Racine cubique

Dans les mathématiques , une racine cubique d'un nombre, le $dénoté\; \backslash \; racine\; carrée\; \{x\}$ ou x^1/3, est un de nombre par tels que un ³  ; =  ; X . Tous les vrais nombres ont exactement une vraie racine cubique du et 2 racines complexes du , et tous les nombres complexes différents de zéro ont 3 racines cubiques complexes distinctes. Par exemple, la vraie racine cubique de 8 est 2, parce que 2³  ; =  ; 8. Toutes les racines cubiques de &minus ; 27 le i sont le $de$

\ racine carrée {- 27i} = \ commencent {des cas} 3i \ \ \ frac {3 \ sqrt3} {2} - \ frac {3} {2} I \ \ - \ 2} - du frac {3 \ sqrt3} {\ frac {3} {2} I \ extrémité {cas}

L'opération de racine cubique est le associatif avec l'élévation à une puissance et le distributif avec la multiplication et la division , mais n'est pas associative ou distributive avec l'addition ou la soustraction .

Définition formelle

Les racines cubiques d'un X de nombre sont le y de nombres qui satisfont l'équation

$y^3\; =\; x.$

Vrais nombres

Si le X et le y sont le vrai , alors il y a une solution unique et ainsi la racine cubique d'un vrai nombre est parfois définie par cette équation. Si cette définition est employée, la racine cubique d'un nombre négatif est un nombre négatif. La racine cubique principale du X est également représentée près $de$

\ racine carrée {x} = x^ {1 \ over3}.

Si on permet au le X et le y d'être le complexe, alors il y a trois solutions (si le X est différent de zéro) et ainsi le X a trois racines cubiques. Un vrai nombre a une vraie racine cubique et encore deux racines cubiques, qui forment une paire du conjugé de complexe de . Ceci peut mener à quelques résultats intéressants.

Par exemple, les racines cubiques du un de nombre sont : le $de$

\ racine carrée {1} = \ commencent {des cas} \ \ 1 \ \ - \ frac {1} {2} + \ \ du frac {\ racine carrée {3}} {2} I \ - \ - du frac {1} {2} \ frac {\ racine carrée {3}} {2} I \ extrémité {cas}

Ces deux racines mènent à un rapport entre toutes les racines. Si un nombre est une racine cubique de n'importe quel vrai ou complexe nombre, les deux autres racines cubiques peuvent être trouvées en multipliant ce nombre par les deux racines cubiques complexes d'une.

Nombres complexes

Pour des nombres complexes, la racine cubique principale est habituellement définie près = du $x^\; de$

{1 \ over3} \ exp \ laissé ({\ ln {} de x \ over3} \ droit)

là où le ln ( X ) est le principal s'embrancher du logarithme naturel . Si nous écrivons le X As

$x\; =\; r\; \backslash \; exp)\; (d\text{'}I\; \backslash \; thêta\; \backslash ,$

là où le r est un vrai nombre et un θ non négatifs se situe dans la gamme $-\; de$

\ pi < \ thêta \ le \ pi,

alors la racine cubique complexe est

$\backslash \; racine\; carré\; \{x\}\; =\; \backslash \; racine\; carré\; \{\}\; de\; r\; \backslash \; exp\; \backslash \; (\{I\; \backslash \; thêta\; \backslash \; plus\; de\; 3\}\; \backslash \; droit)$ laissé.

Ceci signifie que dans les coordonnées polaires , nous prenons la racine cubique du rayon et divisons l'angle polaire par trois afin de définir une racine cubique. Avec cette définition, la racine cubique d'un nombre négatif est un nombre complexe, et par exemple le $\backslash \; racine\; carrée\; \{-\; 8\}$ ne sera pas $-2$, mais plutôt $1\; +\; I\; \backslash \; racine\; carrée\; \{3\}$.

Dans les programmes qui se rendent compte de l'avion imaginaire, le graphique de la racine cubique du X sur le vrai avion ne montrera aucun rendement pour des valeurs négatives du X . Pour inclure également les racines négatives, ces programmes doivent être explicitement chargés pour employer seulement de vrais nombres. (Dans le Mathematica , ceci peut être réalisé en exécutant la ligne suivante le `< de RealOnly de `.)

Racine cubique sur une calculatrice standard

De l'identité :

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^2\}\; \backslash \; parti\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^2\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; parti\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^4\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; parti\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^8\}\; \backslash )\; droit)\; \backslash \; laissé\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^\; \{16\}\}\; \backslash \; droit\; \backslash \; dots$,

il y a une méthode simple pour calculer les racines cubiques using une calculatrice non-scientifique, qui exige les boutons seulement de multiplication et de racine carrée. Aucune mémoire n'est exigée. La méthode suivante est employée :
Presse de

le bouton de racine carrée deux fois.
Appuyer sur le bouton de multiplication.
Appuyer sur le bouton de racine carrée deux fois.
Appuyer sur le bouton de multiplication.
Appuyer sur le bouton de racine carrée quatre fois.
Appuyer sur le bouton de multiplication.
Appuyer sur le bouton de racine carrée huit fois.
Appuyer sur le bouton de multiplication…

Ce processus est continué jusqu'à ce que le nombre ne change pas quand le bouton de multiplication est appuyé sur, puisque la racine carrée répétée donne 1 (ceci signifie que la solution a été déterminée à autant de chiffres significatifs pendant que la calculatrice peut manipuler). En ce moment une approximation de la racine cubique du nombre original sera montrée dans l'affichage.

Si la première multiplication est remplacée par division, au lieu de la racine cubique, la cinquième racine sera montrée sur l'affichage.

Pourquoi cette méthode fonctionne

Après le relèvement du X à la puissance des deux côtés de l'identité ci-dessus :

$x^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; =\; x^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^2\}\; \backslash \; laissé\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^2\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; parti\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^4\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; parti\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^8\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; laissé\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^\; \{16\}\}\; \backslash \; droit)\dots \}$ (*)

Le côté de main gauche est la racine cubique du X .

Les étapes montrées dans la méthode donnent :

Après la deuxième étape : $x^\; de\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^2\}\}$

Après la quatrième étape : $x^\; de\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^2\}\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^2\})\}$

Après la sixième étape : $x^\; de\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^2\}\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^2\})\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^4\})\}$

Après la huitième étape : $x^\; de\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^2\}\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^2\})\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^4\})\; (1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^8\})\}$

etc.

Une fois la valeur de l'expression est égale à 1 à l'exactitude de la calculatrice, la racine carrée finale renverra la main droite de (*).

Voir également

Liste de des matières polynômes
(mathématiques) radical
Racine carrée
Le a niché radical
Racine primitive
Racine de de l'unité
Algorithme de nième-racine de décalage de

.

Random links:

Tishbite | Terre promise | WPBT | Tribunal d'arrondissement des Etats-Unis pour la zone orientale du Wisconsin | Centre d'Américain de casserole | Raíz_cúbica