Série de Taylor

Dans les mathématiques , la série de Taylor de est une représentation d'une fonction comme somme infinie de limites calculées à partir des valeurs de ses dérivés à un unique. Elle peut être considérée comme la limite des polynômes de Taylor de que des séries de Taylor sont appelées en l'honneur du ruisseau anglais Taylor de mathématicien du . Si la série emploie les dérivés à zéro, la série s'appelle également une série de Maclaurin de , baptisée du nom de écossais Colin Maclaurin de mathématicien du .

Définition

La série de Taylor d'un le vrai complexe f ( X ) de fonction de ou qui est le infiniment différentiable dans un voisinage d'un vrai complexe de nombre de ou un , est la série entière < ! -- Comme indiqué ci-dessous, les séries de Taylor n'ont pas besoin d'égaler la fonction. Veuillez ainsi n'écrivent pas f (x)=… ici --> $f de (a)+ \ frac {f'(a)} {1 !}(x-a) + \ frac { de f (a)} {2 !}(x-a) ^2+ \ frac {f^ {(3)} (a)} {3 !}(x-a) ^3+ \ cdots \,$ quel dans plus compact forme peut être écrit en tant que

$\ sum_ {n=0} ^ {\} d'infin \ frac {f^ {(n)} (a)} {n !} (x-a) ^ {} de n \,$ là où de n ! est le factoriel du de n et du ^{de de f ; ( de n)} ( un ) dénote le dérivé de Th de de n du de f au point un ; le dérivé de zeroth du de f est défini pour être le de f lui-même et ( de de X ; &minus ; ; un ) ⁰ et 0 ! sont tous les deux définis pour être 1.

Souvent le de f ( de X) est égal à sa série de Taylor évaluée au de X pour tout le de X suffisamment près de un . C'est la raison principale pourquoi les séries de Taylor sont importantes.

Dans le cas particulier où le $a = le 0$ , la série s'appelle également une série de Maclaurin.

Exemples

La série de Maclaurin pour n'importe quel polynôme est le polynôme lui-même.

La série de Maclaurin pour le ^ du $(1-x) {- 1}$ est le de la série géométrique $1+x+x^2+x^3+ \ cdots \ !$ ainsi la série de Taylor pour le $x^ {- 1}$ à $a=1$ est le
$1- (x-1) de + (x-1) ^2- (x-1) ^3+ \ cdots \ !$ .

En intégrant la série de Maclaurin ci-dessus nous trouvons la série de Maclaurin pour le $- \ ln (1 - x) \ !$ , où $\ ln \ !$ dénote le logarithme naturel : $x+ \ frac {x^2} 2+ \ frac {x^3} 3+ \ frac {x^4} 4+ \ cdots \ !$ et la série de Taylor correspondante pour le $\ ln (x) \ !$ à $a=1 \ !$ est - du $de (x-1) \ frac {(x-1) ^2} 2+ \ frac {(x-1) ^3} 3 \ frac {(x-1) ^4} 4+ \ cdots \ !$ .

La série de Maclaurin pour la fonction exponentielle $e^x$ au $a=0$ est + de $1 \ frac {x^1} {1 !} + \ frac {x^2} {2 !} + \ frac {x^3} {3 !} + \ frac {x^4} {4 !} + \ frac {x^5} {5 !}+ \ cdots \ = de qquad \ qquad 1 + x + \ + du frac {x^2} {2} \ frac {x^3} {6} + \ 24} + du frac {x^4} {\ frac {x^5} {120} + \ cdots \ !$ .

L'expansion ci-dessus se tient parce que le dérivé de $e^x$ est également les égales 1. de $e^x$ et de $e^0$ . Ceci laisse le $de limites (x-0) ^n$ dans le numérateur et le n ! dans le dénominateur pour chaque limite dans la somme infinie.

Convergence

Les séries de Taylor n'ont pas besoin en général d'être des séries convergentes , mais souvent elles sont. La limite d'une série de Taylor de convergent n'a pas besoin en général d'être égale au f ( X ) de valeur de fonction, mais souvent elle est. Si le f ( X ) est égal à sa série de Taylor dans un voisinage par , il serait le analytique dans ce voisinage. Si le f ( X ) est égal à sa série de Taylor partout ce s'appelle le entier. La fonction exponentielle

e^x

de et le sinus et le cosinus des fonctions trigonométriques sont des exemples des fonctions entières. Les exemples des fonctions qui ne sont pas entières incluent le logarithme , la tangente de la fonction trigonométrique , et son inverse Arctan . Pour ces fonctions les séries de Taylor même ne convergent pas si le X est loin de un .

