Rotor rigide

Le rotor rigide est un modèle mécanique qui est employé pour expliquer les systèmes tournants. Un rotor rigide arbitraire est un objet rigide à trois dimensions, tel qu'un dessus . Pour orienter un tel objet dans des angles de l'espace trois sont priés. Un rotor rigide spécial est le rotor linéaire qui est un objet à deux dimensions, exigeant de deux angles de décrire son orientation. Un exemple d'un rotor linéaire est une molécule diatomique . Des molécules plus générales aiment l'eau (le rotor asymétrique), l'ammoniaque (rotor symétrique), ou le méthane (rotor sphérique) sont à trois dimensions, voient la classification de des molécules .

Le rotor linéaire

Le modèle rigide linéaire de rotor se compose des deux masses de point situées aux distances fixes de leur au centre de la masse. La distance fixe entre les deux masses et les valeurs des masses sont les seules caractéristiques du modèle rigide. Cependant, parce que beaucoup le diatomics réel ce modèle est trop restrictif puisque les distances ne sont habituellement pas complètement fixes. Des corrections sur le modèle rigide peuvent être faites pour compenser de petites variations de la distance. Même en ce cas le modèle rigide de rotor est un point de départ utile (modèle de zeroth-ordre).

Le rotor rigide linéaire classique

Le rotor linéaire classique se compose des deux masses $m\_1$ et $m\_2$ de point (avec $dela\; masse\; réduite\backslash \; MU\; =\; \backslash \; frac\; \{m\_1m\_2\}\; \{m\_1+m\_2\}$) à une distance $R$. Le rotor est rigide si $R$ est indépendant de temps. La cinématique d'un rotor rigide linéaire est habituellement décrite au moyen de coordonnées polaires sphériques , qui forment un système du même rang du R ³. Dans la convention de physique les coordonnées sont le $d\text{'}angle\; decolatitude(zénith)\; \backslash \; thêta\; \backslash ,\; les$, le $longitudinal\; d\text{'}angle\; (d\text{'}azimut)\; \backslash \; varphi\; \backslash ,$ et la distance $R$. Les angles spécifient l'orientation du rotor dans l'espace. L'énergie cinétique $T$ du rotor rigide linéaire est donnée par le $de\; 2T\; =\; \backslash \; MU\; R^2\; \backslash \; grand\; =\; \backslash \; MU\; R^2\; \backslash \; grand\; (\backslash \; point\; \{\backslash \}\; de\; thêta\; \backslash \; ;\; \backslash \; ;\; \backslash \; point\; \{\backslash \; varphi\}\; \backslash \; grands)\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; 1\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; sin^2\; \backslash \; thêta\; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; \backslash \; point\; \{\backslash \}\; de\; thêta\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; point\; \{\backslash \; varphi\}\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}$

\ MU \ grand (\ point {\} de thêta \ ; \ ; \ point {\ varphi} \ grands) \ commencer {le pmatrix} h_ \ theta^2 et 0 \ \ 0 et h_ \ varphi^2 \ \ \ extrémité {pmatrix} \ commencer {le pmatrix} \ point {\} de thêta \ \ \ point {\ varphi} \ extrémité {pmatrix}, là où le $h\_\; \backslash \; thêta\; =\; les\; R\; \backslash ,\; les$ et le $h\_\; \backslash \; varphi=\; R\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash ,$ sont la balance de (ou le Lamé) factorise .

Les facteurs de proportionnalité sont d'importance pour des applications mécaniques de quantum puisqu'ils écrire le Laplacian exprimé en coordonnées curvilignes . Dans le $actuel\; de\; de\; cas\; ($ R$constant)\; \backslash \; nabla^2\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \backslash \; h\_\; \backslash \; varphi\; dethêta\}\; \backslash \; est\; parti\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; thêta\}\; \backslash \; frac\; \{h\_\; \backslash \; varphi\}\; \{\}\; de\; h\_\; \backslash \; thêta\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; thêta\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; varphi\}\; \backslash \; frac\; \{h\_\; \backslash \; thêta\}\; \{\}\; de\; h\_\; \backslash \; varphi\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; varphi\}\; \backslash \; droit]\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{R^2\}\; \backslash \; est\; parti\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\}\; \{\backslash \}\; partiel\; \backslash \; thêta\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; thêta\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \}\; de\; sin^2\; \backslash \; thêta\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; varphi^2\}\; \backslash \; droit].$ La fonction hamiltonienne classique du rotor rigide linéaire est le $de\; H\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; MU\; R^2\}\; \backslash \; +\; laissé\; \backslash \; frac\; \{p^2\_\; \{\backslash \; varphi\}\}\; \{\backslash \; sin^2\; \backslash \; thêta\}\; \backslash \; droit.$

Le rotor rigide linéaire mécanique de quantum

Le modèle rigide linéaire de rotor peut être employé dans la mécanique quantique De pour prévoir l'énergie de rotation d'une molécule diatomique du . L'énergie de rotation dépend du moment de de l'inertie pour le système, le $I$. Dans l'armature de référence au centre de la masse du , le moment de l'inertie est égal à : = de $de$

I \ MU R^2

là où le $\backslash \; mu$ est la masse réduite de la molécule et du $R$ est la distance entre les deux atomes.

