Règle de produit

alculus

Dans le calcul , la loi du Leibniz également appelé de de la règle de produit de (voir la dérivation ), régit la différentiation des produits des fonctions différentiables

Il peut énoncer ainsi :  » « de =f'g+fg de $de$

(fg) \,

ou dans la notation ainsi de Leibniz de : =u (UV) du $de$

{d \ au-dessus de dx} {dv \ au-dessus de dx} +v {du \ au-dessus de dx}.

Découverte par Leibniz

La découverte de cette règle est créditée au Leibniz , qui l'a démontrée using les différentiels . Voici l'argument de Leibniz : Laisser le u (le X ) et le v ( X ) soit deux fonctions différentiables du X . Alors le différentiel du UV est

Exemples

supposent qu'on veut différencier le f ( X ) = le péché ( X ) de du X ². En employant la règle de produit, vous obtenez au dérivé f ' ( X ) = 2 le péché du X ( X ) + le X ²cos ( X ) (puisque le dérivé du X ² est 2 le X et le dérivé du péché ( X ) est cos ( X )).
Un cas spécial de la règle de produit est la règle multiple constante qui énonce : si le c est un vrai nombre et le f ( X ) est une fonction différentiable, alors le Cf ( X ) de est également différentiable, et son dérivé est (des × de c ; f ) ' ( X ) = × du c ; ' ( X ) du f . Ceci suit de la règle de produit puisque le dérivé de n'importe quelle constante est zéro. Ceci, combiné avec la règle de somme pour des dérivés, prouve que la différentiation est le linéaire.
La règle de produit peut être employée pour dériver la règle pour l'intégration de par les pièces et (version faible de) la règle de quotient de . (C'est un " ; weak" ; la version parce qu'elle ne montre pas que le quotient est différentiable, mais indique seulement ce que son dérivé est si il est différentiable.)

Une erreur commune

C'est une erreur commune, en étudiant le calcul, pour supposer que le dérivé ( UV) des égales (le &prime de u ;)(&prime de v ;) (Leibniz lui-même a fait cette erreur au commencement) ; cependant, il est tout à fait facile de trouver les contre-exemples à ceci. Le plus simplement, prendre un f de fonction, dont le dérivé est le f « ( X ). Maintenant que la fonction peut également être écrite comme · du f ( X ) ; 1, puisque 1 est l'élément d'identité pour la multiplication. Supposer que l'idée fausse mentionnée ci-dessus étaient vraie ; si oui, (&prime de u ;)(&prime de v ;) égalerait le zéro. C'est vrai parce que le dérivé de d'un constant (tel que 1) est zéro et le produit · du f du » ( X ) ; 0 est également zéro.

Preuve de la règle de produit

Une preuve rigoureuse de la règle de produit peut être donnée using les propriétés des limites et la définition du dérivé comme limite le quotient de différence de de s de Newton de le '.

Supposer $h\; de$

(x) = f (x) g (x), \,

et ce f et g sont chacun différentiables au fixe X de nombre. Puis = du $h\text{'}(de$

x) \ lim_ {W \ à x} {h (w) - = de h (x) \ au-dessus de W - x} \ lim_ {W \ à x} {f (W) g (w) - f (x) g (x) \ au-dessus de W - x}. \ qquad \ qquad (1)

Maintenant la différence $f\; (W)\; g\; de$

(w) - f (x) g (x) \ qquad \ qquad (2)

est le secteur du grand rectangle sans le secteur du petit rectangle dans l'illustration. Que la région en forme de L peut être coupée en deux rectangles, la somme laquelle des secteurs est aisément vu pour être $f\; de$

(x) \ orge à quatre rangs (g (w) - g (x) \ orge à quatre rangs) + g (w) \ orge à quatre rangs (f (w) - f (x) \ orge à quatre rangs). \ qquad \ qquad (3)

(L'illustration est en désaccord avec quelques cas spéciaux, depuis le f ( W ) ne pas avoir besoin réellement d'être plus grand que le f ( X ) et le g ( W ) n'ont pas besoin réellement d'être plus grands que le g ( X ). Néanmoins, l'égalité de (2) et de (3) est facilement vérifiée par algèbre.)