Une série de Taylor peut être employée pour calculer la valeur d'une fonction entière à chaque point, si la valeur de la fonction, et de tous ses dérivés, est connue à un unique. Les utilisations de la série de Taylor pour des fonctions entières incluent : Les sommes partielles (les polynômes de Taylor de de la série peuvent être employés comme approximations de la fonction entière. Ces approximations sont bonnes si suffisamment beaucoup de limites sont incluses.

La représentation de série simplifie beaucoup de preuves mathématiques de

Décrite du côté droit est une approximation précise de péché ( X ) autour du de point = 0. La courbe rose est un polynôme du degré sept :

$\ péché \ est parti (x \) droit \ - approximativement x \ frac {x^3} {3 !} + \ frac {x^5} {5 !} - \ frac {x^7} {7 !}\ !$ . L'erreur dans cette approximation n'est pas plus que le

de $\ tfrac Histoire$

Le pythagorien Zeno de philosophe du a considéré le problème d'additionner une série infinie pour réaliser un résultat fini, mais l'a rejeté comme impossibilité : le résultat était le paradoxe de Zeno de . Plus tard, le Aristote a proposé une résolution philosophique du paradoxe, mais le contenu mathématique était apparemment non défini jusqu'à prendre par le Democritus et puis le Archimède . Il était par la méthode du d'Archimède d'épuisement qu'un nombre infini de subdivisions progressives pourrait être exécuté pour réaliser un résultat trigonométrique fini. Le Liu Hui indépendamment a utilisé une méthode semblable plusieurs siècles plus tard. En XIVème siècle , les exemples les plus tôt de l'utilisation de la série de Taylor et des méthodes closely-related ont été donnés par le Madhava de Sangamagrama . Bien qu'aucun disque de son travail ne survive, les écritures des mathématiciens indiens postérieur suggèrent qu'il ait trouvé un certain nombre de cas spéciaux de la série de Taylor, y compris ceux pour les fonctions trigonométriques du sinus, du cosinus, de la tangente , et de l'arctangente . L'école du Kerala de de l'astronomie et les mathématiques promeuvent ont augmenté ses travaux avec de diverses expansions de série et approximations raisonnables jusqu'au XVIème siècle . En XVIIème siècle , James Gregory également travaillé dans ce secteur et édité plusieurs séries de Maclaurin. Il n'était pas jusqu'au 1715 cependant qu'une méthode générale pour construire ces séries pour toutes les fonctions pour lesquelles elles existent a été finalement fourni par le ruisseau Taylor , du nom dont les séries sont maintenant baptisées. La série de Maclaurin a été baptisée du nom de Colin Maclaurin , un professeur à Edimbourg, qui a édité le cas spécial du résultat de Taylor en XVIIIème siècle.