Selon la mécanique quantique De , les forces d'un système peuvent être déterminées en résolvant l'équation de Schrödinger de : $de$

\ chapeau H Y = E Y

là où $Y$ est la fonction d'onde et $\backslash \; chapeau\; H$ est l'opérateur d'énergie ( hamiltonien). Pour le rotor rigide dans un espace champ-libre, l'opérateur d'énergie correspond à l'énergie cinétique du système :

$\backslash \; chapeau\; H\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar^2\}\; \{\}\; de\; 2\; \backslash \; MU\; \backslash \; nabla^2$

là où le $\backslash \; hbar$ est le constant de Planck de divisé par $2\; \backslash \; pi$ et $\backslash \; nabla^2$ est le Laplacian . Le Laplacian est donné ci-dessus en termes de coordonnées polaires sphériques. L'opérateur d'énergie écrit en termes de ces coordonnées est :

$\backslash \; chapeau\; H\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar^2\}\; \{2I\}\; \backslash \; parti\; \{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; partiel\; \backslash \; thêta\}\; \backslash \; parti\; (\backslash \; péché\; \backslash \; thêta\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; partiel\; \backslash \; thêta\}\; \backslash \; droit)\; +\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; \{\backslash \; sin^2\; \backslash \; thêta\}\}\}\; partial^2\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; partiel\; \backslash \; varphi^2\; \backslash \; right$ {\

Cet opérateur apparaît également dans l'équation de Schrödinger de l'atome d'hydrogène après la partie radiale est séparé au loin. L'équation de valeur propre devient le $de\; \backslash chapeauH\; Y\_\; \backslash \; ell^m\; (\backslash ,\; de\; thêta\; \backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar^2\}\; \{2I\}\; \backslash \; aune\; (\backslash \; ell+1)\; Y\_\; \backslash \; ell^m\; (\backslash ,\; de\; thêta\; \backslash \; varphi).$ Le $Y\_\; desymbole\backslash \; ell^m\; (\backslash ,\; de\; thêta\; \backslash \; varphi)$ représente un ensemble de fonctions connues sous le nom de note sphérique des harmoniques que l'énergie ne dépend pas du $m\; \backslash ,$. Énergie

$E\_\; \backslash \; aune\; =\; \{\backslash \; hbar^2\; \backslash \; au-dessus\; 2I\; de\}\; \backslash \; aune\; \backslash \; a\; laissé\; (\backslash \; ell+1\; \backslash \; droit)$ est $2\; \backslash \; ell+1$-fold dégénéré : les fonctions avec le $\backslash \; aune\; \backslash ,$ et $m=-\; \backslash \; aune\; fixes,\; -\; \backslash \; ell+1,\; \backslash \; pointille,\; \backslash \; ell$ ont la même énergie.

Présentant le de rotation B de la constante de , nous écrivons, le $de\; E\_\; \backslash \; aune\; =\; B\; \backslash \; ;\; \backslash \; aune\; \backslash \; est\; parti\; (\backslash \; ell+1\; \backslash )\; droit\; \backslash quadruple\backslash \; textrm\; \{avec\}\; \backslash \; quadruple\; B\; \backslash \; équivalent\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar^2\}\; \{2I\}.$ Dans l'unité de la longueur réciproque la constante de rotation est, $de\; \backslash \; barre\; B\; \backslash \; =\; équivalent\; \backslash \; frac\; \{B\}\; \{hc\}\; \backslash \; frac\; \{h\}\; \{8\; \backslash \; pi^2cI\},$ avec le c la vitesse de la lumière. Si les unités de Cgs de sont employées pour le h , le c , et le I , le $\backslash \; barre\; B$ est exprimé dans les nombres de vague , cm^-1, une unité qui est employée souvent pour la spectroscopie de rotation-vibratoire. Le $\backslash \; barre\; constants\; de\; rotation\; B\; (R)$ dépend de la distance $R$. Souvent un écrit = de B_e de $\backslash \; barre\; B\; (R\_e)$ où $R\_e$ est la valeur d'équilibre de $R$ (la valeur pour laquelle l'énergie d'interaction des atomes dans le rotor a un minimum).

Un spectre de rotation typique se compose d'une série de crêtes qui correspondent aux transitions entre les niveaux avec différentes valeurs du nombre de Quantum de de moment angulaire ($\backslash \; ell$). En conséquence, les crêtes de rotation apparaissent aux énergies correspondant à un multiple de nombre entier du $\{2\; \backslash \; barre\; B\}$.

