Racine carrée

Dans les mathématiques , une racine carrée d'un X de nombre est un r de nombre tels que $r^2=x$ , ou dans les mots, un r de nombre dont la place (le résultat de de multiplier le nombre par lui-même) est le X . Chaque non négatif X du vrai nombre a une racine carrée non négative unique, appelée le la racine carrée principale et dénotée avec un symbole radical du comme $\ racine carrée x$ . Par exemple, la racine carrée principale de 9 est 3, le $dénoté \ racine carrée 9 = 3$ , parce que $3^2 = 3 \ times3 = 9$ . L'autre racine carrée de 9 est &minus ; 3.

Les racines carrées surgissent souvent en résolvant les équations quadratiques ou les équations de la forme $ax^2+bx+c=0$ , dues au $x$ variable étant ajusté.

Chaque X de nombre positif a deux racines carrées. L'une d'entre elles est le $\ racine carrée {x}$ , qui est positif, et l'autre est le $- \ racine carrée {x}$ , qui est négatif. Ensemble, ces deux racines sont le $dénoté \ P. \ racine carrée {x}$ . Des racines carrées des nombres négatifs peuvent être discutées dans le cadre des nombres complexes des racines que carrées des objets autres que des nombres peuvent également être définies.

Les racines carrées des nombres entiers qui ne sont pas à angle droit parfaits sont toujours les nombres irrationnels ': nombres non exprimables comme rapport de deux nombres entiers. Par exemple, le $\ racine carrée 2$ ne peut pas être écrit exactement comme $\ m/n$ , où le de n et le de m sont des nombres entiers. Néanmoins, c'est exactement la longueur du diagonal d'une place avec la longueur latérale 1. Ceci a été connu depuis des époques antiques, avec la découverte que le $\ racine carrée 2$ est irrationnel attribué au Hipparchus , un disciple de Pythagore . ( voient la racine carrée de de 2 pour des preuves de l'irrationality de ce nombre. )

Propriétés

principal f de fonction racine carrée (x) = \ racine carrée {x}

(habituellement juste désigné sous le nom du " ; function" de racine carrée ;) est une fonction qui trace le réglé du

de vrais nombres \ du mathbb non négatifs {R} ^+ \ tasse \ {0 \}

sur elle-même, et, comme toutes les fonctions, renvoie toujours une valeur unique. La fonction racine carrée trace également les nombres raisonnables dans les nombres algébriques (un superjeu de des nombres raisonnables) ; le

\ racine carrée x

est raisonnable si et seulement si

x

est un nombre raisonnable qui peut être représenté comme rapport de deux places parfaites dans le géométrique nomme, la fonction racine carrée trace le secteur d'une place à sa longueur latérale.

Pour tous les vrais nombres positifs $x$ et $y$ , = {de x/y} du $\ racine carrée \ racine carrée X \ racine carrée y$ et $\ racine carrée X = x^ {1/2}.$

$\ racine carrée {x^2} = x$ seulement quand $x \ GE 0 ; de$ le $\ racine carrée {x^2} = \ est parti|X \ droit|$ (voir la valeur absolue ).

La fonction racine carrée est continue pour tous les $x,$ et non négatifs différentiable pour tout le $x$ positif. Son dérivé est donné par = du $f'(x) \ tfrac {1} {2 \ racine carrée X}.$

La série de Taylor de $\ racine carrée {x+1}$ au sujet de $x=0 \ !$ est $1 + \ frac {1} {2} x - \ frac {1} {8} x^2 + \ - du frac {1} {16} x^3 \ frac {5} {128} x^4 + \ points \ !$ et converge pour le $\ est parti| X \ droit| < 1$ .

Calcul

voient également : Méthodes de de calculer le

s racines carrées Beaucoup de méthodes de racines carrées calculatrices existent aujourd'hui, certains censés pour être fait à la main et certains censés pour être fait par la machine.

Beaucoup, mais non toutes les calculettes ont une clef de racine carrée. Les bilans d'ordinateur et tout autre logiciel sont également fréquemment utilisés pour calculer les racines carrées. Les programmes de logiciel mettent en application typiquement de bonnes routines pour calculer la fonction exponentielle et le logarithme naturel ou le logarithme , et calculent alors la racine carrée du X using le $de d'identité \ racine carrée {x} = l'e^ {\ frac {1} {2} \ ln X}$ ou le $\ racine carrée {x} = 10^ {\ frac {1} {2} \ notation X}$ La même identité est exploitée en calculant les racines carrées avec les tables de logarithme ou les règles à calcul

La méthode la plus commune de calcul de racine carrée à la main est connue comme " ; " babylonien de la méthode ;. Il implique un algorithme simple, qui a comme conséquence un nombre plus près de la racine carrée réelle chaque fois on le répète que. Pour trouver le r , la racine carrée d'un X de vrai nombre : Commencer par un positif arbitraire r de valeur de début (plus près de la racine carrée de X , le meilleur).

