Représentation induite

Dans les mathématiques , et en particulier la théorie de la représentation de groupe , le la représentation induite est l'une des opérations de général principal pour passer d'une représentation d'un sous-groupe H de à une représentation du groupe (entier) G lui-même de . Il a été au commencement défini comme construction par le Frobenius , parce que les représentations linéaires des groupes finis il inclut en tant que cas spéciaux l'action de G sur les cosets G/H par la permutation, qui est le cas de la représentation induite commençant par la représentation unidimensionnelle insignifiante du H. Si H = {e} ceci devient la représentation régulière du G. Par conséquent les représentations induites sont les objets riches, dans le sens qu'elles incluent ou détectent beaucoup de représentations intéressantes. L'idée est nullement limitée au cas des groupes finis - mais la théorie dans ce cas est particulièrement polie.

Formulations alternatives

Le théorème central dans le cas fini de groupe est le théorème de réciprocité de Frobenius de . On lui énonce en termes d'une autre construction des représentations, la carte (qui de restriction de est un Functor ) : n'importe quelle représentation linéaire de G, en tant que module de k où K est l'anneau de groupe de G au-dessus d'un champ K, est également un K-module. Le théorème déclare que, donné le ρ de représentations de G et le σ de H, l'espace des cartes s'entrelaçantes de g du ρ à Ind (σ) a la même dimension que celle des cartes H-s'entrelaçantes de la recherche (ρ) au σ. (Ici la recherche représente par la représentation limitée Ind , et pour la représentation induite.) Il est utile (dans le cas typique des représentations non-modular, de toute façon - dire avec K = C ) pour calculer la décomposition de la représentation induite : nous pouvons faire des calculs du côté de H, qui est le « petit » groupe.

En fait, anachronique, nous pouvons identifier que ce théorème prouve que les recherches et l'Ind sont les functors d'Adjoint de que le contenu de ce rapport est plus que les dimensions : il exige que l'isomorphisme des espaces de vecteur des cartes s'entrelaçantes soit le normal, dans le sens de la théorie de catégorie de . Il suggère réellement que la représentation induite par puisse dans ce cas-ci être définie au moyen de l'adjonction. Ce n'est pas la seule manière de la faire - et peut-être pas la seule manière utile - mais il signifie que la théorie ne sera pas le ad hoc dans son début.

On peut donc faire au théorème de réciprocité la manière de définir la représentation induite. Il y a une autre manière, suggérée par les exemples de permutation du paragraphe d'introduction. La représentation induite Ind (σ) devrait être réalisée comme espace des fonctions sur le G transformant sous H selon le σ de représentation. Par conséquent si le σ agit sur le V de l'espace de vecteur , nous devrions regarder le V - fonctions évaluées sur le G sur lequel le H agit par l'intermédiaire du σ de (ceci doit être dit soigneusement avec explicite parlent à gauche et des droit-actions). Cette approche permet à la représentation induite d'être un genre de construction du module librement.

Les deux approches décrites ci-dessus peuvent être réconciliées dans le cas des groupes finis, en employant le produit de tenseur avec du K comme K-module. Il y a une troisième et classique approche, de noter simplement le caractère (trace) de de la représentation induite, en termes de conjugaison dans le G du g d'éléments dans le H .

En termes plus généraux, le théorème de réciprocité n'est pas disponible dans la généralité pour des représentations des groupes topologiques et les formules de caractère sont sujettes également à des quelques problèmes analytiques. La deuxième définition, d'une part, est un thème important dans l'analyse harmonique , dans la généralité. Elle est adaptée à la théorie des paquets de vecteur de par exemple.

Construction

Algébrique

Laisser G être un groupe et un H finis n'importe quel sous-groupe de G. En outre laisser (le π, V) soit une représentation de H. Le $Ind\_H^G\; induit\; de\; représentation\; \backslash \; pi$ peut être considéré comme agissant sur l'espace suivant :

$W=\; \backslash \; bigoplus\_\; \{x\; \backslash \; dans\; G/H\}\; xv$ Ici chaque xv est une copie isomorphe du de l'espace de vecteur V. par l'intermédiaire des actes induits de la représentation G sur W comme suit : $g\; de\; \backslash \; v\_x=\; de\; cdot\; \backslash \; sum\_\; \{x\; \backslash \; dans\; G/H\}\; x\; \backslash \; v\_x\; gx\; du\; sum\_\; \{x\; \backslash \; dans\; G/H\}$ là où v_x de $\backslash \; dans\; V$ pour chaque $x$.

