Quatre-élan

Dans la relativité spéciale , le quatre-élan est la généralisation de l'élan tridimensionnel classique à l'espace-temps quadridimensionnel. L'élan est un vecteur dans trois dimensions ; pareillement le quatre-élan est un Quatre-vecteur dans l'espace-temps. Le quatre-élan du covariant d'une particule avec le \ vec de trois-élan p = (p_x, p_y, p_z) et énergie E est

\ commencer {le pmatrix} p_0 \ \ p_1 \ \ p_2 \ \ p_3 \ extrémité {pmatrix} = \ commencer {le pmatrix} - \ D'E \ p_x \ \ \ p_y \ p_z \ extrémité {pmatrix}

Le quatre-élan est utile dans des calculs relativistes parce que c'est un vecteur de Lorentz. Ceci signifie qu'il est facile de maintenir comment il transforme sous les transformations de Lorentz de

Norme de Minkowski : p2

Le calcul de la norme de Minkowski de du quatre-élan donne à un Lorentz l'égale invariable de quantité de (jusqu'aux facteurs de la vitesse de la lumière de c ) à la place de la masse appropriée du des particules : - de |p|^2 = - \ p_ p_ d'eta^ {\ MU \ NU} \ MU \ NU = {E^2 \ au-dessus de c^2} - |\ vec p|^2 = m^2c^2

là où nous employons la convention des unités du SI que le \ eta^ {\ alpha \ bêtas} de = \ commencent {pmatrix} -1/c^2 et 0 et 0 et 0 \ \ 0 et 1 et 0 et 0 \ \ 0 et 0 et 1 et 0 \ \ 0 et 0 et 0 et 1 \ extrémité {pmatrix}

est le réciproque du tenseur métrique de la relativité spéciale . Puisque |p|^2 \ ! est Lorentz invariable, sa valeur n'est pas changé par les transformations de Lorentz, c. poussées dans différentes armatures de la référence.

Relation à la quatre-vitesse

Pour une particule massive, le quatre-élan est indiqué par le des particules invariable des temps de la masse la Quatre-vitesse du des particules : p_ de \ MU = m \, \ eta_ {\ MU \ NU} U^ \ NU \ !

là où la quatre-vitesse est le de \ commencer {le pmatrix} U^0 \ \ U^1 \ \ U^2 \ \ U^3 \ extrémité {pmatrix} = \ commencer {le pmatrix} \ \ de gamma \ \ \ gamma de v^x \ \ \ v^y gamma \ \ v^z gamma \ extrémité {pmatrix}

et = de \ gamma \ frac {1} {\ racine carrée {1 (\ frac {v} {c}) ^2}} est le facteur de Lorentz de et le c est la vitesse de la lumière .

Conservation de quatre-élan

La conservation du quatre-élan rapporte deux lois de conservation pour le " ; classical" ; quantités : toute l'énergie E = - p0 est conservé. Le

  • trois le de l'élan \ vec classiques p est conservé.

    Noter que la masse d'un système des particules peut être plus que la somme des masses de repos des particules, depuis l'énergie cinétique dans les comptes au centre de la masse d'armature de système comme système Massachusetts comme exemple, deux particules avec les quatre-élans {- 5 Gev, le c de 4 Gev/, 0, 0} et {- 5 Gev, le c de -4 Gev/, 0, 0} chacun a le c 2 de la masse 3 Gev/(de repos) séparément, mais leur masse totale (la masse de système) est le c 2 de 10 Gev/. Si ces particules devaient se heurter et bâton, la masse de l'objet composé serait le c 2 de 10 Gev/.

    Une application pratique de la physique de particules de de la conservation de la masse invariable implique de combiner les quatre-élans pA et pB de deux particules de fille produites dans l'affaiblissement d'une particule plus lourde avec le quatre-élan q pour trouver la masse de la particule plus lourde. La conservation du quatre-élan donne le q&mu ; = pA&mu ; + pB&mu ; , alors que la masse M de la particule plus lourde est donnée par -|q|2 = M2c2. En mesurant les énergies et les trois-élans des particules de fille, on peut reconstruire la masse invariable du système de deux-particule, qui doit être égal au M. Cette technique est employée, par exemple, dans des recherches expérimentales pour les bosons de Z de aux Colliders de grande énergie de particules où le boson de Z apparaîtrait comme bosse dans le spectre de masse invariable de l'électron - le positron ou le Muon - des paires d'antimuon.

    Si la masse d'un objet ne change pas, le produit intérieur de Minkowski de son quatre-élan et Quatre-accélération correspondante A&mu de ; est zéro. Accélération est proportionnel à temps dérivé de élan divisé par particule le masse, ainsi

    p_ {\ MU} A^ {\ MU} = p_ {\ MU} \ frac {d} {décollement} \ frac {\ p_ d'eta^ {\ MU \ NU} {\ NU}} {m} = \ frac {1} {} de 2m \ frac {d} {décollement} |p|^2 = \ frac {1} {} de 2m \ frac {d} {décollement} (- m^2c^2) = 0.

    Élan canonique en présence d'un potentiel électromagnétique

    Que les applications dans la mécanique quantique relativiste, il est utile définissent un " ; canonical" ; quatre-vecteur d'élan, P_ \ MU , qui est la somme du quatre-élan et du produit de la charge électrique avec le potentiel de quatre-vecteur :

    P_ {\ MU} = p_ {\ MU} + q A_} {\ MU \ !

    là où le potentiel de quatre-vecteur est un résultat de combiner le potentiel scalaire et le potentiel de vecteur de :

    \ commencer {le pmatrix} A_0 \ \ A_1 \ \ A_2 \ \ A_3 \ extrémité {pmatrix} = \ commencer {le pmatrix} \ - \ phi \ A_x \ \ \ d'A_y \ A_z \ extrémité {pmatrix}

    Ceci permet l'énergie potentielle de la particule chargée dans un potentiel électrostatique et la force de Lorentz sur la particule chargée se déplaçant un champ magnétique à incorporer d'une manière compacte à l'équation de Schroedinger de .

    Voir également relativité spéciale

    • de de
  • du Quatre-vecteur
    • de de
  • de l'élan
    • de de

    .

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