand toutes les formules dans le &Gamma ; tenir, puis au moins une formule dans le &Sigma ; doit également être vrai. Si le succedent est vide, ceci est interprété comme fausseté, c. le

\ vdash

signifie ce &Gamma ; prouve la fausseté et est ainsi contradictoire. D'une part on assume qu'un antécédent vide est vrai, c., le

\ vdash \ Sigma

signifie ce &Sigma ; ne suit sans aucune prétention, c., il est toujours vrai (comme disjonction). Un sequent de cette forme, avec le &Gamma ; vide, est connu comme affirmation logique .

L'interprétation ci-dessus, cependant, est seulement pédagogique. Puisque les preuves formelles dans la théorie de preuve sont purement le syntactique, la signification (la dérivation de) d'un sequent est seulement donnée par les propriétés du calcul qui fournit les règles réelles de de l'inférence .

Excepté toutes les contradictions dans la définition techniquement précise ci-dessus nous pouvons décrire des sequents sous leur forme logique d'introduction. Le $\ Gamma$ représente un ensemble de prétentions avec lesquelles nous commençons notre processus logique, par exemple " ; Socrates est un man" ; et " ; Tous les hommes sont mortal" ;. Le $\ Sigma$ représente une conclusion logique qui suit sous ces lieux. Par exemple " ; Socrates est mortal" ; suit d'une formalisation raisonnable des points ci-dessus et nous pourrions compter la voir du côté du $\ Sigma$ du tourniquet de . Dans ce sens, le $\ vdash$ signifie le processus du raisonnement, ou le " ; therefore" ; en anglais.

Exemple

Une force sequent typique soit : , de

\, de vdash \ alpha \ beta

Ceci réclame que le $\ alpha$ ou le $\ beta$ peut être dérivé du $\ phi$ et du $\ psi$ .

Propriété

Puisque chaque formule dans l'antécédent (l'aile gauche) doit être vraie pour conclure la vérité au moins d'une formule dans le succedent (le côté droit), ajouter des formules à l'un ou l'autre côté a comme conséquence un sequent plus faible, alors que l'élimination de elles de l'un ou l'autre côté donne plus fort.

Règles

La plupart des systèmes de preuve fournissent des manières de déduire un sequent des autres. Ces règles d'inférence sont écrites avec une liste de sequents au-dessus et au-dessous d'une ligne . Cette règle indique que si tout au-dessus de la ligne est vrai, est ainsi tout sous la ligne.

Une règle typique est : $\ frac de {\ gamma \ vdash \ sigma} {\ commencer {matrice} \, de gamma \ alpha \ vdash \ sigma et \, d'alpha \ gamma \ vdash \ sigma \ extrémité {matrice}}$

Ceci indique que si nous pouvons déduire le $\ Sigma$ du $\ Gamma$ , nous pouvons également le déduire du $\ Gamma$ ainsi que le $\ alpha.$

Noter que les lettres grecques capitales sont habituellement employées pour dénoter la liste d'a (probablement vide) de formules. est employé pour dénoter la contraction de du $\ Gamma$ et du $\ Sigma$ , c., la liste de ces formules apparaissant dans le $\ Gamma$ ou le $\ Sigma$ mais sans des répétitions.

Variations

La notion générale de sequent présenté ici peut être spécialisée dans diverses manières. Un sequent serait un sequent intuitionniste s'il y a tout au plus une formule dans le succedent. Cette forme est nécessaire pour obtenir des calculs pour la logique intuitionniste . De même, on peut obtenir des calculs pour la logique Duel-intuitionniste (un type de de logique de Paraconsistent de ) en exigeant que les sequents soient singuliers dans l'antécédent.

Dans beaucoup de cas, on assume qu'également des sequents se composent des multi-ensembles ou le place au lieu des ordres. Ainsi on néglige l'ordre ou même le nombre d'occurrences des formules. Pour la logique propositionnelle classique ceci ne rapporte pas un problème, puisque les conclusions qu'on peut tirer d'une collection de prémisses ne dépend pas de ces données. Dans la logique substructurale , cependant, ceci peut devenir tout à fait important.

Histoire

Historiquement, des sequents ont été présentés par le Gerhard Gentzen afin de spécifier son calcul Sequent célèbre. En sa publication allemande il a employé le " de mot ; Sequenz" ;. Cependant, en anglais, le " de mot ; " de l'ordre ; est déjà employé comme traduction au " allemand ; Folge" ; et apparaît tout à fait fréquemment dans les mathématiques. Le " de limite ; sequent" ; alors a été créé dans la recherche d'une traduction alternative de l'expression allemande.

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