Propriétés

Si cette série converge pour chaque X dans l'intervalle ( un &minus de ; le r , le + r ) et la somme est égal au f ( X ), puis le f ( X ) de fonction serait le de analytique dans l'intervalle ( un &minus de ; r , + r ). Si cela vaut pour n'importe quel r puis la fonction serait une fonction entière de de . Pour vérifier si la série converge vers le f ( X ), on emploie normalement des évaluations pour la limite de reste du théorème de Taylor de . Une fonction est analytique si et seulement si elle peut être représentée comme série entière ; les coefficients de cette série entière sont alors nécessairement ceux indiqués dans la formule ci-dessus de série de Taylor. L'importance d'une telle représentation de série entière est au moins quadruple. D'abord, la différentiation et l'intégration de la série entière peuvent être limite exécutée par limite et sont par conséquent particulièrement faciles. En second lieu, une fonction analytique peut être uniquement prolongée à une fonction holoèdre définie sur un disque ouvert dans le plan complexe , qui rend les machines entières de l'analyse complexe disponibles. Troisièmement, la série (tronquée) peut être employée pour calculer des valeurs de fonction approximativement (souvent en remaniant le polynôme dans la forme de Tchebychev de et en l'évaluant avec l'algorithme de Clenshaw de ). Quatrièmement, des opérations algébriques peuvent souvent être faites beaucoup plus aisément sur la représentation de série entière ; par exemple la preuve la plus simple de la formule d'Euler de emploie les expansions de série de Taylor pour le sinus, le cosinus, et les fonctions exponentielles. Ce résultat est d'importance fondamentale dans des domaines tels que l'analyse harmonique . Noter qu'il y a des exemples du f ( X ) des fonctions infiniment différentiables dont les séries de Taylor convergent, mais est le pas égal au f ( X ). Par exemple, la fonction a défini le pointwise par le f ( X ) = e^{&minus ; 1 ²} du X si le ≠ 0 du X et le f (0) = 0 est un exemple d'une fonction douce Non-analytique . Tous ses dérivés au X = 0 sont zéro, ainsi la série de Taylor de f ( X ) à 0 est zéro partout, quoique la fonction soit différente de zéro pour chaque ≠ 0 du X . Cette pathologie particulière n'afflige pas la série de Taylor dans l'analyse complexe . Là, le secteur de la convergence d'une série de Taylor est toujours un disque dans le plan complexe (probablement avec rayon 0), et où la série de Taylor converge, il converge à la valeur de fonction. Noter que le ² du z d'e^{−1/n'approche pas 0 pendant que le z approche 0 le long de l'axe imaginaire, par conséquent cette fonction n'est pas continue comme fonction sur le plan complexe. Puisque chaque ordre de vrais ou complexes nombres peut apparaître comme coefficients de la série de Taylor d'une fonction infiniment différentiable définie sur la vraie ligne, le rayon de convergence d'une série de Taylor peut être zéro. Il y a même des fonctions infiniment différentiables définies sur la vraie ligne dont les séries de Taylor ont un rayon de convergence 0 partout. Quelques fonctions ne peuvent pas être écrites comme série de Taylor parce qu'elles ont une singularité ; dans ces cas, on peut souvent encore réaliser une expansion de série si on permet également des puissances négatives du variable X ; voir la série de Laurent . Par exemple, $f (x) = e^ {- 1/x^2} \ !$ peut être écrit comme série de Laurent. La méthode de Parker-Sochacki de est une avance récente en trouvant les séries de Taylor qui sont des solutions au cet algorithme des équations sont une prolongation de l'itération de Picard de .

Liste de série de Taylor de quelques fonctions communes
< ! -- --> Plusieurs expansions de série importantes de Maclaurin suivent. Toutes ces expansions sont valides pour le $x complexe d'arguments \ !$ . Fonction exponentielle :

$\ mathrm {e} ^ {x} = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {x^n} {n !} = 1 + x + \ frac {x^2} {2 !} + \ frac {x^3} {3 !} + \ cdots \ quadruple \ mbox {pour tous} x \ !$
Logarithme naturel :

$\ ln (1-x) = - \ sum^ {\ infin} _ {n=1} \ frac {x^n} n \ quadruple \ mbox {pour} |X| < 1 \ !$
Série géométrique fini : $de \ frac {1-x^ {m + 1}} {1-x} = \ x^n \ quadruple \ mbox _ du sum^ {m} {n=0} {pour} x \ not= 1 \ mbox {et} m \ dans \ mathbb {N} _0 \ !$
Série géométrique infinie : $de \ frac {1} {1-x} = \ x^n \ quadruple \ mbox _ de sum^ {\ infin} {n=0} {pour} |X| < 1 \ !$
Variantes de la série géométrique infinie : $de \ frac {x^m} {1-x} = \ x^n \ quadruple \ mbox _ de sum^ {\ infin} {n=m} {pour} |X| < 1 \ mbox {et} m \ dans \ mathbb {N} _0 \ !$ $de \ frac {x} {(1-x) ^2} = \ x^n \ quadruple \ mbox _ de sum^ {\ infin} {n=1} n {pour} |X| < 1 \ !$
Racine carrée : $de \ racine carrée {1+x} = \ ^ du sum_ {n=0} \ infty \ frac {(- ^n de 1) (2n) !}{(1-2n) n ! x^n \ quadruple \ mbox de ^24^n} {pour} |X|<1 \ !$
Série binomiale (inclut la racine carrée pour le α de = 1/2 et les séries géométriques infinies pour le α de = &minus ; 1) : $de (1+x)^ \ alpha = \ ^ de sum_ {n=0} \ {\ alpha \ choisissent n} x^n \ quadruple \ mbox infty {pour tous} |X| < 1 \ mbox {et tout le} de complexe \ alpha \ ! de$ avec les coefficients binomiaux généralisés : ${\ alpha \ choisissent n} = \ = de ^n \ frac du prod_ {k=1} {\ alpha-k+1} k \ frac {\ alpha (\ alpha-1) \ cdots (\ alpha-n+1)} {n !}\ !$
Fonctions trigonométriques