Règles de choix

Les transitions de rotation d'une molécule se produisent quand la molécule absorbe une particule de photon d'un champ électromagnétique (em) à quantification. Selon l'énergie du photon (c., la longueur d'onde du champ de fin de support) cette transition peut être vue comme bande latérale d'un vibratoire et/ou transition électronique. Les transitions de rotation pures, dans lesquelles (= vibratoire plus électronique) la fonction d'onde vibronique ne change pas, se produisent dans la région de la micro-onde du spectre de fin de support.

Typiquement, on peut seulement observer des transitions de rotation quand le nombre de Quantum de de moment angulaire change par 1 ($\backslash \; =\; de\; delta\; l\; \backslash \; P.\; Cette\; règle\; de\; choix\; résulte\; d\text{'}une\; approximation\; de\; premier\; ordre\; dethéorie\; de\; la\; perturbationde\; l\text{'}équation\; dépendant\; du\; temps\; de\; Schrödinger\; de\; .\; Selon\; ce\; traitement,\; on\; peut\; seulement\; observer\; des\; transitions\; de\; rotation\; quand\; un\; ou\; plusieurs\; composants\; de\; l\text{'}opérateur\; de\; dipöle\; deavoir\; un\; momentnon-vanishing\; de\; transition.\; Si\; le\; z\; est\; la\; direction\; du\; composant\; de\; champ\; électrique\; de\; la\; vague\; entrante\; de\; fin\; de\; support,\; le\; moment\; de\; transition\; est,\; le$ de\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\_2\; |\; \backslash \; mu\_z\; |\; \backslash \; psi\_1\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; est\; parti\; (\backslash \; mu\_z\; \backslash \; droit)\; \_\; \{21\}\; =\; \backslash international\backslash \; psi\_2^*\; \backslash \; mu\_z\; \backslash \; psi\_1\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; tau.$$

Une transition se produit si cette intégrale est différente de zéro. En séparant la partie de rotation du wavefunction moléculaire du vibronique pièce, un peut prouver que ceci signifie que la molécule doit avoir un moment dipolaire permanent . Après intégration au-dessus des coordonnées vibroniques la partie de rotation suivante du moment de transition demeure,

$\backslash \; a\; laissé\; (\backslash \; mu\_z\; \backslash \; droit)\; le\; \_\; \{l,\; m\; ;\; l\text{'},\; m\text{'}\}\; =\; \backslash \; MU\; \backslash \; int\_0^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; int\_0^\; \backslash \; pi\; Y\_\; \{l\text{'}\}^\; \{m\text{'}\}\; \backslash \; est\; parti\; (\backslash ,\; de\; thêta\; \backslash \; phi\; \backslash \; droit)\; ^*\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; \backslash ,\; Y\_l^m\; \backslash ,\; \backslash \; est\; parti\; (\backslash ,\; de\; thêta\; \backslash \; phi\; \backslash )\; droit\; \backslash \; ;\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta.$ Ici le $\backslash \; MU\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; \backslash ,$ est le composant du z du moment dipolaire permanent. Le $de\; moment\; \backslash \; mu$ est le composant vibronically ramené à une moyenne de l'opérateur de dipöle de . Seulement le composant du dipöle permanent le long de l'axe d'une molécule heteronuclear est non-vanishing. En employant l'orthogonalité du $Y\_l^m\; sphérique\; des\; harmoniques\; \backslash ,\; \backslash \; a\; laissé\; (\backslash ,\; de\; thêta\; \backslash \; phi\; \backslash \; droit)$ il est possible de déterminer quelles valeurs de $l$, de $m$, de $l\text{'},\; et\; de$ m\text{'}\; auront\; comme\; conséquence\; des\; valeurs\; différentesde\; zéropour\; l\text{'}intégrale\; de\; moment\; de\; transition\; de\; dipöle.\; Cette\; contrainte\; a\; comme\; conséquenceles\; règlesde\; choix\; observées\; pour\; le\; rotor\; rigide\; :$$

$\backslash \; Delta\; m\; =\; 0\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; hbox\; \{et\}\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; =\; de\; delta\; l\; \backslash \; P.\; 1$

Rotor linéaire souple

Le rotor rigide est utilisé généralement pour décrire l'énergie de rotation des molécules diatomiques mais ce n'est pas une description complètement précise de telles molécules. C'est parce que les liens moléculaires (et donc la distance interatomique $R$) ne sont pas complètement fixes ; le lien entre les atomes s'étend dehors pendant que la molécule tourne plus rapidement (des valeurs plus élevées du nombre de Quantum de rotation $l$). Cet effet peut être expliqué en présentant un facteur de correction connu sous le nom de $de\; déformation\; centrifuge\; \backslash \; barre\; constants\; \{D\}$ (les barres sur de diverses quantités indiquent que ces quantités sont exprimées en cm^-1) : le $de$

