Quaternion

Dans les mathématiques , les quaternions sont une prolongation non commutative du des nombres complexes qu'ils ont été décrits la première fois par le mathématicien irlandais du , monsieur William Rowan Hamilton de , dans le 1843 et appliqué à la mécanique dans l'espace tridimensionnel. Au début, des quaternions ont été considérés comme le pathologique parce qu'ils ont désobéi le ab de la loi commutative = Ba de . Bien qu'ils aient été remplacés dans la plupart des applications par le dirige qu'ils trouvent toujours des utilisations dans des mathématiques théoriques et appliquées, en particulier pour des calculs comportant les rotations tridimensionnelles , comme dans les infographies du 3D .

Dans la langue moderne, la forme de quaternions une algèbre de division dimensionnelle de Normed du 4 au-dessus des vrais nombres l'algèbre des quaternions est souvent dénotée par le H (pour Hamilton), ou dans le tableau noir "BOLD" de par le $de\; \backslash \; mathbb\; \{H\}$ (ℍ d'Unicode). Elle peut également être donnée le C ℓ_0,2 ( R ) de classifications de l'algèbre de Clifford de = le C ℓ⁰_3,0 ( R ). Le H d'algèbre tient un endroit spécial dans l'analyse puisque, selon le théorème de Frobenius de , il est l'un de seulement trois anneaux fini-dimensionnels de Division de contenant les vrais nombres comme Subring .

Définition

Les quaternions sont définis comme anneau : = de $\backslash \; mathbb\; de$

{H} \ {a+bi+cj+dk | a, b, c, d \ dans \ mathbb {} de R \}

là où l'addition est définie par :

$(a\_1+b\_1i+c\_1j+d\_1k)\; +)\; (d\text{'}a\_2+b\_2i+c\_2j+d\_2k\; \backslash ,$ =\; de\; de$$
de (a_1+a_2) + (b_1+b_2) i+ (c_1+c_2) j+ (d_1+d_2) k \,

et la multiplication est définie par l'expansion :

$(a\_1+b\_1i+c\_1j+d\_1k))\; (d\text{'}a\_2+b\_2i+c\_2j+d\_2k\; \backslash ,$

using la loi distributive et puis appliquer les relations de définition : $de$

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, \,

Chaque quaternion est une combinaison linéaire unique et vrai des quaternions 1 de base, du i , du j , et du k .

Propriétés

Multiplication de base

L'ensemble d'équations $de$

i^2 = j^2 = k^2 = I j k = -1, \, \ !

là où le i , le j , et le k sont des nombres imaginaires, est la formule fondamentale pour des identités multiplicatives de quaternion, récapitulée dans la table de multiplication des quaternions de base. le $de$

\ commencent {matrice} ij et = et k, et et et et ji et = et - k, \ \ jk et = et I, et et et et kJ et = et - I, \ \ ki et = et j, et et et et ik et = et - j. \ extrémité {matrice}

Par exemple, depuis $de$

- 1 =, d'I j k \, \ !

la droit-multiplication de les deux côtés par le k donne

$\backslash \; commencer\; \{la\; matrice\}\; -\; k\; et\; =\; et\; I\; j\; k\; k,\; \backslash \; \backslash \; et\; =\; et\; I\; j\; (-\; 1),\; \backslash \; \backslash \; k\; et\; =\; et\; I\; J.\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}\; \backslash ,\; \backslash \; !$ < ! -- Alternativement, gauche-multipliant les deux côtés par le i , $de$

j'I j k = - I, $$ (- 1) j k = - I, $j$ k = I.

Cette dernière équation peut par conséquent gauche-être multipliée des deux côtés par le j , $j\; j\; de$

k = j i, $$ - k = j i,

et la continuation de cette fa4con du reste de la table de multiplication est immédiatement dérivée. -->

Le reste de la table peut être vérifié pareillement.