$\ péché X = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {(- ^n de 1)} {(2n+1) !} x^ {2n+1} \ quadruple = - de x \ frac {x^3} {3 !} + \ frac {x^5} {5 !} - \ cdots \ mbox {pour tous} x \ !$

$\ cos X = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {(- ^n de 1)} {(2n) !} x^ {2n} \ quadruple = 1 - \ frac {x^2} {2 !} + \ frac {x^4} {4 !} - \ cdots \ mbox {pour tous} x \ !$

$\ bronzage x = \ sum^ {\ infin} _ {n=1} \ frac {^n 4 de B_ {2n} (-) (1-4^n)} {(2n) !} x^ {2n-1} \ quadruple = x + \ + du frac {x^3} {3} \ frac {2 x^5} {15} + \ cdots \ mbox {pour} |X| < \ frac {\ pi} {2} \ !$
de
où le B s sont les nombres de Bernoulli .

$\ mbox {pour} |X| < \ frac {\ pi} {2} \ !$

$\ arcsin X = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {(2n) !}{4^n (n !)^2 (2n+1)} x^ {2n+1} \ quadruple \ mbox {pour} |X| < 1 \ !$

$\ arctan x = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {(- ^n de 1)} {2n+1} x^ {2n+1} \ quadruple \ mbox {pour} |X| \ le 1 \ !$
Fonctions hyperboliques

$\ sinh X = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {x^ {2n+1}} {(2n+1) !} \ quadruple \ mbox {pour tous} x \ !$

$\ matraque X = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {x^ {2n}} {(2n) !} \ quadruple \ mbox {pour tous} x \ !$

$\ tanh X = \ sum^ {\ infin} _ {n=1} \ frac {B_ {2n} 4^n (4^n-1)}{(2n) !} x^ {2n-1} \ quadruple \ mbox {pour} |X| < \ frac {\ pi} {2} \ !$

$\ mathrm {arcsinh} (x) = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {(- ^n de 1) (2n) !}{4^n (n !)^2 (2n+1)} x^ {2n+1} \ quadruple \ mbox {pour} |X| < 1 \ !$

$\ mathrm {arctanh} (x) = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {x^ {2n+1}} {2n+1} \ quadruple \ mbox {pour} |X| < 1 \ !$

Fonction de W de Lambert de :

$W_0 (x) = \ sum^ {\ infin} _ {n=1} \ frac {(-) ^ n {n-1}} {n !} x^n \ quadruple \ mbox {pour} |X| < \ frac {1} {\} de mathrm {e} \ !$
Le $B_k de nombres \ !$ apparaissant dans les expansions de l'addition de du tan ( X ) et du tanh ( X ) sont les nombres de Bernoulli . Le $E_k \ !$ dans l'expansion de sec ( X ) sont les nombres d'Euler de .

Calcul de série de Taylor
Plusieurs méthodes existent pour le calcul de la série de Taylor d'un grand nombre de fonctions. On peut essayer d'employer la série de Taylor réelle et de généraliser la forme des coefficients, ou on peut employer des manipulations telles que la substitution, la multiplication ou la division, l'addition ou la soustraction de la série de Taylor standard pour construire la série de Taylor avec d'une fonction, en vertu de la série de Taylor étant série entière. Dans certains cas, on peut également dériver la série de Taylor en appliquant à plusieurs reprises l'intégration de par les pièces . Particulièrement commode est l'utilisation des systèmes d'algèbre d'ordinateur de de calculer la série de Taylor.
Premier exemple
Calculer le polynôme de Maclaurin du degré 7^th pour le $f de de fonction (, de x)= \ ln \ cos X \ quadruple X \ dedans (- \ pi/2, \ pi/2) \ !$ . D'abord, récrire la fonction en tant que $f de (x)= \ ln (1+ (\ cos x-1))\ !$ . Nous prenons pour le $\ ln de de logarithme naturel (en employant la grande O notation ) (1+x) = x - \ + de frac {x^2} 2 \ frac {x^3} 3 + \ mathcal {O} (x^4) \ !$ et pour cosinus fonction