\ barre E_l = {E_l \ au-dessus de hc} = \ barre {B} l \ sont partis (l+1 \ droit) du - \ barre {D} l^2 \ ont laissé (l+1 \ droit) ^2

là où $\backslash \; barre\; de$

D = {4 \ barre {B} ^3 \ au-dessus de \ barre {\ boldsymbol \ Omega} ^2} le $\backslash \; barre\; \backslash \; boldsymbol\; de$

\ omega est la fréquence vibratoire fondamentale du lien (dans cm^-1). Cette fréquence est liée à la masse réduite et à la constante de force (force en esclavage) de la molécule selon

$\backslash \; barre\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\}\; de\; 2\; \backslash \; pi\; c\; \backslash \; racine\; carrée\; \{k\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; MU\}$

Le rotor souple est un modèle acceptablement précis pour les molécules diatomiques mais est toujours quelque peu imparfait. C'est parce que, bien que le modèle explique l'étirage de lien dû à la rotation, il ignore tout étirage de lien dû à l'énergie vibratoire dans le lien (anharmonicity dans le potentiel).

Rotor rigide arbitrairement formé

Un rotor rigide arbitrairement formé est un corps rigide de forme arbitraire avec son au centre de la masse fixe (ou dans le mouvement rectiligne uniforme) dans le champ-libre R ³ de l'espace, de sorte que son énergie consiste seulement en énergie cinétique de rotation (et probablement énergie de translation constante qui peuvent être ignorées). Un corps rigide peut (partiellement) être caractérisé par les trois valeurs propres de son moment de du tenseur d'inertie, qui sont des valeurs non négatives réelles connues sous le nom de principaux moments de de l'inertie . Dans le &mdash de la spectroscopie des hyperfréquences ; la spectroscopie basée sur le transitions&mdash de rotation ; on classifie habituellement des molécules (vues en tant que rotors rigides) comme suit :
rotors sphériques
rotors symétriques
rotors symétriques aplatis aux pôles
rotors symétriques allongés
rotors asymétriques Cette classification dépend des importances relatives des principaux moments de l'inertie.

Coordonne du rotor rigide

Les différentes branches de la physique et de la technologie emploient différentes coordonnées pour la description de la cinématique d'un rotor rigide. Dans des angles moléculaires d'Euler de de physique sont employés presque exclusivement. En applications mécaniques de quantum il est avantageux d'employer Euler angles dans une convention qui est une prolongation simple de la convention physique des coordonnées polaires sphériques .

La première étape est l'attachement d'une armature orthonormale droitière du (système à trois dimensions des haches orthogonales) au rotor (une armature corps-fixe ). Cette armature peut être attachée arbitrairement au corps, mais souvent un emploie le frame&mdash de haches de principal ; les vecteurs propres normaux du tenseur d'inertie, qui toujours peut être orthonormal choisi, puisque le tenseur est le symétrique. Quand le rotor possède un symétrie-axe, il coïncide habituellement avec une des principales haches. Il est commode de choisir en tant que corps-fixe z - axe l'axe d'ordre suprême de symétrie.

On commence par aligner l'armature corps-fixe avec une armature espace-fixe (haches de laboratoire), de sorte que les haches corps-fixes du X , du y , et du z coïncident avec l'axe espace-fixe du X , du Y , et du Z . Deuxièmement, le corps et son armature sont le tourné activement au-dessus d'un $de\; l\text{'}angle\; \backslash \; d\text{'}alpha\; \backslash ,$ autour du z - l'axe (par la règle droite ), d'un qui positifs déplace le $y$- au $y\text{'}-axis.\; Troisièmement,\; on\; tourne\; le\; corps\; et\; son\; armature\; au-dessus\; d\text{'}un$ positifd\text{'}angle\; \backslash \; bêta\; \backslash ,$autour\; du$ y\text{'}-axis.\; Le\; z\; -\; l\text{'}axe\; de\; l\text{'}armature\; corps-fixe\; a\; après\; cesdeuxrotations\; le$ d\text{'}angle\; \backslash \; alpha\; \backslash ,$(généralement\; indiqué\; par\; le$ \backslash \; varphi\; \backslash ,$)\; et\; le$ d\text{'}angle\; de\; colatitude\; \backslash \; bêta\; \backslash ,\; le$longitudinaux\; (généralement\; indiqué\; par\; le$ \backslash \; thêta\; \backslash ,$),\; tous\; les\; deux\; en\; ce\; qui\; concerne\; l\text{'}armature\; espace-fixe.\; Si\; le\; rotor\; étaient\; symétrique\; cylindriqueautourde\; son\; z\; -\; l\text{'}axe,\; comme\; le\; rotor\; rigide\; linéaire,\; son\; orientation\; dans\; l\text{'}espace\; serait\; clairement\; spécifié\; en\; ce\; moment.$$

Si le corps manque de la symétrie (axiale) de cylindre, une dernière rotation autour de son z - l'axe (qui a le $de\; coordonnées\; polaires\; \backslash \; bêta\; \backslash ,\; le$ et le $\backslash \; alpha\; \backslash ,$) est nécessaire pour spécifier son orientation complètement. Traditionnellement le dernier angle de rotation s'appelle $\backslash \; gamma\; \backslash ,$.

