Radical de Jacobson

Dans la théorie d'anneau de , une branche de l'algèbre d'abrégé sur , le Jacobson radical d'un R de l'anneau est un idéal du R qui contient ces éléments du R qui sont dans une certaine mesure " ; près du zero" ;.

Définition

Le Jacobson radical est dénoté par J ( R ) et peut être défini des manières équivalentes suivantes :
l'intersection de tout le maximal laissé les idéaux .
l'intersection de tous les bons idéaux maximaux.
l'intersection de tous les annihilators du laissé par simple R - modules de * l'intersection de tous les annihilators du bon simple R - modules
l'intersection de tous les idéaux primitifs gauche
l'intersection de tous les bons idéaux primitifs.
{ R de ∈ de X : pour chaque R de ∈ du r là existe le de ∈ du u R avec le u (1 - rx de ) = 1}
{ R de ∈ de X : pour chaque R de ∈ du r là existe le de ∈ du u R avec (1 - xr de ) le u = 1}
si le R est le commutatif, l'intersection de tous les idéaux maximaux dans le R .
plus grand idéal I tels que pour tout le I , 1 de ∈ du X - le X est inversible dans le R

Noter que la dernière propriété fait le moyen du pas que chaque X d'élément du R tels que 1 - le X est inversible doit être un élément de J ( R ). En outre, si le R n'est pas commutatif, puis J ( R ) est le pas nécessairement égal à l'intersection de tous les idéaux maximaux bilatéraux dans le R .

Le radical de Jacobson est appelé pour le Nathan Jacobson , qui a étudié la première fois le radical de Jacobson.

Exemples

Le radical de Jacobson de n'importe quel champ est {0}. Le radical de Jacobson des nombres entiers est {0}.
Le radical de Jacobson du Z du Z /8 d'anneau (voir l'arithmétique modulaire ) est 2 le Z du Z /8.
Si le K est un champ et un R est l'anneau de tout le triangulaire supérieur n - par des matrices du n avec des entrées dans le K , alors J ( R ) se compose de toutes les matrices triangulaires supérieures avec des zéros sur la diagonale principale.
Si le K est un champ et un R = _{'' n ''} du '' X '' ₁,…, '' X '' de du K est un anneau de la série entière formelle , alors J ( R ) se compose de ces séries entières dont la limite constante est zéro. Plus généralement : le radical de Jacobson de chaque anneau local consiste avec précision en unités non- du de l'anneau.
Le début avec un tremblement fini Γ de et un K de champ et considèrent le K Γ d'algèbre de tremblement (comme décrit dans l'article de tremblement de ). Le radical de Jacobson de cet anneau est produit par tous les chemins dans Γ du ≥ 1.
Le radical de Jacobson d'un C*-algebra est {0}. Ceci suit du théorème de Gelfand-Naimark de et le fait pour le *-algebra de C., un *-representation topologiquement irréductible sur un espace de Hilbert est algébriquement irréductible, de sorte que son grain soit un idéal primitif dans le sens purement algébrique (voir le spectre de du *-algebra de C.

Propriétés

à moins que le R soit l'anneau insignifiant {0}, le radical de Jacobson est toujours un idéal dans le R distinct du R .

si le R est commutatif et de façon finie produit, puis le J ( R ) est égal au Nilradical du R .

le radical de Jacobson du R /J ( R ) d'anneau est zéro. Des anneaux avec le radical zéro de Jacobson s'appellent les anneaux semi-primitifs

si f : Le S de → du R est un homomorphisme surjectif , puis le f (J ( R ) d'anneau) de du ⊆ J ( S ).

si le M est un laissé par de façon finie produit R - le module de avec le M de J ( R ) = M , puis le M = 0 (lemme de Nakayama de ).

J ( R ) contient chaque zéro idéal de du R . Si le R est laissé ou le bon artinian, alors J ( R ) est un idéal Nilpotent . Noter cependant qu'en général le Jacobson radical n'a pas besoin de se composer seulement des éléments Nilpotent du de l'anneau.
le R de

est un d'anneau de Semisimple si et seulement si il est Artinian et son radical de Jacobson est zéro.

Voir également

Radical de d'un module
Radical de d'un idéal

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