Comme cité précédemment cette construction est équivalent à définir le $Ind\_H^G\; \backslash \; pi\; \backslash \; cong\; V\; \backslash \; otimes\_\; \{K\}\; K$

Analytique

Si G est un localement rendre le groupe topologique compact de (probablement infini) et H est un sous-groupe de fermé par que il y a alors une construction analytique commune de la représentation induite. Laissé (le π, V) soit une représentation continue du de H dans un espace de Hilbert V. Nous pouvons avons alors laissé :

$Ind\_H^G\; \backslash \; pi=\; \backslash \; \{f\; :\; G\; \backslash \; rightarrow\; V|=\; de\; f\; (hectogramme)\; \backslash \; pi\; (h)\; f\; (g)\; \backslash \; texte\; \{et\}\; f\; \backslash \; dans\; L^2\; (G)\; \backslash \}$ Ici L²(G) est pris en ce qui concerne une mesure de Haar de . Le G agit sur l'espace induit de représentation par bonne traduction, IE. $(g\; \backslash \; cdot\; f)\; (x)=f\; (xg)$

Cette construction est souvent modifiée dans diverses manières d'adapter les applications requises. Une version commune s'appelle l'induction normalisée par et emploie habituellement la même notation. La définition de l'espace de représentation est comme suit :

$Ind\_H^G\; \backslash \; pi=\; \backslash \; \{f\; :\; G\; \backslash \; rightarrow\; V|=\; de\; f\; (hectogramme)\; \backslash \; Delta\_G^\; \{-\; 1/2\}\; (h)\; \backslash \; Delta\_H^\; \{1/2\}\; (h)\; \backslash \; pi\; (h)\; f\; (g)\; \backslash \; texte\; \{et\}\; f\; \backslash \; dans\; L^2\; (G)\; \backslash \}$ Ici le $\backslash \; Delta\_G$ et le $\backslash \; Delta\_H$ sont les fonctions modulaires de G et de H respectivement. Avec l'addition du normalisant des facteurs de ce Functor d'induction prend à les représentations unitaires aux représentations unitaires.

Une autre variation sur l'induction s'appelle l'induction de contrat de . C'est juste induction standard limitée aux fonctions avec l'appui de contrat de . Formellement elle est dénotée par Ind et définie comme :

$ind\_H^G\; \backslash \; pi=\; \backslash \; \{f\; :\; G\; \backslash \; rightarrow\; V|f\; (hectogramme)\; =\; \backslash \; pi\; (h)\; f\; (g)\; \backslash \; texte\; \{et\; f\; a\}\; compact\; de\; mod\; H\; desoutien\backslash \}$ Noter que si G/H est puis Ind compact et l'Ind sont le même functor.

Géométrique

Supposer que G est un groupe topologique et H est un sous-groupe de fermé par de G. En outre, supposer que le σ est une réalisation de H au-dessus de l'espace V. Le produit V×G est une réalisation de G comme suit : g'= de

(x, gg'< sup>-1)

là où g et g sont des éléments de G et de x est un élément de V.

Définir la relation d'équivalence

(x, g)~ (h, hectogramme).

Noter que cette relation d'équivalence est invariable sous l'action de G. en d'autres termes, V×G/~ est une réalisation de G.

g^-1hg= (x, h^-1g)~ (h de , g)

En d'autres termes, V×G/~ est un faisceau de fibres au-dessus de l'espace de quotient G/H avec H comme groupe et V de structure de comme fibre.

Supposer maintenant que le σ est une représentation et V est un espace de vecteur. La construction précédente définit un paquet de vecteur au-dessus de G/H. L'espace des sections de ce paquet de vecteur est la représentation induite.

Dans le cas des représentations unitaires des groupes localement compacts, la construction d'induction peut être formulée en termes de systèmes de de l'imprimitivity .

Exemples

Pour n'importe quel groupe, la représentation induite de la représentation insignifiante du sous-groupe insignifiant est la représentation régulière de bon . Plus généralement la représentation induite de la représentation insignifiante de n'importe quel sous-groupe est la représentation de permutation sur les cosets de ce sous-groupe.

Voir la classification de Wigner de pour l'exemple du groupe de Poincaré de . Ce n'est pas un groupe fini , tellement là sont plus de complications. pour les reps massifs, G est la double couverture du groupe de Poincaré et H est le $du\; R4(le\; groupe\; de\; traduction)\; \backslash \; rtimes$ la double couverture du orthogonal spécial du groupe AINSI (3) . pour les reps sans masse, H est le $du\; R4(le\; groupe\; detraductionencore)\; \backslash \; rtimes$ la double couverture (la couverture non universelle !) du Se euclidien spécial de du groupe (2) . (Le produit semidirect)

Voir également la représentation limitée par .

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