La convention de pour les angles d'Euler décrits ici est connue comme de $z\; -\; convention\; du\; y\text{'}-\; z$ ; il peut montrer que (de la même manière comme dans le cet article ) ce il est équivalent à la convention de $z-y-z$ dans laquelle l'ordre des rotations est renversé.

Toute la matrice des trois rotations consécutives est le produit

$\backslash \; mathbf\; \{R\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta,\; \backslash \; gamma)\; =\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; et\; -\; \backslash \; péché\; \backslash \; alpha\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; et\; de\; péché\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 1\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; bêta\; et\; 0\; et\; \backslash \; péché\; \backslash \; bêta\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 1\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; -\; \backslash \; péché\; \backslash \; bêta\; et\; 0\; et\; \backslash \; cos\; \backslash \; bêta\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; gamma\; et\; -\; \backslash \; péché\; \backslash \; gamma\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; et\; de\; péché\; \backslash \; gamma\; \backslash \; cos\; \backslash \; gamma\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 1\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}$

Laisser le $\backslash \; mathbf\; \{r\}\; (0)$ soient le vecteur du même rang d'un $arbitraire\; de\; point\; \backslash \; \{P\}\; d\text{'}$ mathcal dans le corps en ce qui concerne l'armature corps-fixe. Les éléments du $\backslash \; du\; mathbf\; \{r\}\; (0)$ sont « les coordonnées corps-fixes » du $\backslash \; \{P\}\; du$ mathcal. Au commencement le $\backslash \; mathbf\; \{r\}\; (0)$ est également le vecteur du même rang espace-fixe du $\backslash \; \{P\}\; du$ mathcal. Lors de la rotation du corps, les coordonnées corps-fixes du $\backslash \; \{P\}\; du$ mathcal ne changent pas, mais le vecteur du même rang espace-fixe du $\backslash \; \{P\}\; du$ mathcal devient, le $de\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta,\; \backslash \; gamma)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash )\; bêta,\; \backslash \; gamma\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (0).$ En particulier, si le $\backslash \; \{P\}$ mathcal est au commencement sur le espace-fixe de Z - axe, il a le $espace-fixe\; de\; de\; coordonnées\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta,\; \backslash \; gamma)\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; r\; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; =\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \backslash \; péché\; \backslash \; bêta\; \backslash \; \backslash \; r\; \backslash \; péché\; \backslash \; alpha\; \backslash \; péché\; \backslash \; bêta\; \backslash \; \backslash \; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; bêta\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\},$ ce qui montre la correspondance avec les coordonnées polaires sphériques (dans la convention physique).

La connaissance de l'Euler pêche pendant que la fonction du du temps t et le $de\; coordonnées\; \backslash \; mathbf\; initiaux\; \{r\}\; (0)$ déterminent la cinématique du rotor rigide.

Énergie cinétique classique

les formes suivantes des textes une généralisation du cas spécial bien connu de l'énergie de rotation d'un objet qui tourne autour du un axis.

On le supposera d'ici sur cela que l'armature corps-fixe est une armature principale de haches ; il diagonalizes le $du\; tenseur\; d\text{'}inertie\; de\; \backslash \; mathbf\; instantanés\; \{I\}\; (t)$ (exprimé en ce qui concerne l'armature espace-fixe), c., le $de\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta,\; \backslash \; gamma)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; ;\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; (t)\; \backslash \; ;\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta,\; \backslash \; gamma)$

\ mathbf {I} (0) \ quadruple \ hbox {avec} \ quadruple

\ mathbf {I} (0) = \ commencer {le pmatrix} I_1 et 0 et 0 \ \ 0 et I_2 et 0 \ \ 0 et 0 et I_3 \ \ \ extrémité {pmatrix}, là où les angles d'Euler sont dépendant du temps et en fait déterminent la dépendence de temps du $\backslash \; du\; mathbf\; \{I\}\; (t)$ par l'inverse de cette équation. Cette notation implique c'à $t=0$ les angles d'Euler sont zéro, de sorte qu'à $t=0$ l'armature corps-fixe coïncide avec l'armature espace-fixe.

Le classique T d'énergie cinétique du rotor rigide peut être exprimé dans différentes manières :
en fonction de la vitesse angulaire
en forme lagrangienne
en fonction du moment angulaire
en forme hamiltonienne.

Puisque chacune de ces formes a son utiliser-et peut être trouvé en manuels que nous présenterons tous.

