Restriction de Weil

Dans les mathématiques , restriction de des grandeurs scalaires (également connues sous le nom de " ; Restriction" de Weil ;) est un Functor qui, pour n'importe quelle prolongation finie du L/k de champs et de n'importe quel algébrique de la variété X au-dessus du L , produit un autre L / X de _{de la recherche variété du k}, défini au-dessus du k . Il est utile pour ramener des questions au sujet des variétés au-dessus de grands champs aux questions au sujet des variétés plus compliquées au-dessus de plus petits champs.

Définition

Laisser le L/k être une prolongation finie des champs, et le X qu'une variété a défini au-dessus du L . Le $Res_ de functor {L/k} X$ du k - les arrangements ^op aux ensembles est définis près $Res_ de {L/k} X = X (S \ times_k L)$

La variété que le représente ce functor s'appelle la restriction des grandeurs scalaires, et est unique jusqu'à l'isomorphisme unique si elle existe.

Du point de vue des gerbes d'ensembles, la restriction des grandeurs scalaires est juste un pushforward le long du L le k de Spéc. de morphism de Spéc. du $de \ to$ et est le bon adjoint au produit de fibre de , ainsi la définition ci-dessus peut être reformulée dans beaucoup plus de généralité. En particulier, on peut remplacer la prolongation des champs par n'importe quel morphism du topoi bagué , et les hypothèses sur le X peuvent être par exemple les piles affaiblies. Ceci vient au coût de avoir moins de contrôle du comportement de la restriction des grandeurs scalaires.

Propriétés

Pour n'importe quelle prolongation finie des champs, la restriction des grandeurs scalaires prend des variétés quasiprojective aux variétés quasiprojective. La dimension de la variété en résultant est multipliée par le degré de la prolongation.

Sous des hypothèses appropriées (par exemple, plat, approprié, de façon finie présenté), n'importe quel $T de morphism \ à S$ des espaces algébriques rapporte une restriction du functor de grandeurs scalaires qui prend à les piles algébriques aux piles algébriques, préservant des propriétés telles qu'Artin, Deligne-Mumford, et representability.

Exemples

Laisser le L être une prolongation finie du k du degré S. Puis $Res_ {L/k}$ ( L de Spéc. ( k ) et $Res_ {} de L/k \ mathbb {A} ^1$ est un s-dimensionnel affine le $de l'espace \ mathbb {A} ^s$ au-dessus du k de Spéc.

Si le X est un L - variété d'affinage, définie près = de $X de \ texte {Spéc.} L \ points, x_n/(f_1, \ pointille, f_m)$

nous pouvons écrire le $Res_ {L/k} X$ comme Spéc. $k/(g_ {l, r})$ , où le y_{i de , j} ( $1 \ leq i \ leq n, 1 \ leq j \ leq s$ ) sont les nouvelles variables, et le g_{l de , r} sont des polynômes dans le $y_ {I, j}$ donné en prenant un k -, de la base $e_1 \ pointille, e_s$ du L et $x_i = du y_ {I, 1} e_i d'établissement + \ points + y_ {I, s} e_s$ et $f_t = g_ {t, 1} e_1 + \ g_ de points {t, s} e_s$ .

La restriction des grandeurs scalaires au-dessus d'une prolongation finie des champs prend les arrangements de groupe de aux arrangements de groupe. En particulier, le tore $de \ mathbb {S} : = Res_ {\ mathbb {} de C/\} de mathbb {R} \ mathbb {G} _m$

là où le G _m dénote le groupe multiplicatif, joue un rôle significatif dans la théorie de Hodge, puisque la catégorie de Tannakian de des vraies structures de Hodge de est équivalente à la catégorie des représentations du S . Les vrais points ont une structure du groupe de Lie isomorphe au ^ de $\ mathbb {C} \ times$ .

La restriction des grandeurs scalaires sur des variétés abéliennes de que (par exemple courbes elliptiques ) rapporte des variétés abéliennes, et Milne a employé ceci pour ramener la conjecture de bouleau et de Swinnerton-Tinctorial de pour des variétés abéliennes au-dessus de tous les champs de nombre à la même conjecture au-dessus des nombres rationnels.

La restriction des grandeurs scalaires est semblable au Greenberg transforment , mais ne le généralisent pas, puisque l'anneau du Witt dirige sur un commutatif A d'algèbre n'est pas en général un A - algèbre.

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