$\ cos X - 1 = - \ frac {x^2} 2 + \ - du frac {x^4} {24} \ frac {x^6} {720} + \ mathcal {O} (x^8) \ !$ La dernière expansion de série a une limite constante nul, qui nous permet de substituer la deuxième série dans le premier et d'omettre facilement des limites d'évolué que le degré 7^th en employant la grande notation d'O : le $de \ commencent {aligner} f (x)&= \ ln (1+ (\ cos x-1))\ \ - de &= \ bigl (\ cos x-1 \ bigr) \ + de frac12 \ bigl (\ cos x-1 \ bigr) ^2 \ frac13 \ bigl (\ cos x-1 \ bigr) \ de ^3+ \ mathcal {O} \ bigl ((\ cos x-1) ^4 \ bigr) \ &= \ biggl (- \ frac {x^2} 2 + \ - du frac {x^4} {24} \ frac {x^6} {720} + \ {O} (x^8) \ biggr) - mathcal \ frac12 \ biggl (- \ frac {x^2} 2+ \ frac {x^4} {24} + \ mathcal {O} (x^6) \ biggr) ^2+ \ frac13 \ biggl (- \ frac {x^2} 2+ \ mathcal {O} (x^4) \ biggr) ^3 + \ mathcal {O} (x^8) \ \ et = \ + de frac {x^2} 2 \ frac {x^4} {24} - \ 720} - du frac {x^6} {\ frac {x^4} 8 + \ - du frac {x^6} {48} \ frac {x^6} {24} + \ mathcal {O} (x^8) \ \ et = - \ frac {x^2} 2 - \ - du frac {x^4} {12} \ frac {x^6} {45} + \ mathcal {O} (x^8). \ extrémité {aligner} \ !$ Puisque le cosinus est une fonction même , les coefficients pour tout le impair X , le X ^{3, le X ^{5, le X ^{7 de puissances.}}}

Deuxième exemple
Supposent que nous veulent Taylor série à 0 de fonction

$g (x)= \ frac {e^x} {\} de cos X \ !$ . Nous prenons pour = de $e^x de de fonction exponentielle \ sum^ \ infty_ {n=0} {le x^n \ au-dessus de n !} =1 + x + {x^2 \ plus de 2 !} + {x^3 \ plus de 3 !} + {x^4 \ plus de 4 !}+ \ cdots \ !$ et, comme dans le premier exemple, $de \ cos X = 1 - {x^2 \ plus de 2 !} + {x^4 \ plus de 4 !} - \ cdots \ !$ Supposer que la série entière est le $de {e^x \ au-dessus de \ cos X} = c_0 + c_1 X + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \ cdots \ !$ Puis la multiplication avec le dénominateur et la substitution de la série du $de de rendements de cosinus \ commencent {aligner} le &= d'e^x (c_0 + c_1 X + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \ cdots) \ \ de cos X \ &= \ sont partis (c_0 + c_1 X + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \ cdots \) droit \ à gauche (1 - {x^2 \ plus de 2 !} + {x^4 \ plus de 4 !} - \ cdots \) \ droit \ &=c_0 - {c_0 \ plus de 2} x^2 + {c_0 \ plus de 4 !}x^4 + c_1x - {c_1 \ plus de 2} x^3 + {c_1 \ plus de 4 !}x^5 + c_2x^2 - {c_2 \ plus de 2} x^4 + {c_2 \ plus de 4 !}x^6 + c_3x^3 - {c_3 \ plus de 2} x^5 + {c_3 \ plus de 4 !}x^7 + \ cdots \ extrémité {aligner} \ !$ Le rassemblement des limites jusqu'au quatrième ordre rapporte le $=c_0 + c_1x + \ à gauche (c_2 - {c_0 \ plus de 2} \ droit) x^2 + \ à gauche (c_3 - {c_1 \ plus de 2} \ droit) x^3+ \ est parti (c_4+ {c_0 \ plus de 4 !}- {c_2 \ plus de 2} \ droit) x^4 + \ cdots \ !$ Comparer des coefficients à la série ci-dessus de la fonction exponentielle rapporte le $de de série de Taylor \ frac désirés {e^x} {\ cos X} =1 + x + x^2 + {2x^3 \ plus de 3} + {x^4 \ plus de 2} + \ cdots \ !$ .
Série de Taylor comme définitions
Classiquement, les fonctions ci-dessus sont définies par une certaine propriété qui se tient pour elles. Par exemple, la fonction exponentielle est définie comme fonction qui est égale à son propre dérivé. Cependant, dans l'analyse calculable , des fonctions doivent être définies par des algorithmes plutôt que des propriétés, ainsi les expansions ci-dessus de Taylor sont employées en tant que définitions primaires plutôt que des résultats dérivés. C'est susceptible également d'être le cas dans des réalisations de logiciel des fonctions. Using la série de Taylor, on peut définir des fonctions analytiques des matrices et des opérateurs, telles que le Matrix le logarithme exponentiel de Matrix de ou de .