À la différence de la multiplication de vrais ou complexes nombres, la multiplication des quaternions n'est pas le commutatif : par exemple $ij\; =\; k$, tandis que $ji\; =\; -\; k$. Le non-commutativity de la multiplication a quelques conséquences inattendues, parmi elles que les équations polynômes du au-dessus des quaternions peuvent avoir des solutions plus distinctes que le degré du polynôme. L'équation $z^2\; +\; 1\; =\; 0$, par exemple, a infiniment le $z\; =\; le\; Bi\; +\; le\; cj\; +\; le\; dk$ de beaucoup de solutions de quaternion avec $b^2\; +\; c^2\; +\; d^2\; =\; 1$, de sorte que ces solutions forment une sphère unitaire centrée dessus mettent dedans le sous-espace imaginaire pur tridimensionnel des quaternions, cette sphère imaginaire intersectant le plan complexe seulement aux deux poteaux $i$ et $-i$. < ! -- le $de\; \backslash \; commencent\; \{matrice\}\; ij\; et\; =\; et\; \backslash \; de\; k\; \backslash \; ji\; et\; =\; et\; -\; \backslash \; de\; k\; \backslash \; jk\; et\; =\; et\; \backslash \; d\text{'}I\; \backslash \; kJ\; et\; =\; et\; -\; \backslash \; d\text{'}I\; \backslash \; ki\; et\; =\; et\; \backslash \; de\; j\; \backslash \; ik\; et\; =\; et\; -\; \backslash \; de\; j\; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}$ --> < ! -- \, les forces rendant et impose l'uniformité -->

Algèbres

Le H d'ensemble de tous les quaternions est un espace de vecteur au-dessus des vrais nombres avec la dimension 4 de (les nombres complexes ont la dimension 2 par comparaison). Tandis que le H est un espace de vecteur quadridimensionnel, on parle de la pièce scalaire du du quaternion en tant qu'étant par , alors que la pièce de vecteur est le $bi\; +\; le\; cj\; +\; le\; dk$ de reste. Ainsi, dans le cadre des quaternions, un quaternion avec zéro pour sa partie scalaire est un vecteur de .

L'addition des quaternions est accomplie en ajoutant des coefficients correspondants, comme avec les nombres complexes. Par des linéarités, la multiplication des quaternions est complètement déterminée par la table de multiplication ci-dessus pour les quaternions de base. Sous cette multiplication, les quaternions de base, avec leurs négatifs, forment le groupe de Quaternion de d'ordre 8, $Q\_8$.

Les quaternions sont un exemple d'un anneau , une structure algébrique de Division de semblable à un champ excepté le commutativity de la multiplication. En particulier, la multiplication est toujours le associatif et chaque élément différent de zéro a un inverse multiplicatif unique.

La forme de Quaternions une algèbre associative du 4 dimensionnel au-dessus des reals (en fait une algèbre de Division de ) et contiennent les nombres complexes, mais ils ne forment pas une algèbre associative au-dessus des nombres complexes. Les quaternions, avec les nombres complexes et vrais, sont les seules algèbres de division associatives fini-dimensionnelles au-dessus du champ de vrais nombres.

Opérations de Quaternion

Les opérations de Quaternion ont prolongé des applications dans la programmation de l'électrodynamique , de la relativité générale , et des graphiques 3D. L'utilisation des quaternions peut remplacer les tenseurs dans la représentation. Il est parfois plus facile d'employer des quaternions avec les éléments complexes, menant à une forme qui n'est pas une algèbre de division. Cependant, les mêmes opérations peuvent être effectuées using une combinaison des opérations conjuguées. Seulement des quaternions avec de vrais éléments seront discutés ici.

Définitions utilisées dans cette section

Cette section, employée pour décrire des opérations algébriques communes sur des quaternions, définira trois quaternions. Ces quaternions seront employés pour représenter un opérande primaire, un opérande secondaire, et une résultante. Ceux-ci sont respectivement : A , B , et Q . Non toutes les opérations sont assez complexes pour exiger leur affichage using chacun des trois quaternions.

