Rayon spectral

(A) : = \ max_ {1 \ leq i \ leq s} (|\ lambda_i|).

Le lemme suivant montre une limite supérieure simple pourtant utile pour le rayon spectral d'une matrice :

Lemme : Laisser le &isin du A ; × du n de ^{du C ; le n} soit une matrice complexe-évaluée, &rho ; ( A ) son rayon spectral et ||· ; || une norme cohérente de matrice de ; puis, pour chaque &isin du k ; N : $\backslash \; rho\; de$

(A) \ leq \|A^k \|^ {1/k}, \ \ forall k \ dans \ mathbb {N}.

Preuve de : Laissé ( v , &lambda ;) être un vecteur propre - paires de de la valeur propre pour un A de matrice. Par la propriété secondaire-multiplicative de la norme de matrice, nous obtenons :

$|\backslash \; lambda|^k\; \backslash |\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; v\; \backslash |\; =\; \backslash |\backslash \; lambda^k\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; v\; \backslash |\; =\; \backslash |A^k\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; v\; \backslash |\; \backslash \; leq\; \backslash |A^k\; \backslash |\backslash \; cdot\; \backslash |\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; v\; \backslash |$

et depuis le &ne du v ; 0 pour chaque &lambda ; nous avons

$|\backslash \; lambda|^k\; \backslash \; leq\; \backslash |A^k\; \backslash |$

et donc $\backslash \; rho\; de$

(A) \ leq \|A^k \|^ {1/k} \, \, \ square

Le rayon spectral est étroitement lié au comportement de la convergence de l'ordre de puissance d'une matrice ; à savoir, les prises suivantes de théorème :

Théorème : Laisser le &isin du A ; × du n de ^{du C ; le n} soit une matrice et un &rho complexe-évalués ; ( A ) son rayon spectral ; puis $de$

\ lim_ {k \ \ infty} A^k=0 si et seulement si

D'ailleurs, si &rho ; ( A ) >1, $\backslash |A^k\; \backslash |$ n'est pas lié pour augmenter des teneurs en k.

Preuve de :

() le

a laissé ( v , &lambda ;) être un vecteur propre - paires de de la valeur propre pour le A de matrice. Depuis = de $A^k\; \backslash \; mathbf\; de$

de
{v} \ lambda^k \ mathbf {v},

que nous avons :

Théorème (la formule de Gelfand, 1941)

\ rho (A)= \ lim_ {k \ \ infty}||A^k||^ {1/k}.

En d'autres termes, la formule du Gelfand montre comment le rayon spectral de A donne le taux de croissance asymptotique de la norme du k de ^{du A :}

$\backslash |A^k\; \backslash |\backslash \; sim\; \backslash \; rho\; (A)^k$ pour le $k\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty.\; \backslash ,$

Preuve de : Pour tout &epsilon ; > 0, considèrent la matrice $de$

de
\ tilde {A} = (\ ^ de rho (A)+ \ epsilon) {- 1} A.

alors, évidemment, = de $\backslash \; rho\; de$

de
(\ tilde {A}) \ frac {\ rho (A)} {\ rho (A)+ \ epsilon} < 1

et, par le théorème précédent,

$\backslash \; lim\_\; \{k\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; tilde\; \{A\}\; ^k=0.$

qui signifie, par la définition de limite d'ordre, un &isin du N₁ de nombre normal ; Le N existe tels que $de$

de
\ forall k \ geq N_1 \ Rightarrow \|\ ^k du tilde {A} \| < 1

qui alternativement moyens : $de$

de
\ forall k \ geq N_1 \ Rightarrow \|A^k \| < (\ rho (A)+ \ epsilon) ^k

ou $de$

de
\ forall k \ geq N_1 \ Rightarrow \|A^k \|^ {1/k} < (\ rho (A)+ \ epsilon). le

nous a laissés maintenant considérer la matrice $de$

de
\ contrôle {A} = (\ - de rho (A) \ epsilon) ^ {- 1} A.

alors, évidemment, = de $\backslash \; rho\; de$

de
(\ contrôle {A}) \ frac {\ - de rho (A)} {\ rho (A) \ epsilon} > 1

et ainsi, par le théorème précédent, $\backslash |\backslash \; ^k\; du\; contrôle\; \{A\}\; \backslash |$ n'est pas lié. le

ceci signifie un &isin du N₂ de nombre normal ; Le N existe tels que $de$

de
\ forall k \ geq N_2 \ Rightarrow \|\ ^k du contrôle {A} \| > 1

qui alternativement moyens : $de$

de
\ forall k \ geq N_2 \ Rightarrow \|A^k \| > (\ - de rho (A) \ epsilon) ^k

ou $de$

de
\ forall k \ geq N_2 \ Rightarrow \|A^k \|^ {1/k} > (\ - de rho (A) \ epsilon).

prenant

$N:=max\; (N\_1,\; N\_2)$

et remontage de lui tout, nous obtenons : le $de$

de
\ forall \ epsilon>0, \ existe N \ dans \ mathbb {N} : \ forall k \ geq N \ Rightarrow \ rho (A) < - \ epsilon \|A^k \|< du ^ {1/k} \ rho (A)+ \ epsilon

qui, par définition, est $de$

de
\ lim_ {k \ \} infty \|A^k \|= du ^ {1/k} \ rho (A). \, \, \ square

En fait, au cas où la norme serait le à conformé, la preuve montre plus que la thèse ; en fait, using le lemme précédent, nous pouvons remplacer dans la définition de limite la limite inférieure gauche par le rayon spectral elle-même et écrire plus avec précision : le $de$

de
\ forall \ epsilon>0, \ existe N \ dans \ mathbb {N} : \ forall k \ geq N \ Rightarrow \ rho (A) \ leq \|A^k \|< du ^ {1/k} \ rho (A)+ \ epsilon

qui, par définition, est $de$

\ lim_ {k \ \} infty \|A^k \|= du ^ {1/k} \ rho (A)^+.

Exemple : Considérons le $A=\; de\; de\; matrice\; \backslash \; commencer\; \{bmatrix\}\; 9\; et\; -1\; et\; 2\; \backslash \; \backslash \; -2\; et\; 8\; et\; 4\; \backslash \; \backslash \; 1\; et\; 1\; et\; 8\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}$

à qui valeurs propres sont 5, 10, 10 ; par définition, son rayon spectral est &rho ; ( A ) =10. Dans la table suivante, les valeurs du $\backslash |A^k\; \backslash |le\; ^\; \{1/k\}$ pour les quatre normes les plus utilisées sont énuméré contre plusieurs valeurs d'augmentation de k (la note qui, due à la forme particulière de cette matrice, le $\backslash |.\; \backslash |\_\; \backslash \; infty$) :

border="

Rayon spectral d'un opérateur linéaire lié

(A) = \ lim_ {k \ \} infty \|A^k \|^ {1/k}.

Rayon spectral d'un graphique