Reste

En arithmétique, le résultat de la division de deux nombres entiers habituellement ne peut pas être exprimé avec un quotient de nombre entier, à moins qu'un &mdash du reste ; un " de quantité ; over" gauche ; &mdash ; est également reconnu.

Le reste pour des nombres normaux

Si le un et le d sont les nombres normaux avec le d différent de zéro, il peut montrer que là existent le unique q de nombres entiers et le r , tels que = de QD de ; + ; r et 0 r de ≤ < d . Le q de nombre s'appelle le quotient de , alors que le r s'appelle le reste de . L'algorithme de Division de fournit une preuve de ce résultat et également d'un algorithme décrivant comment calculer le reste.

Exemples

En divisant 13 par 10, 1 est le quotient et 3 est le reste, parce que 13=1× ; 10+3.
En divisant 26 par 4, 6 est le quotient et 2 est le reste, parce que 26=6× ; 4+2.
En divisant 56 par 7, 8 est le quotient et 0 est le reste, parce que 56=7× ; 8+0.
En divisant 3 par 10, 3 est le reste car nous prenons toujours le nombre avant comme reste quand le deuxième nombre est de valeur plus élevée.

Le cas des nombres entiers généraux

Si le un et le d sont des nombres entiers, avec le d différent de zéro, alors un reste est un r de nombre entier tels que un de ; = ; de QD de ; + ; r pour un certain q de nombre entier, et avec 0 ≤ | r | < | d |.

Une fois définie de cette façon, là sont deux restes possibles. Par exemple, la division du &minus ; 42 par &minus ; 5 peuvent être exprimés en tant que l'un ou l'autre

−42 = 9× ; (&minus ; 5) + 3

de même qu'habituel pour des mathématiciens, ou

−42 = 8× ; (&minus ; 5) + (&minus ; 2).

Ainsi le reste est alors 3 ou &minus ; 2.

Cette ambiguïté en valeur du reste peut être tout à fait sérieuse informatique ; pour les systèmes de calcul critiques de mission, le choix faux peut mener aux conséquences dangereuses. En cas ci-dessus, le reste négatif est obtenu à partir le positif juste en soustrayant 5, qui est le d . Ceci se tient en général. Quand la division par le d , si le reste positif est le r ₁, et le négatif est le r ₂, puis

r₁ = r ₂ + d .

Le reste pour de vrais nombres

Quand le un et le d sont les vrais nombres avec le d différent de zéro, le un peut être divisé par le d sans reste, avec le quotient étant un autre vrai nombre. Si le quotient est contraint à être un nombre entier cependant, le concept du reste est encore nécessaire. Il peut montrer que là existe un unique q de quotient de nombre entier et un vrai unique r de reste tels que = QD de + r avec 0≤ le r < | d |. Comme dans le cas de la division des nombres entiers, le reste a pu être exigé pour être négatif, c., -| d | < ≤ 0 du r .

L'élargissement de la définition du reste pour de vrais nombres comme décrit ci-dessus n'est pas d'importance théorique dans les mathématiques ; cependant, beaucoup instrument des langages de programmation de ce &mdash de définition ; voir l'opération de modulo de .

L'inégalité satisfaite par le reste

Le reste de manière a été défini, en plus du d'égalité = QD de + r qu'une inégalité a été également imposée, qui était l'un ou l'autre 0≤ r < | d | ou -| d | < ≤ 0 du r . Une telle inégalité est nécessaire afin du reste soit &mdash unique ; c'est-à-dire, pour qu'elle soit bien définie. Le choix d'une telle inégalité est quelque peu arbitraire. Tout état du X de forme < X de ≤ du r +| d | (ou r de ≤ de X < X +| d |), où le X est une constante, est assez pour garantir l'unicité du reste

Quotient et reste dans des langages de programmation

voient également :

l'opération de modulo de Avec deux choix pour l'inégalité, il y a deux choix possibles pour le reste, on est négatif et l'autre est positif. Ceci signifie qu'il y a également deux choix possibles pour le quotient. Habituellement, en nombre théorie, nous choisissons toujours le reste positif. Mais les langages de programmation ne font pas. Le C99 et le Pascal choisissent le reste avec le même signe que le de dividende un . (Avant C99, le langage C a permis l'un ou l'autre choix.) Perl et python choisissent le reste avec le même signe que le d de diviseur.

Voir également

Théorème chinois de reste de
Algorithme de Division de
Algorithme euclidien
Modulo
Arithmétique modulaire
Opération de modulo de
Division

simple : Reste .

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