Forme de vitesse angulaire

En fonction du T de vitesse angulaire lit, le $de\; T\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; a\; laissé\; I\_1\; \backslash \; omega\_x^2\; +\; I\_2\; \backslash \; omega\_y^2+\; I\_3\; \backslash \; omega\_z^2\; \backslash \; droit$ avec le $de\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; d\text{'}omega\_x\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; omega\_y\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; d\text{'}omega\_z\; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}$

\ commencer {le pmatrix} - \ péché \ bêta \ cos \ et de gamma \ péché \ gamma et 0 \ \ \ péché \ et bêta \ péché \ gamma \ cos \ gamma et 0 \ \ \ cos \ bêta et 0 et 1 \ \ \ extrémité {pmatrix} \ commencer {le pmatrix} \ \ de point {\ alpha} \ \ \ de point {\ bêta} \ \ \ de point {\ gamma} \ \ extrémité {pmatrix}. Le $\backslash \; boldsymbol\; de\; vecteur\; \{\backslash \; Omega\}\; =\; (\backslash \; omega\_x,\; \backslash ,\; omega\_y\; \backslash \; omega\_z)$ contient les composants de la vitesse angulaire du rotor exprimé en ce qui concerne l'armature corps-fixe. Il peut montrer que le $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}$ est le pas le dérivé de temps de n'importe quel vecteur, contrairement à la définition habituelle de de la vitesse . Les points au-dessus des angles dépendant du temps d'Euler indiquent les dérivés de temps de . La vitesse angulaire satisfait des équations du mouvement connues sous le nom d'équations d'Euler de (avec le couple appliqué nul, puisque par prétention le rotor est dans l'espace champ-libre).

Forme de Lagrange

Backsubstitution de l'expression du $\backslash \; du\; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}$ dans le T donne l'énergie cinétique sous la forme de Lagrange de (en fonction des dérivés de temps des angles d'Euler). Dans la notation de matrice-vecteur, $de\; 2\; T\; =\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; \backslash \; point\; \{\backslash \; alpha\}\; et\; \backslash \; et\; de\; point\; \{\backslash \; bêta\}\; \backslash \; point\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \backslash \; ;\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; g\; \backslash \; ;\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; de\; point\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; point\; \{\backslash \; bêta\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; point\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\},$ là où le $\backslash \; mathbf\; \{g\}$ est le tenseur métrique exprimé en angles&mdash d'Euler ; un système non-orthogonal de &mdash curviligne des coordonnées ;

$\backslash \; mathbf\; \{g\}\; =\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; I\_1\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; bêta\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; gamma+I\_2\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; bêta\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; gamma+I\_3\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; bêta\; et\; (I\_2-I\_1)\; \backslash \; péché\; \backslash \; bêta\; \backslash \; péché\; \backslash \; gamma\; \backslash \; cos\; \backslash \; gamma\; et\; I\_3\; \backslash \; cos\; \backslash \; bêta\; \backslash \; \backslash \; (I\_2-I\_1)\; \backslash \; péché\; \backslash \; bêta\; \backslash \; péché\; \backslash \; gamma\; \backslash \; cos\; \backslash \; gamma\; et\; I\_1\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; gamma+I\_2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; gamma\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; I\_3\; \backslash \; cos\; \backslash \; bêta\; et\; 0\; et\; I\_3\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}.$

Forme de moment angulaire

Souvent l'énergie cinétique est écrite en fonction du $du\; moment\; angulaire\; \backslash \; du\; vec\; \{L\}$ du rotor rigide. Ce vecteur est une quantité (indépendante du temps) conservée. En ce qui concerne l'armature corps-fixe il a le $de\; composants\; \backslash \; mathbf\; \{L\}$, aux lesquels peut être montré être lié à la vitesse angulaire, le $de\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; (0)\; \backslash \; ;\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; hbox\; \{ou\}\; \backslash \; quadruple\; L\_i\; =\; \backslash ,\; de\; frac\; \{\backslash \; T\; partiel\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; omega\_i\}\; \backslash \; ;\; \backslash \; ;\; ,\; d\text{'}i=x\; \backslash ,\; de\; y\; \backslash ,\; Z.$ Puisque l'armature corps-fixe déplace (dépend du temps) ces composants sont le pas indépendant du temps. Si nous étions pour représenter le $\backslash \; vec\; \{L\}$ en ce qui concerne l'armature espace-fixe stationnaire, nous trouver les expressions indépendantes du temps pour ses composants. L'énergie cinétique est donnée par le $de\; T\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; est\; parti\; \backslash \; frac\; \{L\_x^2\}\; \{I\_1\}\; +\; \backslash \; +\; du\; frac\; \{L\_y^2\}\; \{I\_2\}\; \backslash \; frac\; \{L\_z^2\}\; \{I\_3\}\; \backslash \; droit.$

Forme de Hamilton

La forme de Hamilton de de l'énergie cinétique est écrite en termes du $généralisé\; de\; d\text{'}élans\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; \backslash \; de\; p\_\; \backslash \; alpha\; \backslash \; p\_\; \backslash \; bêta\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; p\_\; \backslash gamma\backslash \; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; partiel\; de\; t\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; point\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; partiel\; de\; t\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; point\; \{\backslash \; bêta\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; partiel\; de\; t\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; point\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}$

