Représentation de Matrix des sections coniques

Dans les mathématiques , la représentation de matrice de des sections coniques est one-way d'étudier une section conique , son axe , sommets , foyers , tangentes et la position relative d'un point donné. Nous pouvons également étudier les sections coniques dont les haches ne sont pas parallèles à notre système du même rang .

Les sections coniques ont la forme d'un de second degré polynôme :

$Q \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ Ax^2+By^2+Cx+Dy+Exy+F=0 \,$

Cela peut être écrit comme :

$\ ^T du mathbf {x} A_Q \ mathbf {x} =0$

Là où le $\ mathbf {x}$ est le vecteur :

$\ commencer {pmatrix} 1 \ \ \ x \ y \ extrémité {le pmatrix}$

Et $A_Q$ une matrice :

$A_Q = \ commencer {le pmatrix} F et C/2 et D/2 \ \ C/2 et A et E/2 \ \ D/2 et E/2 et B \ extrémité {pmatrix}$

Classification

Les sections coniques régulières et dégénérées peuvent être distinguées basées sur le déterminant d'A_Q.

Si $|A_Q| = 0 \,$ , le conique est dégénéré.

Si Q n'est pas dégénéré, nous pouvons voir quel type de section conique c'est en calculant résulter subdeterminant d'enlever la première rangée et la première colonne d'A_Q (IE le mineur A₁₁).

$A_ {11} = \ commencer {le pmatrix} A et E/2 \ \ E/2 et B \ extrémité {pmatrix}$

si et seulement si $|A_ {11}| < 0$ , c'est une hyperbole .
si et seulement si $|A_ {11}| = 0$ , c'est une parabole .
si et seulement si $|A_ {11}| > 0$ , c'est une ellipse .

Dans le cas d'une ellipse, nous pouvons faire une autre distinction entre une ellipse et un cercle en comparant les deux derniers éléments diagonaux correspondant à x² et à y².

si le $a_ {11} = l'a_ {22}$ , il est un cercle.

Si la section conique est dégénérée ( $|A_Q| = 0$ ), $|A_ {11}|$ nous permet toujours de distinguer sa forme :

si et seulement si $|A_ {11}| < 0$ , c'est deux lignes de intersection.
si et seulement si $|A_ {11}| = 0$ , c'est deux (probablement lignes droites) de parallèle coïncident.
si et seulement si $|A_ {11}| > 0$ , il est vide.

Centre

Nous pouvons calculer le centre en prenant les deux dernières rangées de l'associé la matrice, les a placées égales à 0 et résout le système.

$\ {\ commencer {matrice} a_ {21} + a_ {22} x + a_ {23} y et = et 0 \ \ a_ {31} + a_ {32} x + a_ {33} y et = et 0 \ extrémité {matrice} \ droit. \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ parti \ {\ commencer {matrice} C/2 + hache + (E/2) y et = et 0 \ \ D/2 + (E/2) x + près et = et 0 \ extrémité {matrice} \ droit.$

Haches

Les haches principales et mineures sont deux lignes déterminées par le centre du conique en tant qu'un point et vecteurs propres de la matrice associée comme vecteurs de la direction.

${(centre du conique)}\ \ \ et du vec u (u_x, u_y) \ qquad \ mbox {(vecteur propre de A)} \ extrémité {matrice} \ droit.$

Ainsi nous pouvons écrire une équation canonique :

$a_ {1.2} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ = du frac {x-x_0} {u_x} \ frac {y-y_0} {u_y}$

Puisqu'une matrice 2x2 a 2 vecteurs propres, nous obtenons 2 haches.

Sommets

Pour un conique général nous pouvons déterminer ses sommets en calculant l'intersection son de haches du &mdash conique et ; en d'autres termes, en résolvant le système :

$V \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ parti \ {\ commencer {matrice} et et d'e \ qquad \ mbox {(axe)} \ \ Et et de Q \ qquad \ mbox {(l'équation générale du conique)} \ extrémité {matrice} \ droit.$

Tangentes

Par un point donné, le P , là sont généralement deux lignes tangente à un conique. Exprimant le P comme vecteur de colonne, le p , les deux points de tangence sont les intersections du conique avec la ligne dont l'équation est

$\ ^T du mathbf {p} A_Q \ mathbf {x} =0$

Quand le P est sur le conique, la ligne est la tangente là. Quand le P est à l'intérieur d'une ellipse, la ligne est l'ensemble de tous les points dont posséder la ligne associée traverse le P . Cette ligne s'appelle le polaire du P du poteau de en ce qui concerne le conique.

Juste comme le P détermine uniquement sa ligne polaire (en ce qui concerne un conique donné), ainsi chaque ligne détermine un unique P . C'est ainsi une expression de la dualité géométrique entre les points et les lignes dans l'avion.

En tant que cas spéciaux, le centre d'un conique est le poteau de la ligne à l'infini, et chaque asymptote d'une hyperbole est une polaire (une tangente) à un de ses points à l'infini.

Using la théorie de poteaux et de polars, le problème de trouver les quatre tangentes mutuelles du conics deux réduit à trouver l'intersection de deux du conics .

Équation réduite

L'équation réduite par d'une section conique est l'équation d'une section conique traduite et a tourné de sorte que son centre se situe au centre du système du même rang et ses haches soient parallèles aux haches du même rang. C'est équivalent à dire que les coordonnées sont déplacées pour satisfaire ces propriétés.

Si le $\ lambda_1$ et le $\ lambda_2$ sont les valeurs propres de la matrice A₁₁, l'équation réduite peut être écrite comme :

$\ lambda_1 x'^2 + \ lambda_2 y'^2 + \ frac.$

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