Roulette (courbe)

Dans la géométrie différentielle de des courbes , une roulette est un genre de courbe , généralisant le Hypocycloids d'Epicycloids des cycloïdes et le Involutes prennent deux courbes. Fixer un certain point , appelé le générateur de ou le poteau de , par rapport à la première courbe. Rouler la première courbe le long de la deuxième ; le générateur trace dehors une courbe. Une telle courbe s'appelle une roulette.

Plus avec précision, les courbes doivent être les courbes différentiables du dans l'avion euclidien . Un est maintenu invariable ; l'autre est soumis à une transformation continue de la congruence du tels qu'à tout moment les courbes sont la tangente à un point de contact qui se déplace avec la même vitesse une fois pris le long de l'une ou l'autre courbe. La roulette en résultant est constituée par le lieu du générateur soumis au même ensemble de transformations de congruence.

La modélisation de l'original courbe comme courbes dans le plan complexe , a laissé le $r,\; f:\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; C$ soit des parametrisations différentiables tels que 0) =f de $r\; ((0),$ $r\text{'}(0)\; =f\text{'}(0),$ et $|r\text{'}(t)|=|f\text{'}(t)|\backslash \; ne0$ pour tout le t . La roulette du $p\; \backslash \; de\; dans\; \backslash \; mathbb\; C$ comme r est roulée sur le f est alors donnée par la cartographie : $t\; de$

\ mapsto f (t)+ (P. (t)) {f'(t) \ au-dessus de r'(t)}.

Des roulettes dans les espaces plus élevés peuvent certainement être imaginées mais on doit aligner plus que juste les tangentes.

Une roulette de Sturm de trace le centre d'une section conique pendant que la section roule sur une ligne. Une roulette de Delaunay de trace un centre d'une section conique pendant que la section roule sur une ligne.

Exemple

Si la courbe fixe est une caténaire et la courbe de roulement est une ligne , nous avons : $f\; de$

(t)=t+i \ matraque (t), \ f'(de qquad t)=1+i \ sinh (t), \, $r\; de$

(t)= \ sinh (t), \ t)= r'(de qquad \ matraque (t), \,

$f\; (t)+\; (P.\; (t))\; \{f\text{'}(t)\; \backslash \; au-dessus\; de\; r\text{'}(t)\}\; =t+\; \{p\; \backslash \; sinh\; (t)+i\; (1+p\; \backslash \; sinh\; (t))\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; matraque\; (t)\}.$

si p = &minus ; le i l'expression est vrai et la roulette est un trait horizontal. En d'autres termes, une roue de place de pourrait rouler sans rebondir dans une route qui était des séries assorties d'arcs caténaires.

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