$\backslash \; commencent\; \{matrice\}\; \backslash \; mathbf\; A\; et\; \backslash \; équivalent\; A\_t\; et\; +\; et\; A\_x\; \{\backslash \; mathbf\; i\}\; et\; +\; et\; A\_y\; \{\backslash \; mathbf\; j\}\; et\; +\; et\; A\_z\; \{\backslash \; mathbf\; k\}\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}$
$\backslash \; commencent\; \{matrice\}\; \backslash \; mathbf\; B\; et\; \backslash \; équivalent\; B\_t\; et\; +\; et\; B\_x\; \{\backslash \; mathbf\; i\}\; et\; +\; et\; B\_y\; \{\backslash \; mathbf\; j\}\; et\; +\; et\; B\_z\; \{\backslash \; mathbf\; k\}\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}$
$\backslash \; commencent\; \{\}\; de\; matrice\; \backslash \; mathbf\; Q\; et\; \backslash \; Q\_t\; équivalent\; et\; +\; et\; Q\_x\; \{\backslash \; mathbf\; i\}\; et\; +\; et\; Q\_y\; \{\backslash \; mathbf\; j\}\; et\; +\; et\; Q\_z\; \{\backslash \}\; de\; mathbf\; k\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}$

Non toutes les représentations des quaternions peuvent définir les éléments de la même manière. Ces haches sont choisies à, si tout va bien, aide dans la description. L'élément du t représente la quantité scalaire. Dans cette situation, le numéro 1 peut être représenté par le quaternion $1\; +\; 0\; \{\backslash \; mathbf\; i\}\; +\; 0\; \{\backslash \; mathbf\; j\}\; +\; 0\; \{\backslash \; mathbf\; k\}$, tels que le 1 serait dans l'endroit du t .

La forme de vecteur d'un quaternion peut également être employée. Cette forme assume ces $\backslash \; vec\; \{A\}\; \backslash \; A\_x\; équivalent\; \backslash \; mathbf\; i\; +\; A\_y\; \backslash \; mathbf\; j\; +\; A\_z\; \backslash \; mathbf\; k$. $de$

{\ mathbf A} \ A_t équivalent + \ $$
du vec A {\ mathbf B} \ B_t équivalent + \ $$
du vec B {\ mathbf Q} \ + équivalent de Q_t \ vec Q

Les cas d'exemple exigeront que les quaternions définis ci-dessus ont des valeurs d'exemple :

laisser $\backslash \; commencent\; \{matrice\}\; \backslash \; mathbf\; A\; et\; =\; et\; 3\; et\; +\; et\; \backslash \; mathbf\; i\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}$
laisser $\backslash \; commencent\; \{\}\; de\; matrice\; \backslash \; mathbf\; B\; et\; =\; et\; 5\; \backslash \; mathbf\; i\; et\; +\; et\; \backslash \; mathbf\; j\; et\; -\; et\; 2\; \backslash \; mathbf\; k\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}$

Antiautomorphisms

; Négation (inverse additif) L'opération de négation correspond à l'opération de négation des algèbres de Clifford, parce que l'opération de négation est tracée à tous les éléments.

$-\; \backslash \; mathbf\; A\; \backslash \; équivalent\; -\; A\_t\; -\; A\_x\; \backslash \; mathbf\; i\; -\; A\_y\; \backslash \; mathbf\; j\; -\; A\_z\; \backslash \; mathbf\; k$
$-\; \backslash \; mathbf\; A\; \backslash \; équivalent\; -\; -\; d\text{'}A\_t\; \backslash \; vec\; A$

; Conjugaison (inverse spatial) Le conjugé de quaternion correspond à l'opération d'inversion des algèbres de Clifford. L'inverse spatial de limite se rapporte à la négation de chacun des éléments qui auraient une représentation spatiale, qui sont les éléments dans la base du i , base du j , et la base du k .

