Quotient de Rayleigh

Dans les mathématiques , pour un complexe donné matrice hermitienne $A$ et vecteur différent de zéro $x$ , le $R de du quotient de Rayleigh de (A, x)$ est défini comme : $de {x^ {*} A X \ au-dessus de x^ {*} x}$

Pour de vraies matrices et vecteurs, l'état d'être hermitien réduit à celui d'être le symétrique, et le conjugé de transposent le $x^ de {*}$ au habituel transposent le $x'$ de . Noter ce $R (A, C. x) = R (A, x)$ pour tout vrai $c$ scalaire. Se rappeler que symétrique) hermitien (ou vrai une matrice a les vraies valeurs propres . Il peut montrer que le quotient de Rayleigh atteint son $de valeur minimum \ lambda_ {\ operatorname {minute}}$ (la plus petite valeur propre de $A$ ) quand $x$ est le $v_ {\ operatorname {minute}}$ (le vecteur propre correspondant ). De même, $R (A, x) \ leq \ lambda_ {\ operatorname {maximum}} = de$ et de $R (A, v_ {\ operatorname {maximum}}) \ lambda_ {\ operatorname {maximum}}$ . Le quotient de Rayleigh est employé dans le théorème de Courant-Fischer de pour obtenir des valeurs exactes de toutes les valeurs propres. Il est également employé dans les algorithmes de valeur propre de pour obtenir une approximation de valeur propre d'une approximation de vecteur propre. Spécifiquement, ce sert de base à l'itération de quotient de Rayleigh de .

Caisse spéciale de matrices de covariance

\ Sigma

peut être représenté comme

A A

de produit. Ses valeurs propres sont positives :

de  \ _i v_i

= v_i de sigma \ lambda _i v_i = de v_i du

A A de  \ lambda v_i d'A A de v_i de  = _i v_i du v_i \ lambda le de  \ est parti \| Un v_i \ droit \|^2 _i = \ lambda \ est parti \| v_i \ droit \|^2 = de _i du de  \ lambda \ frac {\ est parti \| Un v_i \ droit \|^2} {\ est parti \| v_i \ droits \|^2} \ geq 0

Les vecteurs propres sont orthogonaux à un un autre : _i v_i = de v_i du $A A de \ lambda v_j v_i$ de _i = de v_i d'A A de _j de $v de \ lambda de (v_j d'A A) « v_j » v_i de _i = de v_i \ lambda v_j de _j du de \ lambda « v_j » v_i de _i = de v_i \ lambda v_i de v_j de de _i - de _j (\ lambda \ lambda) '= 0 de$

$v_j différent '= 0$ (v_i les de valeurs propres, en cas de multiplicité, la base peuvent orthogonalized)

Le quotient de Rayleigh peut être exprimé en fonction des valeurs propres en décomposant n'importe quel vecteur $x$ sur la base des vecteurs propres : $x de = \ ^n _ de somme {i=1} \ alpha _i v_i$ = de $\ rho de \ frac {x A A X} {x X}$ = de $\ rho de \ frac {(\ ^n _ de somme {j=1} \ alpha v_j de _j) « A » A (\ ^n _ de somme {i=1} \ alpha v_i de _i)}{(\ ^n _ de somme {j=1} \ alpha v_j de _j) '(\ ^n _ de somme {i=1} \ alpha v_i de _i)}$

Ce qui, par l'orthogonalité des vecteurs propres, devient : = de $\ rho de \ frac {\ ^n _ de somme {i=1} \ alpha _i ^2 \ _i de lambda} {\ ^n _ de somme {i=1} \ alpha _i ^2}$

Si un vecteur $x$ maximise le $\ rho$ , alors n'importe quel vecteur $k. x$ (pour $k \ Ne 0$ ) le maximise également, un peut réduire au problème de Lagrange de de maximiser le ^n du _ de $\ somme {i=1} \ alpha _i ^2 \ lambda _i$ sous la contrainte ce ^n du _ de $\ somme {i=1} \ alpha _i ^2 = 1$ .

Puisque toutes les valeurs propres sont non négatives, le problème est le convexe et le maximum se produit sur les bords du domaine, à savoir quand $\ alpha _1 = 1$ et $\ forall i > 1, \ alpha _i = 0$ (quand les valeurs propres sont commandées dans la grandeur décroissante).

Cette propriété sert de base à l'analyse de composants principaux de et à la corrélation canonique .

Utilisation dans la théorie de Sturm-Liouville

La théorie de Sturm-Liouville de concerne l'action du

L de de l'opérateur linéaire (y) = \ frac {1} {W (x)} \ à gauche (- \ frac {} de d} {dx \ à gauche + q (x) y \ droit)

sur l'espace de produit intérieur de défini par le

de \ langle {y_1, y_2} \ = de rangle \ int_a^b {W (x) y_1 (x) y_2 (x)} dx

des fonctions remplissant quelques conditions spécifiques de frontière de au un et au b . Dans ce cas-ci Rayleigh quotient est

\ frac {\ langle {y, LY} \ rangle} {\ langle {y,} de y \ rangle} = \ frac {\ int_a^b {y (x) \ est parti (- \ frac {} de d} {dx \ à gauche + q (x) y (x) \ droit)}dx} {\ int_a^b {dx de W (x) y (x)^2}}

Ceci est parfois présenté sous une forme équivalente, obtenue en séparant l'intégrale dans le numérateur et en employant l'intégration de par les pièces :

{- y'(de p (x) y (x) x)|+ de _a^b \ int_a^b \ parti + q (x) y (x)^2 \ rightdx} {\ int_a^b {dx de W (x) y (x)^2}}

Voir également

Champ de des valeurs

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