Par conséquent l'expression en (1) est égale à

$\backslash \; lim\_\; \{W\; \backslash \; à\}\; de\; x\; \backslash \; laissé\; (f\; (x)\; \backslash \; parti\; (\{g\; (w)\; -\; g\; (x)\; \backslash \; au-dessus\; de\; W\; -\; x\}\; \backslash \; droit)\; +\; g\; (w)\; \backslash \; parti\; (\{f\; (w)\; -\; f\; (x)\; \backslash \; au-dessus\; de\; W\; -\; x\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; droit).\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (4)$

Si chacun des quatre des limites en (5) existe ci-dessous, alors l'expression en (4) est égale à $de$

\ (\ lim_ {W \ à x} f (x) \) droit \ laissé (\ lim_ {W \ à x} {g (w) - g (x) \ au-dessus de W - x} \ droit) laissé + \ parti (\ lim_ {W \ à x} g (w) \) droit \ laissé (\ lim_ {W \ à x} {f (w) - f (x) \ au-dessus de W - x} \ droit). \ qquad \ qquad (5)

Maintenant $de$

\ lim_ {W \ à x} f (x) = f (x) \,

parce que le f ( X ) demeure constant comme &rarr du W ; X ; $de$

\ lim_ {W \ à x} {g (w) - g (x) \ au-dessus de W - x} = g'(x)

parce que le g est différentiable au X ; $de$

\ lim_ {W \ à x} {f (w) - f (x) \ au-dessus de W - x} = f'(x)

parce que le f est différentiable au X ;

et maintenant le " ; hard" ; un : $de$

\ lim_ {W \ à x} g (w) = g (x) \,

parce que le g est continu au X . Comment connaissons-nous le g est-nous continu au X ? Puisqu'un autre théorème indique les fonctions différentiables sont continues.

Nous concluons que l'expression en (5) est égale à g'(du $f\; (x)\; de$

x) + f'(de g (x) x). \,

Preuve alternative : using des logarithmes

Laisser le f = UV et le supposer que le u et le v sont positifs. Puis $\backslash \; ln\; de$

f = \ + de ln u \ ln v. \,

Différenciation de les deux côtés : $de$

{1 \ au-dessus de f} {d \ au-dessus de dx} f = {1 \ au-dessus d'u} {d \ au-dessus de dx} u + {1 \ au-dessus de v} {d \ au-dessus de dx} v

et ainsi, multipliant l'aile gauche par le f , et le côté droit par le UV, $de$

{d \ au-dessus de dx} f = v {d \ au-dessus de dx} u + u {d \ au-dessus de dx} v.

La preuve apparaît dedans. Noter que depuis le u , le besoin du v d'être continue, la prétention sur la positivité ne diminue pas la généralité.

Cette preuve se fonde sur la règle à chaînes et sur les propriétés de la fonction du logarithme naturel , qui sont plus profonds que la règle de produit. D'un point de vue, c'est un inconvénient de cette preuve. D'une part, la simplicité de l'algèbre dans cette preuve peut-être le facilite pour comprendre qu'une preuve using la définition de la différentiation directement.