NOTE de : le symbole d'opérateur pour le conjugé n'est pas normalisé. Ceci peut parfois être vu en tant que $\backslash overline\{\}\; de\; Q\; \backslash ,\; \backslash \; !$, $\backslash \; tilde\; \{\}\; de\; Q\; \backslash ,\; \backslash \; !$, $Q^*\; \backslash ,\; \backslash \; !$, $Q^t\; \backslash ,\; \backslash \; !$, et parfois d'autres symboles sont employés. Plus tard en cet article, $Q^*\; \backslash ,\; \backslash \; !$ est employé pour dénoter le conjugé.

$\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; A\}\; \backslash \; équivalent\; A\_t\; -\; A\_x\; \backslash \; mathbf\; i\; -\; A\_y\; \backslash \; mathbf\; j\; -\; A\_z\; \backslash $ $$
du mathbf k \ overline {\ mathbf A} \ - équivalent d'A_t \ vec {A}

Opérations binaires communes

; Addition L'addition est la carte simple de l'opérateur d'addition au-dessus de chaque élément dans les quaternions.

$\backslash \; mathbf\; A\; +\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; équivalent\; (A\_t\; +\; B\_t)\; +\; (A\_x\; +\; B\_x)\; \backslash \; mathbf\; i\; +)\; (d\text{'}A\_y\; +\; de\; B\_y\; \backslash \; mathbf\; j\; +\; (A\_z\; +\; B\_z)\; \backslash \; +\; de$ \backslash \; mathbf$$
du mathbf k A \ mathbf B \ équivalent (A_t + B_t) + \ + de vec A \ vec B

; Soustraction Encore, la soustraction est une carte de l'opérateur de soustraction au-dessus de chaque élément. C'est équivalent à employer l'addition avec les opérations de négation. $de$

\ mathbf A - \ mathbf B \ équivalent (A_t - B_t) + (A_x - B_x) \ mathbf i + () d'A_y - de B_y \ mathbf j + (A_z - B_z) \ - de $\backslash \; mathbf\; A$
de mathbf k \ mathbf B \ équivalent (A_t - B_t) + \ - de vec A \ vec B

Produits de Quaternion

; Produit de Grassmann Le produit de quaternion le plus utile est le produit de Grassmann de , qui est un produit non commutatif du de deux quaternions. Il y a des périodes que le produit de Grassmann peut être commutatif et des périodes que le produit de Grassmann peut être Anticommutative --c'est parce que les trois premiers opérateurs sont commutatifs et le produit en travers est anticommutative. L'opération est habituellement dénotée comme concaténation d'un quaternion avec des autres.

laisser $\backslash \; mathbf\; Q\; =\; \backslash \; mathbf\; \{ab\}\; =\; A\_t\; B\_t\; -\; \backslash \; vec\; \{\}\; d\text{'}A\; \backslash \; cdot\; \backslash \; vec\; \{B\}\; +\; A\_t\; \backslash \; vec\; \{B\}\; +\; +\; de\; B\_t\; \backslash \; vec\; \{A\}\; \backslash \; vec\; \{A\}\; \backslash \; périodes\; \backslash \; vec\; \{B\}$

Les éléments du Q : le $de\; \backslash \; commencent\; \{matrice\}\; Q\_t\; et\; =\; et\; A\_t\; B\_t\; et\; -\; et\; A\_x\; B\_x\; et\; -\; et\; A\_y\; B\_y\; et\; -\; et\; A\_z\; B\_z\; \backslash $ $$
d'extrémité {matrice} \ commencer {matrice} Q_x et = et A_t B_x et + et A_x B_t et + et A_y B_z et - et A_z B_y \ $$
d'extrémité {matrice} \ commencent {matrice} Q_y et = et A_t B_y et - et A_x B_z et + et A_y B_t et + et A_z B_x \ $$
d'extrémité {matrice} \ commencent {matrice} Q_z et = et A_t B_z et + et A_x B_y et - et A_y B_x et + et A_z B_t \ extrémité {matrice}

Il devrait noter en ce moment que la partie anticommutative du produit est le produit en travers du $de\; vecteurs\; \backslash \; a\; laissé\; (\backslash \; vec\; \{A\}\; \backslash \; périodes\; \backslash \; vec\; \{B\}\; \backslash \; droit)$. Le reste du produit est la partie commutative. S'il n'y a aucune partie anticommutative à additionner, alors le produit est entièrement commutatif. Un exemple d'un produit commutatif avec un quaternion est n'importe quelle valeur scalaire multipliée par un quaternion.

