Rotations et réflexions du même rang

Dans la géométrie , les 2D rotations de coordonnée de de et le des réflexions sont deux genres de plat euclidien des isometries de qui sont liés à un un autre.

Une rotation dans l'avion peut être constituée par la composition d'une paire de réflexions. Refléter d'abord un du point P à son image P&prime ; de l'autre côté de la ligne de L₁. Refléter alors P&prime ; à son image P&prime ; &prime ; de l'autre côté de la ligne de L₂. Si les lignes de L₁ et de L₂ font un &theta de l'angle ; le entre eux, dirige alors le et le P&prime de P ; &prime ; le fera un angle 2&theta ; autour de du point O, l'intersection du de L₁ et du de L₂. angle POP&prime ; &prime ; le mesurera 2&theta ; .

Une paire de à peu près identique du point O de rotations sera équivalente à une autre rotation au sujet de du point O. D'une part, la composition d'une réflexion et d'une rotation, ou d'une rotation et d'une réflexion (la composition n'est pas le commutatif), sera équivalente à une réflexion.

Les rapports ci-dessus peuvent être exprimés plus mathématiquement. Laisser une rotation au sujet du de l'origine O de par un &theta de l'angle ; le soit dénoté comme putréfaction (&theta de ; ). Laisser une réflexion au sujet d'une ligne L par l'origine qui fait un &theta de l'angle ; avec le de X - l'axe soit dénoté comme référence (&theta de ; ). Laisser ces rotation et réflexion fonctionner dessus tout point sur avion, et laisser ces point être représenté par position vecteur puis rotation peut être représenté en tant que matrice,

$\backslash \; mathrm\; \{putréfaction\}\; (\backslash \; thêta)\; =\; \backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; et\; -\; \backslash \; \backslash \; de\; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; \backslash \; et\; de\; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\},$ et de même pour réflexion,

$\backslash \; mathrm\; \{référence\}\; (\backslash \; thêta)\; =\; \backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; thêta\; et\; \backslash \; \backslash \; du\; péché\; 2\; \backslash \; thêta\; \backslash \; \backslash \; péché\; 2\; \backslash \; thêta\; et\; -\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; thêta\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.$

Avec ces définitions de rotation et de réflexion du même rang, les quatre équations suivantes sont vraies :

$\backslash \; mathrm\; \{référence\}\; (\backslash )\; de\; thêta\; \backslash ,\; \backslash \; =\; du\; mathrm\; \{référence\}\; (\backslash \; phi)\; \backslash \; mathrm\; \{putréfaction\}\; (2\; (\backslash \; -\; de\; thêta\; \backslash \; phi)),\; \backslash$
$\backslash \; mathrm\; \{putréfaction\}\; (\backslash \; thêta)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{putréfaction\}\; (\backslash \; phi)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{putréfaction\}\; (\backslash \; +\; de\; thêta\; \backslash \; phi),\; \backslash$
$\backslash \; mathrm\; \{putréfaction\}\; (\backslash \; thêta)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{référence\}\; (\backslash \; phi)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{référence\}\; (\backslash \; +\; de\; phi\; \backslash \; theta/2),\; \backslash$
$\backslash \; mathrm\; \{référence\}\; (\backslash )\; de\; phi\; \backslash ,\; \backslash \; =\; de\; mathrm\; \{putréfaction\}\; (\backslash \; thêta)\; \backslash \; mathrm\; \{référence\}\; (\backslash \; -\; de\; phi\; \backslash \; theta/2).\; \backslash$ Ces équations peuvent être prouvées par la multiplication franche de Matrix de et l'application des identités trigonométriques .

L'ensemble de toutes les réflexions dans les lignes par l'origine et de rotations au sujet de l'origine, ainsi que l'opération de composition des réflexions et des rotations, constitue un groupe . Le groupe a une identité : Putréfaction (0). Chaque putréfaction de rotation (&phi de ; le ) a une putréfaction d'inverse (&phi de − ; ). Chaque référence de réflexion (&theta de ; le ) est son propre inverse. La composition a la fermeture et est associative, puisque la multiplication de matrice est associative.

Noter que les deux référence (&theta de ; ) et putréfaction (&theta de ; le ) ont été représentés avec les matrices orthogonales . Ces matrices toutes ont un déterminant dont la valeur absolue est l'unité. Les matrices de rotation ont une cause déterminante de +1, et les matrices de réflexion ont une cause déterminante de −1.

L'ensemble de toutes les matrices bidimensionnelles orthogonales ainsi que la forme de multiplication de matrice le groupe orthogonal : de O (2).

Voir également

isometry plat euclidien de

Groupe dièdre

.

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