Preuve alternative : using la règle à chaînes

Considérer l'identité

$uv\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; \backslash \; est\; parti\; \backslash \; à\; gauche\; (u+v\; \backslash \; droit)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; ;\; -\; \backslash \; ;\; \backslash \; est\; parti\; (UV\; \backslash \; droit)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right.$

Puis

$\backslash \; commencer\; \{aligner\}\; \backslash \; frac\; \{d\; \backslash parti(UV\; \backslash \; droit)\}\{dx\}\; et\; \{\}\; =\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; \backslash \; est\; parti\; \backslash \; à\; gauche\; (u+v\; \backslash \; droit)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; ;\; -\; \backslash \; ;\; \backslash \; a\; laissé\; (UV\; \backslash \; droit)\; le\; ^\; \{2\}\; \backslash \; \backslash \; droit\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; et\; \{\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; \backslash \; est\; parti\; 2\; \backslash \; à\; gauche\; (u+v\; \backslash \; droit)\; \backslash \; à\; gauche\; (\backslash \; frac\; \{du\}\; \{dx\}\; +\; \backslash \; frac\; \{dv\}\; \{\}\; de\; dx\; \backslash \; ;\; \backslash )\; droit\; \backslash \; ;\; -\; \backslash \; ;\; 2\; \backslash \; parti\; (\backslash \; UV\; \backslash \; droit)\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; -\; de\; frac\; \{du\}\; \{dx\}\; \backslash \; frac\; \{dv\}\; \{dx\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; droit\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; et\; \{\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; \backslash \; est\; parti\; 4u\; \backslash \; frac\; \{dv\}\; \{\}\; de\; dx\; \backslash \; ;\; +\; \backslash \; ;\; 4v\; \backslash \; frac\; \{du\}\; \{dx\}\; \backslash \; droit.\; \backslash \; extrémité\; \{aligner\}$

Par conséquent $de$

\ frac {d \ parti (UV \ droit)}{} de dx \ ; = \ ; u \ frac {dv} {} de dx \ ; + \ ; v \ frac {du} {dx}.

Ceci ne se fonde pas sur le u et le v étant positif, et est un résultat de la règle à chaînes comme avec la preuve logarithmique.

Généralisations

Un produit de plus de deux facteurs

La règle de produit peut être généralisée aux produits de plus de deux facteurs. Par exemple, parce que trois facteurs que nous avons $de$

\ frac {d (uvw)}{dx} = \ frac {du} {dx} VW + u \ frac {dv} {dx} W + UV \ frac {dw} {dx}.

Pour une collection de fonctions, que de $f\_1\; \backslash \; pointille,\; f\_k$, nous ont $de$

\ frac {d} {dx} \ f_i ^k du prod_ {i=1} (x) = \ laissé (\ ^k de sum_ {i=1} \ frac {\ f_i de frac {d} {dx} (x)} {f_i (x)} \ droits) \ f_i ^k du prod_ {i=1} (x).

De plus hauts dérivés

Il peut également être généralisé à la règle de Leibniz de pour de plus hauts dérivés d'un produit de deux facteurs : si le y = ^{UV de et de y ( n )} dénote le n - dérivé de Th du y , puis $y^\; de$

{(n)} (x) = \ u^ ^n du sum_ {k=0} {n \ choisissent k} {(n-k)}(x) \ ; v^ {(k)} (x).

Voir également le coefficient binomial et le théorème binomial formellement tout à fait semblable. Voir également la règle de Leibniz de (règle généralisée de produit) .

De plus hauts dérivés partiels

Pour les dérivés partiels, nous prenons $de$

{\ partial^n \ au-dessus de \ x_1 partiel \, \ cdots \, \ x_n partiel} (UV)

\ sum_S {\ partial^

de là où le S d'index fonctionne par la liste entière 2 ^{de sous-ensembles du n} {1,   ; …,   ; n }. Si ceci semble dur comprendre, considérer le cas dans lequel   du n ; =  ; 3 : le $de$

