Riemann-Liouville differintegral

Dans les mathématiques , la différentiation combinée /l'opérateur intégration utilisé dans le calcul partiel s'appelle le Differintegral de , et il a quelques différentes formes qui sont toutes équivalentes, à condition que elles soient initialisées (utilisé) correctement.

On le note : _a de $de {} \ mathbb {D} ^q_t$

et le plus généralement est défini comme :

${} _a \ mathbb {D} ^q_t= \ est parti \ {\ commencent {matrice} \ frac {d^q} {dx^q}, et \ au sujet de (q)>0 \ \ 1, et \ au sujet de (q)=0 \ \ \ int^t_a (dx) ^ {- q}, et \ au sujet de (q)<0 \ extrémité {} de matrice \ right.$

Le Riemann-Liouville que differintegral (RL) est le plus simple et le plus facile pour employer, et par conséquent lui est le plus employé souvent.

Construisant le Riemann-Liouville differintegral

Nous présentons d'abord l'intégrale partielle de Riemann-Liouville de , qui est une généralisation franche de la formule intégrale de Cauchy de : _a de

de  {} \ _tf ^ du mathbb {D} {- q} (x)= \ frac {1} {\ ^ ^ de gamma (q)} \ int_ {a} {t} (t \ tau) {q-1} f (\ tau) d \ tau

Ceci nous donne l'intégration à un ordre arbitraire. Pour obtenir la différentiation à un ordre arbitraire, nous intégrons simplement au n arbitraire de d'ordre ; &minus ; ; q , et différencient le résultat au n d'ordre de nombre entier. (Nous choisissons le n et le q de sorte que le n soit le plus petits nombre entier supérieur ou égal à q positifs (c'est-à-dire, le plafond q )) : _a de $de {} \ ^q_tf du mathbb {D} (x)= \ frac {d^n} {dx^n} {} ^ de _a \ mathbb {D} {- (nq)}_tf (x)$

Ainsi, nous avons différencié le du n ; &minus ; ; ( de n ; &minus ; ; du q ) ; = ; temps du q . Le RL differintegral est ainsi défini comme (la constante est apportée à l'avant) : _a de $de {} \ ^q_tf du mathbb {D} (x)= \ frac {1} {\ gamma (nq)}\ frac {d^n} {dx^n} \ ^ ^ de l'int_ {a} {t} (t \ tau) {n-q-1} f (\ tau) d \ définition de de tau$

Quand nous prenons le differintegral à la limite supérieure ( t ), on lui écrit habituellement : = de ^q_tf de _a \ mathbb de $de {} {D} (t)= \ frac {d^qf (t)} {^q de d (t-a)} \ frac {1} {\ gamma (nq)} \ frac {d^n} {dt^n} \ ^ ^ de l'int_ {a} {t} (t \ tau) {n-q-1} f (\ tau) d \ définition de de tau$

Et quand nous supposons que la limite inférieure est zéro, on lui écrit habituellement : $de \ ^q_tf du mathbb {D} (t)= \ frac {d^qf (t)} {= de d (t)^q} \ frac {1} {\ gamma (nq)} \ frac {d^n} {dt^n} \ 0} ^ ^ d'int_ {{t} (t \ tau) {n-q-1} f (\ tau) d \ tau$ C'est-à-dire, nous prenons le differintegral du f ( t ) en ce qui concerne le t .

Dérivé partiel de Caputo

Un changement présenté par Caputo de 1967 produit un dérivé qui a différentes propriétés : il produit zéro à partir des fonctions constantes et, plus important, les limites de valeur initiale du Laplace transforment sont exprimées au moyen des valeurs de la fonction et de son dérivé d'ordre de nombre entier plutôt que les dérivés de l'ordre partiel comme en dérivé de Riemann-Liouville. Au lieu d'intégrer le

D^q=D^ alors de différenciation de {\ lceil q \ rceil} J^ {\ lceil q \ rceil-q}

; * la différenciation est le premier

D^q=J^ fait de {\ lceil q \ rceil-q} D^ {\ lceil q \ rceil}

Random links: