Série de Dyson

Dans la théorie de dispersion , la série de Dyson de est une série de Perturbative , et chaque limite est représentée par série des diagrammes de Feynman de cette diverge le asymptotiquement , mais dans l'électrodynamique de Quantum de au deuxième ordre la différence des données expérimentales est dans l'ordre de $10^\; \{-\; 10\}$. Nous obtenons ce résultat parce que la constante d'accouplement du QED (également connu sous le nom de la constante de structure fine ) est beaucoup moins de 1. Noter que dans ce ħ d'article = 1.

L'opérateur de Dyson

Nous supposons que nous avons un hamiltonien H que nous coupons en " ; free" ; H₀ de partie et un " ; interacting" ; pièce le H=H₀+V du V c. Nous travaillerons dans l'image d'interaction ici.

Dans l'image d'interaction, l'opérateur U d'évolution de définie par l'équation :

$\backslash \; Livre\; parpouce\; carré)\; t,\; t\_0\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (t\_0)\; (de\; t)=U\; ($

s'appelle l'opérateur de Dyson de .

Nous avons

$U\; (t,\; de\; =U,\; de\; t)=I\; \backslash \; U\; (t,\; t\_0)\; (t,\; t\_1)\; U\; (t\_1,\; t\_0)\; \backslash \; U^\; \{-\; 1\}\; (t,\; t\_0)\; =U\; (t\_0,\; t)$

et puis (équation de Tomonaga-Schwinger de )

$i\; \{d\; \backslash \; au-dessus\; de\; décollement\}\; U\; (t,\; t\_0)\; \backslash livrepar\; pouce\; carré\; (t\_0)\; =\; V\; (t))\; t,\; t\_0\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (t\_0)\; d\text{'}U\; (.$

Ainsi : $U\; de$

(t, t_0) =1 - I \ ^t de l'int_ {t_0} {dt_1 \ V (t_1) U (t_1, t_0)}.

Dérivation de la série de Dyson

Ceci mène à la série suivante de Neumann de : $U\; de\; (t,\; t\_0)\; =1\; -\; I\; \backslash \; ^\; de\; l\text{'}int\_\; \{t\_0\}\; \{t\}\; \{dt\_1V\; (t\_1)\}+\; (-\; I)\; ^2\; \backslash \; ^t\; de\; l\text{'}int\_\; \{t\_0\}\; \{dt\_1\; \backslash \; ^\; d\text{'}int\_\; \{t\_0\}\; \{t\_1\}\; \{dt\_2V\; (t\_1)\; V\; (t\_2)\}\}\; +\dots \; +\; (-)\; ^t\; du\; ^n\; I\; \backslash \; int\_\; \{t\_0\}\; \{dt\_1\; \backslash \; ^\; d\text{'}int\_\; \{t\_0\}\; \{t\_1\}\; \{dt\_2\dots \; \backslash \; ^\; d\text{'}int\_\; \{t\_0\}\; \{t\_\; \{n-1\}\}\; \{dt\_nV\; (t\_1)\; V\; (t\_2)\dots \; V\; (t\_n)\}\}\}$

Si nous supposons que $t>t\_1>t\_2>\dots \; >t\_n$ que nous pouvons dire que les champs sont le temps de de a commandé , et ainsi il est utile de présenter un opérateur appelé le Temps-commandant l'opérateur de . Définition : $U\_n\; de$

(t, t_0) = (-) ^n I \ ^t de l'int_ {t_0} {dt_1 \ ^ d'int_ {t_0} {t_1} {dt_2… \ ^ d'int_ {t_0} {t_ {n-1}} {dt_n \ TV mathcal (t_1) V (t_2)… V (t_n)}}}

Nous pouvons maintenant essayer de rendre cette intégration plus simple. en fait, dans l'exemple suivant : $S\_n=\; de\; \backslash \; ^t\; de\; l\text{'}int\_\; \{t\_0\}\; \{dt\_1\; \backslash \; ^\; d\text{'}int\_\; \{t\_0\}\; \{t\_1\}\; \{dt\_2\dots \; \backslash \; ^\; d\text{'}int\_\; \{t\_0\}\; \{t\_\; \{n-1\}\}\; \{dt\_nK\; (t\_1,\; t\_2,\dots ,\; t\_n)\}\}\}$

Si K est symétrique dans ses arguments, nous pouvons définir (regard aux limites d'intégration) : $K\_n=\; de$

\ ^t de l'int_ {t_0} {dt_1 \ ^ d'int_ {t_0} {t} {dt_2… \ ^t d'int_ {t_0} {dt_nK (t_1, t_2,…, t_n)}}}

Et ainsi il est vrai que : $S\_n=\; de$

\ frac {1} {n !}K_n

Retournant à notre intégrale précédente, il tient l'identité : $U\_n=\; \backslash \; frac\; de$

{(-) ^n I} {n !}\ ^t de l'int_ {t_0} {dt_1 \ ^t d'int_ {t_0} {dt_2… \ ^t d'int_ {t_0} {dt_n \ TV mathcal (t_1) V (t_2)… V (t_n)}}}

Résumant toutes les limites nous obtenons la série de Dyson de : $U\; de$

(t, t_0) = \ ^ du sum_ {n=0} \ U_n infty (t, t_0) = \ Te^ mathcal {- ^t d'I \ int_ {t_0} {d \ tau V (\ tau)}}

La série de Dyson pour des wavefunctions

Puis, retournant au wavefunction pour t>t₀,

$|\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (t)\; \backslash \; ^\; de\; rangle=\; \backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; \backslash \; infty\; \{(-)\; ^n\; I\; \backslash \; au-dessus\; de\; n\; !\}\backslash \; ^n\; laissé\; (\backslash \; prod\_\; \{k=1\}\; \backslash \; dt\_k\; ^t\; d\text{'}int\_\; \{t\_0\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; mathcal\; \{\}\; de\; T\; \backslash \; laissé\; \backslash \; \{\backslash \; ^\; ^\; nord-est\; de\; prod\_\; \{k=1\}\; \{iH\_0\; t\_k\}\; Ve^\; \{-\; t\_k\; iH\_0\}\; \backslash \; droit\; \backslash \}|\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (t\_0)\; \backslash \; rangle$.

Retournant à l'image de Schrödinger de , pour t_f > t_i, $\backslash \; langle\; \backslash \; psi\_f\; de$

; t_f|\ psi_i ; t_i \ rangle= \ sum_ {n=0} ^ \ infty (-) ^n I \ commencent {matrice} \ underbrace {\ international dt_1 \ dt_n de cdots} \ \ t_f \ GE t_1 \ GE \ point \ GE t_n \ GE t_i \ extrémité {} de matrice \ langle \ psi_f ; t_f|e^ {- iH_0 (t_f-t_1)}Ve^ {- iH_0 (t_1-t_2)}\ cdots Ve^ {- iH_0 (t_n-t_i)}|\ psi_i ; t_i \ rangle.

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