Propriétés :
Non commutatif : $\backslash \; mathbf\; \{\}\; d\text{'}ab\; \backslash \; quantité\; nette\; de\; substance\; explosive\; \backslash \; mathbf\; \{BA\}$
Associatif : $\backslash \; mathbf\; \{A\; (Bq)\}\; =\; \backslash \; =\; de\; mathbf\; \{(ab)\; Q\}\; \backslash \; mathbf\; \{ABQ\}$
Distributif gauche et droit : = de $\backslash \; mathbf\; \{A\; (B\; +\; Q)\}\; =\; \backslash ,\; de\; mathbf\; \{ab\; +\; AQ\}\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; mathbf\; \{(A+B)\; Q\}\; \backslash \; mathbf\; \{AQ+BQ\}$

; Produit intérieur Le produit intérieur (également appelé le point-produit de quaternion) correspond à la somme des produits des différents éléments. C'est un produit entièrement commutatif qui renvoie une quantité scalaire. $de$

\ mathbf A \ cdot \ mathbf B \ équivalent \ mathbf B \ cdot \ mathbf A = A_t B_t + A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \, \ !

Exemple : $de\; \backslash \; mathbf\; A\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; B\; =\; (3\; \backslash \; cdot\; 0)\; +\; (1\; \backslash \; cdot\; 5)\; +\; (0\; \backslash \; cdot\; 1)\; +\; (0\; \backslash \; cdot\; -2)\; =\; 5\; \backslash ,\; \backslash \; !$

En termes de produit de Grassmann : $de\; \backslash \; mathbf\; A\; \backslash \; =\; de\; cdot\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; +\; d\text{'}overline\; A\; B\; \backslash \; overline\; B\; A\}\}\; \{2\}$

Ce produit est utile pour isoler un élément d'un quaternion. Par exemple, la limite du i peut être retirée du p : $de$

\ mathbf A \ cdot i = A_x \, \ !

Propriétés :
Commutatif : $\backslash \; mathbf\; \{A\; \backslash \; cdot\; B\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; B\; \backslash \; cdot\; A\; \backslash ,\; \backslash \; !$
Associatif : $\backslash \; mathbf\; \{A\; \backslash \; cdot\; (B\; \backslash \; cdot\; Q)\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{(A\; \backslash \; cdot\; B)\; \backslash \; cdot\; Q\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; d\text{'}A\; \backslash \; cdot\; B\; \backslash \; cdot\; Q\; \backslash ,\; \backslash \; !$
Distributif : $\backslash \; mathbf\; \{Q\; \backslash \; cdot\; (A\; +\; B)\}\; =\; \backslash \; +\; de\; mathbf\; \{Q\; \backslash \; cdot\; A\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\; \backslash \; cdot\; B\}$

; Externe-produit L'externe-produit n'est pas employé souvent ; cependant, on lui mentionne comme paire avec l'intérieur-produit :

$\backslash \; operatorname\; (\{externe\}\; \backslash \; mathbf\; A,\; \backslash \; mathbf\; B)\; =\; A\_t\; \backslash \; vec\; \{B\}\; -\; B\_t\; \backslash \; vec\; \{A\}\; -\; \backslash \; vec\; \{A\}\; \backslash \; période\; \backslash \; vec\; \{\}\; de\; B\; \backslash ,\; \backslash \; !$

L'externe-produit peut être récrit using le produit de Grassmann : $\backslash \; operatorname\; de$