Série de Taylor pour plusieurs variables
La série de Taylor peut également être généralisée aux fonctions de plus que celles variables avec le $T de (x_1, \ cdots, x_d) = \ ^ du sum_ {n_1=0} {\ infin} \ cdots \ ^ du sum_ {n_d=0} {\ infin} \ frac {\ partial^ {n_1}} {\ x_1^ partiel {n_1}} \ cdots \ frac {\ partial^ {n_d}} {\ x_d^ partiel {n_d}} \ frac {f (a_1, \ cdots, a_d)}{n_1 ! \ n_d de cdots !} (x_1-a_1) ^ {n_1} \ cdots (x_d-a_d) ^ {} de n_d \ !$ . Par exemple, pour une fonction qui dépend de deux variables, X et y , la série de Taylor au deuxième ordre au sujet du point ( un , b ) est : $f de (x, y) \ !$

$\ approximativement f (a, b) + f_x (a, b) (x-a) + f_y (a, b)) (de y-b \ ! de$ $+ \ frac {1} {2 !}\ f_ laissé {xx} (a, b) (x-a) ^2 + 2f_ {de x/y} (a, b) (x-a) (y-b) + f_ {yy} (a, b) (y-b) ^2 \ droit \ !$
Une expansion de série de second ordre de Taylor d'une fonction scalaire-évaluée de plus que celle variable peut être de manière compacte écrite en tant que $T de (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {a}) + \ + ^T du nabla f (\ mathbf {a}) (\ - de mathbf {x} \ mathbf {a}) \ frac {1} {2 !} (\ - de mathbf {x} \ mathbf {a}) ^T \ nabla^2 f (\ mathbf {a}) (\ - de mathbf {x} \ mathbf {a}) + \ cdots \ !$
là où $\ nabla f (\) de mathbf {a} \ !$ est gradient et $\ nabla^2 f (\) de mathbf {a} \ !$ est la matrice hessoise (ne pas être confondu avec le Laplacian , qui a parfois la même notation). Appliquant la notation de Multi-index de la série de Taylor pour plusieurs variables devient $T de$
(\ mathbf {x}) = \

du sum_ Voir également

Théorème de Taylor de
Série de Laurent
Les fonctions holoèdres de sont &mdash analytique de ; une preuve qu'une fonction holoèdre peut être exprimée comme série entière de Taylor
Interpolation de la différence divisée de Newton de
Madhava de Sangamagrama (crédité de la première utilisation du " ; Taylor" ; séries)
Moteur de différence}

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Définition

Exemples

Convergence

de \ tfrac Histoire

Propriétés

Liste de série de Taylor de quelques fonctions communes

Calcul de série de Taylor

Premier exemple

Deuxième exemple

Série de Taylor comme définitions

Série de Taylor pour plusieurs variables

du sum_ Voir également

de $\ tfrac Histoire$