\ mathbf {g}

\ commence {} de pmatrix \ ; \, \ \ de point {\ alpha} \ \ \ de point {\ bêta} \ \ \ de point {\ gamma} \ \ extrémité {pmatrix}, là où on l'emploie que le $\backslash \; mathbf\; \{g\}$ est symétrique. Sous la forme de Hamilton l'énergie cinétique est, le $de\; 2\; T\; =\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; p\_\; \{\backslash \; alpha\}\; et\; p\_\; \{\backslash \; bêta\}\; et\; p\_\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \backslash \; ;\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; ;\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; p\_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; \backslash \; p\_\; \{\backslash \; bêta\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; p\_\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\},$ le tenseur métrique inverse étant donné par le $de\; \{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; bêta\}\; \backslash \; ;\; \backslash \; ;\; \backslash \; ^\; du\; mathbf\; \{g\}\; \{-\; 1\}\; =$

$ \ commencer {le pmatrix} \ + de frac {\ cos^2 \ gamma} {I_1} \ frac {\ sin^2 \ gamma} {I_2} et \ - laissé (\ frac {1} {I_2} \ frac {1} {I_1} \ droit) {\ scriptstyle \ péché \ bêta \ péché \ gamma \ cos \ gamma} et - \ frac {\ cos \ bêta \ cos^2 \ gamma} {I_1} - \ \ de frac {\ cos \ bêta \ sin^2 \ gamma} {I_2} \ \ - laissé (\ frac {1} {I_2} \ frac {1} {I_1} \ droit) {\ scriptstyle \ péché \ bêta \ péché \ gamma \ cos \ gamma} et \ + de frac {\ sin^2 \ bêta \ sin^2 \ gamma} {I_1} \ frac {\ sin^2 \ bêta \ cos^2 \ gamma} {I_2} et \ - laissé (\ frac {1} {I_1} \ frac {1} {I_2} \ droit) {\ scriptstyle \ péché \ bêta \ cos \ bêta \ péché \ gamma \ cos \ gamma} \ \ - \ - de frac {\ cos \ bêta \ cos^2 \ gamma} {I_1} \ frac {\ cos \ bêta \ sin^2 \ gamma} {I_2} et \ - laissé (\ frac {1} {I_1} \ frac {1} {I_2} \ droit) {\ scriptstyle \ péché \ bêta \ cos \ bêta \ péché \ gamma \ cos \ gamma} et \ + de frac {\ cos^2 \ bêta \ cos^2 \ gamma} {I_1} \ frac {\ cos^2 \ bêta \ sin^2 \ gamma} {I_2} + \ \ de frac {\ sin^2 \ bêta} {I_3} \ \ extrémité {pmatrix}. $ Ce tenseur inverse est nécessaire pour obtenir l'opérateur de Laplace-Beltrami de , qui (multiplié par le $-\; \backslash \; hbar^2$) donne l'opérateur d'énergie mécanique de quantum du rotor rigide.

Le hamiltonien classique donné ci-dessus peut être récrit à l'expression suivante, qui est nécessaire dans l'intégrale de phase surgissant dans les mécanismes statistiques classiques des rotors rigides,

Rotor rigide mécanique de Quantum

Comme d'habitude la quantification est exécutée par le remplacement des élans généralisés par les opérateurs qui donnent les premières dérivées en ce qui concerne son conjuguent canoniquement des variables de (positions). Ainsi, $de\; p\_\; \backslash \; alpha\; \backslash \; longrightarrow\; -\; I\; \backslash \; hbar\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; alpha\}$ et pareillement pour le $p\_\; \backslash \; beta$ et le $p\_\; \backslash \; gamma$. Il est remarquable que cette règle remplace le $p\_\; assez\; compliqué\; de\; fonction\; \backslash \; alpha$ de chacun des trois angles d'Euler, des dérivés de temps d'Euler pêche, et des moments d'inertie (caractérisant le rotor rigide) par un opérateur différentiel simple qui ne dépend pas des moments de temps ou d'inertie et ne différencie pas à un angle d'Euler seulement.

La règle de quantification est suffisante pour obtenir les opérateurs cela correspondent aux moments angulaires classiques. Il y a deux sortes : espace-fixe et corps-fixe opérateurs de moment angulaire. Tous les deux sont des opérateurs de vecteur, c., tous les deux ont trois composants cela transforment comme composants de vecteur parmi eux-mêmes lors de la rotation de l'armature espace-fixe et corps-fixe, respectivement. La forme explicite des opérateurs de moment angulaire rigides de rotor est donné ici (mais prendre garde, ils doit être multiplié avec le $\backslash \; hbar$). Les opérateurs de moment angulaire corps-fixes sont écrits comme $\backslash \; chapeau\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_i$. Ils satisfont le '' les relations de commutation anormales '' .