Remplacer le r par la moyenne entre le du r et du X ; / ; r . (Il est suffisant de prendre une valeur approximative de la moyenne, pas trop proche de la valeur précédente du du r et du X ; / ; r afin d'assurer la convergence .)

Répéter l'étape 2 jusqu'au r et le X/r de sont aussi étroitement comme désiré.

La complexité de temps de la plus connue pour calculer une racine carrée avec des chiffres du n de précision est identique que celle pour multiplier deux le n - nombres de chiffre.

Racines carrées des nombres négatifs et complexes < ! -- Cette section est liée du nombre complexe -->

voient également :

du nombre complexe La place de tout nombre positif ou négatif est positive, et la place de 0 est 0. Par conséquent, aucun nombre négatif ne peut avoir une vraie racine carrée. Cependant, il est possible de travailler avec un plus grand ensemble de nombres, appelé le les nombres complexes qui contient des solutions à la racine carrée d'un nombre négatif. Ceci est fait en présentant un nouveau nombre, dénoté par le i (parfois j , particulièrement dans le cadre de l'électricité ) et appelé le l'unité imaginaire , qui est défini par tels que le i ² ; = ; &minus ; 1. Using cette notation, nous pouvons penser au i comme racine carrée de &minus ; 1, mais notent que nous avons également le (&minus ; i) ² ; = ; i ² ; = ; &minus ; 1 et ainsi (&minus ; i) est également une racine carrée de &minus ; 1. De même aux vrais nombres, nous disons la racine carrée principale du &minus ; 1 est le i , ou plus généralement, si le X est n'importe quel nombre positif, puis la racine carrée principale du &minus ; le X est le $de \ racine carrée {- x} = I \ racine carrée x$ parce que $de (I \ racine carrée x)^2 = i^2 (\ racine carrée x)^2 = (- 1) x = - x.$

Par l'argument donné ci-dessus, le i ne peut être ni positif ni négatif. Ceci crée un problème : pour le z de nombre complexe, nous ne pouvons pas définir le $\ racine carrée z$ pour être le " ; positive" ; racine carrée du z .

Pour chaque différent de zéro z de nombre complexe là existent le W de avec précision deux nombres tels que le W ² ; = ; z . Par exemple, les racines carrées du i sont : = du $de \ racine carrée {I} \ frac {\ racine carrée {2}} {2} (1+i)$

et $- de \ racine carrée {I} = - \ frac {\ racine carrée {2}} {2} (1+i).$

La définition habituelle de &radic ; le z est en présentant la coupe de branche suivante : si du z ; = ; &thinsp du r ; &phi du i de ^{du e ;} est représenté dans les coordonnées polaires avec le &minus ; &pi ; ; < ; &phi ; ; &le ; ; &pi ; , alors nous avons placé la valeur principale à

$\ racine carré {z} = \ racine carré {} de r \, e^ {I \ phi \ plus de 2}.$

Ainsi défini, la fonction racine carrée est le holoèdre partout excepté sur les vrais nombres non positifs (où ce n'est pas même le continu). La série de Taylor ci-dessus pour le $\ racine carrée {1+x}$ demeure valide pour le de nombres complexes X avec | X | ; < ; 1.

Quand le nombre est sous la forme rectangulaire la formule suivante peut être employée pour la valeur principale : = du $de \ racine carrée {x+iy} \ racine carrée {\ frac {r+ X} {2}} + I \ frac {y} {\ racine carrée {2 (r+ x)}}$

là où le $r = \ est parti|x+iy \ droit| = \ racine carrée {x^2+y^2}$ (le module de valeur absolue ou de du nombre complexe), à moins que X = - r et y =0. Noter que le signe de la partie imaginaire de la racine est identique que le signe de la partie imaginaire du nombre original. La partie réelle de la valeur principale est toujours non négative.