\ commencent {aligner} et {} \ \ (UV) de quadruple {\ partial^3 \ au-dessus de \ x_1 partiel \, \ x_2 partiel \, \ x_3 partiel} \ \ \ et {} = u \ cdot {\ partial^3 v \ au-dessus de \ x_1 partiel \, \ x_2 partiel \, \ x_3 partiel} + {\ u partiel \ au-dessus de \ x_1 partiel} \ cdot {\ partial^2 v \ au-dessus de \ x_2 partiel \, \ x_3 partiel} + {\ u partiel \ au-dessus de \ x_2} partiel \ cdot {\ partial^2 v \ au-dessus de \ x_1 partiel \, \ x_3 partiel} + {\ u partiel \ au-dessus de \ x_3 partiel} \ \ de cdot {\ partial^2 v \ au-dessus de \ x_1 partiel \, \ x_2 partiel} \ \ \ et {} \ qquad + {\ partial^2 u \ au-dessus de \ x_1 partiel \, \} x_2 partiel \ cdot {\ v partiel \ au-dessus de \ x_3 partiel} + {\ partial^2 u \ au-dessus de \ x_1 partiel \, \} x_3 partiel \ cdot {\ v partiel \ au-dessus de \ x_2 partiels} + {\ partial^2 u \ au-dessus de \ x_2 partiel \, \} x_3 partiel \ cdot {\ v partiel \ au-dessus de \ x_1 partiel} + {\ partial^3 u \ au-dessus de \ x_1 partiel \, \ x_2 partiel \, \ x_3} partiel \ cdot v. \ extrémité {aligner}

Une règle de produit dans les espaces de Banach

Si le X , le Y , et le Z sont les espaces de Banach (qui inclut l'espace euclidien ) et B : × du X ; &rarr du Y ; Le Z est un opérateur bilinéaire continu du . Alors le B est différentiable, et son dérivé au point ( X , y ) dans des × du X ; Le Y est le linéaire B de _{du D de la carte ( X , y )} : × du X ; &rarr du Y ; Z donné par

$(D\_\; \backslash \; parti\; (x,\; y\; \backslash \; droit)\; \backslash ,\; B)\; \backslash \; parti\; (u,\; v\; \backslash \; droit)\; =\; B\; \backslash \; parti\; (u,\; y\; \backslash \; droit)\; +\; B\; \backslash \; parti\; (x,\; v\; \backslash )\; droit\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; (u,\; v)\; \backslash \; dans\; X\; \backslash \; périodes\; Y.$

Dérivations dans l'algèbre abstraite

Dans l'algèbre d'abrégé sur , la règle de produit est employée au définissent ce qui s'appelle une dérivation , pas vice versa.

Une application

Parmi les applications du produit la règle est une preuve cela x^n du $de$

{d \ au-dessus de dx} = nx^ {n-1}

quand le n est un nombre entier positif (cette règle est vraie même si le n n'est pas positif ou n'est pas un nombre entier, mais la preuve de cette nécessité se fondent sur d'autres méthodes). La preuve est par l'induction mathématique sur le n d'exposant. Si le n = 0 alors n de ^{du X est   constant et de du nx de du n ; &minus ;   ; 1 = 0. La règle se tient dans ce cas parce que le dérivé d'une fonction constante est 0. Si la règle se tient pour n'importe quel particulier d'exposant n , puis pour la prochaine valeur,   du n ; +  ; 1, nous avons le $de$}

\ commencent {aligner} {d \ au-dessus de dx} le x^ {n+1} et {} = {d \ au-dessus de dx} \ est parti (x^n \ cdot X \ droit) du \ \ \ \ et {} = x^n de x {d \ au-dessus de dx} + x^n {d \ au-dessus de dx} x \ qquad \ mbox {(la règle de produit est employée ici)} \ \ \ \ et {} = x \ parti (nx^ {n-1} \ droit) + x^n \ cdot 1 \ qquad \ mbox {(l'hypothèse d'induction est employée ici)} \ \ \ \ et {} = (n + 1) x^n. \ extrémité {aligner}

Par conséquent si la proposition est vraie du n , il est vrai également du   du n ; +  ; 1.

Voir également

Règle de quotient de
Règle réciproque
Règle à chaînes
Intégration de par les pièces
Différentiel de (calcul)
Dérivation de (algèbre abstraite)

.

Random links:

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