La règle de quantification est le pas suffisamment pour obtenir l'opérateur d'énergie cinétique de le hamiltonien classique. Depuis classiquement le $p\_\; \backslash \; beta$ permute avec le $\backslash \; cos\; \backslash \; beta$ et le $\backslash \; péché\; \backslash \; beta$ et les inverses de ces fonctions, la position de ces fonctions trigonométriques dans le hamiltonien classique est arbitraire. Ensuite quantification que la commutation ne se tient plus et l'ordre des opérateurs et des fonctions dans le hamiltonien (opérateur d'énergie) devient une source de préoccupation. Podolsky (pour le cas spécial du rotor symétrique). C'est un de peu de cas où l'équation de Schrödinger peut être résolue analytiquement. Tous ces cas ont été résolus dans une année de la formulation du Schrödinger equation.

De nos jours il est commun pour opérer comme suit. Il peut montrer que $\backslash \; chapeau\; \{H\}$ peut être exprimé en opérateurs de moment angulaire corps-fixes (dans cette preuve on doit soigneusement permuter les opérateurs différentiels avec des fonctions trigonométriques). Le résultat a le même aspect comme formule classique exprimée en coordonnées corps-fixes, $de\; \backslash \; chapeau\; \{H\}\; =\; \backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; laissés\; \backslash \; +\; de\; frac\; \{\backslash \; \{P\}\; \_x^2\; mathcal\}\; \{I\_1\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; \{P\}\; \_y^2\; mathcal\}\; \{I\_2\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; \{P\}\; \_z^2\; mathcal\}\; \{I\_3\}\; \backslash \; droit].$ L'action du $\backslash \; du\; chapeau\; \{\backslash \; du\; mathcal\; \{P\}\}\; \_i$ sur la D-matrice de Wigner de est simple. En particulier $de\; \backslash \; mathcal\; \{P\}\; ^2\; \backslash ,\; D^j\_\; \{m\text{'}m\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta,\; \backslash \; gamma)\; ^*\; =\; \backslash \; hbar^2\; j\; (j+1)\; D^j\_\; \{m\text{'}m\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta,\; \backslash \; gamma)\; ^*\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; hbox\; \{avec\}\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; \{P\}\; ^2=\; \backslash \; mathcal\; mathcal\; \{P\}\; ^2\_x\; +\; \backslash \; \{P\}\; \_y^2+\; mathcal\; \backslash \; \{P\}\; \_z^2\; mathcal,$ de sorte que l'équation de Schrödinger pour le rotor sphérique ($I=I\_1=I\_2=I\_3$) est résolu avec le $(énergie\; dégénérée\; de\; 2j+1)^2$ égale au $\backslash \; au\; tfrac\; \{\backslash \; hbar^2\; j\; (j+1)\}\; \{2I\}$.

Le dessus symétrique (= rotor symétrique) est caractérisé par $I\_1=I\_2$. Il est un dessus allongé du (cigare formé) si . Dans ce dernier cas nous écrivons le hamiltonien en tant que $de\; \backslash \; chapeau\; \{H\}\; =\; \backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; laissés\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; \{P\}\; ^2\; mathcal\}\; \{I\_1\}\; +\; \backslash \; \{P\}\; \_z^2\; \backslash \; grand\; mathcal\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{I\_3\}\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{I\_1\}\; \backslash \; grand)\; \backslash \; droit],$ et utilisation ce $de\; \backslash \; \{P\}\; \_z^2\; mathcal\; \backslash ,\; D^j\_\; \{m\; k\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta,\; \backslash \; gamma)\; ^*\; =\; k^2\; \backslash ,\; D^j\_\; \{m\; k\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta,\; \backslash \; gamma)\; ^*.$ Par conséquent $de\; \backslash \; chapeau\; \{\}\; de\; H\; \backslash ,\; D^j\_\; \{m\; k\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta,\; \backslash \; gamma)\; ^*\; =\; E\_\; \{jk\}\; D^j\_\; \{m\; k\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta,\; \backslash \; gamma)\; ^*\; \backslash \; =\; E\_\; de\; quadruple\; \backslash \; hbox\; \{avec\}\; \backslash \; quadruple\; \{jk\}\; \backslash \; frac\; \{j\; (j+1)\}\; \{2I\_1\}\; +\; -\; de\; k^2\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2I\_3\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2I\_1\}\; \backslash \; droit).$ Le $E\_\; de\; valeur\; propre\; \{j0\}$ est $2j+1$-fold dégénéré, pour toutes les fonctions propres avec le $m=-j,\; -\; j+1,\; \backslash \; pointille,\; j$ ont la même valeur propre. Les énergies avec |k| > 0 sont $2\; (2j+1)$-fold se dégénèrent. Cette solution exacte de L'équation de Schrödinger du dessus symétrique a été trouvée la première fois en 1927.

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