Noter qu'en raison de la nature discontinue de la fonction racine carrée dans le plan complexe, = du $de loi \ racine carrée {ZW} \ racine carrée z \ cdot \ racine carrée w$ est en général le non vrai. Assumer incorrectement cette loi est à la base plusieurs du " défectueux ; proofs" ; , par exemple le suivant montrant ce &minus ; 1 ; = ; 1 :

= de $-1 = d'I \ cdot i \ racine carrée {- 1} \ = = de cdot \ racine carrée {- 1} \ racine carrée {- 1 \ cdot -1} \ racine carrée {1} = 1$

La troisième égalité ne peut pas être justifiée. (Voir la preuve inadmissible .)

Ce problème peut surgir comme abus de la notation principale de la racine carrée de &radic ; défini le commencement de l'article, ou en négligeant pour expliquer la branche coupée dedans la définition de la fonction racine carrée complexe. Avec le concept (two-valued) général de racine carrée, ce est en effet vrai qu'une des deux racines carrées 1 est -1.

Racines carrées des matrices et des opérateurs

voient également : Racine carrée de d'un

la matrice Si le A est une matrice Positif-définie ou opérateur, alors là existe avec précision un défini positif de matrice ou d'opérateur B avec le B ² = A ; nous définissons alors &radic ; A = B .

Plus généralement, à chaque normal A de matrice ou d'opérateur du là existent le normal B d'opérateurs tels que le B ² = A . Généralement il y a de plusieurs un tel opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d'une façon satisfaisante. Les opérateurs définis positifs sont apparentés à de vrais nombres positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés aux nombres complexes.

Principales racines carrées des 20 premiers nombres entiers positifs

En tant que fractions décimales non périodiques

En tant que fractions continues périodiques

Un des résultats les plus intrigants de l'étude des nombres irrationnels de en tant que fractions continues a été obtenu par le de Joseph Louis Lagrange circa 1780. Lagrange a constaté que la racine carrée de n'importe quel nombre entier positif de non-place peut être représentée par une fraction continue périodique du . C'est-à-dire, dans ce qu'une certaine configuration de chiffres se produit à plusieurs reprises dans les dénominateurs (voir l'exemple au-dessous de la table). Dans une certaine mesure ces racines carrées sont les nombres irrationnels les plus simples, parce qu'elles peuvent être représentées avec une configuration de chiffres de répétition simple.

Construction géométrique de la racine carrée

Une racine carrée peut être construite avec une boussole et une règle. Dans ses éléments , Euclid (la Floride. 300 AVANT JÉSUS CHRIST) a donné la construction du moyen géométrique de deux quantités dans deux endroits différents : Proposition II. Depuis le moyen géométrique de

a

et de

b

est le

\ racine carrée {ab}

, un peut construire le

\ racine carrée {a}

simplement en prenant

b=1

La construction est également donnée par le Descartes en sa La Géométrie de , voient le schéma 2 à la page 2. Cependant, Descartes n'a introduit aucune réclamation à l'originalité et son assistance aurait été tout à fait familiarisée avec Euclid.

Une autre méthode de construction géométrique emploie les bonnes triangles du et l'induction : le $\ racine carrée {1} = 1$ peut, naturellement, être construit, et une fois que le $\ racine carrée {x}$ a été construit, la bonne triangle avec 1 et le $\ racine carrée {x}$ pour ses jambes a une hypoténuse du $\ racine carrée {x+1}$ .

Histoire

Le papyrus mathématique de Rhind de est une copie de 1650 AVANT JÉSUS CHRIST des premiers travaux encore et nous montre comment les Egyptiens ont extrait les racines carrées.

Dans le Inde antique , la connaissance des aspects théoriques et appliqués de racine carrée et carrée était au moins aussi vieux que le Sulba Sutras de , daté environ 800-500 AVANT JÉSUS CHRIST (probablement beaucoup plus tôt). Une méthode pour trouver des approximations très bonnes aux racines carrées de 2 et 3 sont donnés dans le Baudhayana Sulba Sutra de . Le Aryabhata dans le Aryabhatiya (section 2.4) de , a donné une méthode pour trouver la racine carrée des nombres ayant beaucoup de chiffres. Smith dans l'histoire de des mathématiques , dit, au sujet de la situation existante en Europe : " ; En Europe ces méthodes (pour découvrir la place et la racine carrée) ne sont pas apparues avant Cataneo (1546). Il a donné la méthode de Aryabhata pour déterminer le root" carré ;.

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