({externe} \ = de mathbf A, \ mathbf B) \ frac {\ mathbf {\ - d'overline A B \ overline B A}} {2} \, \ ! ;

et la valeur absolue de du p est le vrai nombre non négatif défini près

$|p|\; =\; =\; \backslash \; racine\; carrée\; \{p^*\; de\; p\}\; \backslash \; racine\; carrée\; \{a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\; +\; d^2\}.\; \backslash ,\; \backslash \; !$

Noter cela (q  de ; p ) ^* = q ^* du p ^*, qui n'est pas en général égal au p ^* du q ^*. L'inverse multiplicatif d'un différent de zéro p de quaternion peut être commodément calculé comme ^{&minus du p ; 1} = p ^*/ | p |².

En employant le d ( p ,   de la fonction de distance ; q ) = |   du p ; &minus ;   ; q |, les quaternions forment un espace métrique (isométrique au métrique euclidien habituel sur le R ⁴) et les opérations arithmétiques sont continues. Nous avons également | p  de ; q | = | p |  ; | q | pour tout le p de quaternions et q . Using la valeur absolue comme norme, les quaternions forment une vraie algèbre de Banach de .

$p\; donné\; de\; de\; quarternions\; =,\; d\text{'}a+\; \backslash \; vec\; \{u\}\; \backslash quadrupleq\; =\; t+\; \backslash \; vec\; \{v\},$

avec le $de$

\ vec {u} = Bi + cj + le DK, \ \ de quadruple \ vec {v} = XI + yj + zk, quelques autres produits sont définis comme suit.

; Croix-produit de Quaternion

Le croix-produit des quaternions est également connu comme impair-produit ou externe-produit de Grassmann de . Il est équivalent au croix-produit de vecteur, et renvoie une quantité de vecteur seulement :

$p\; \backslash \; période\; q\; =\; \backslash \; vec\; \{u\}\; \backslash \; période\; \backslash \; vec\; \{\}\; de\; v\; \backslash ,\; \backslash \; !$ $p\; \backslash \; temps\; de$

q = (la CZ - Dy) I + (dx - le BZ) j + (par - la CX) k \, \ !

Le croix-produit peut être récrit using le produit de Grassmann :

$p\; \backslash \; période\; q\; =\; \backslash \; frac\; \{pq\; -\; qp\}\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; !$

; Égal-produit de Quaternion

L'égal-produit des quaternions désigné également sous le nom du l'intérieur-produit de Grassmann de . Il n'est également pas employé couramment, mais il a mentionné en raison de la similitude entre lui et l'impair-produit. C'est le produit purement symétrique ; donc, il est complètement commutatif.

$\backslash \; operatorname\; \{même\}\; (p,\; q)\; =\; à\; -\; \backslash \; vec\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; vec\; \{v\}\; +\; a\; \backslash \; vec\; \{v\}\; +\; t\; \backslash \; vec\; \{\}\; d\text{'}u\; \backslash ,\; \backslash \; !$ $\backslash \; operatorname\; de$

{même} (p, q) = (- bx - à la CY - DZ) + (hache + le BT) I + (ay + ct) j + (az + décollement) k \, \ !

L'égal-produit peut être récrit using le produit de Grassmann :

$\backslash \; operatorname\; \{même\}\; (p,\; q)\; =\; \backslash \; frac\; \{pq\; +\; qp\}\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; !$

; Produit euclidien de Quaternion

Une autre multiplication entre deux quaternions se nomme le produit euclidien . Au lieu du premier quaternion, son conjugé est pris :

$p^*q\; =\; à\; +\; \backslash \; vec\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; vec\; \{v\}\; +\; a\; \backslash \; vec\; \{v\}\; -\; t\; \backslash \; vec\; \{u\}\; -\; \backslash \; vec\; \{u\}\; \backslash \; période\; \backslash \; vec\; \{\}\; de\; v\; \backslash ,\; \backslash \; !$

En raison de la nature non commutative de la multiplication de quaternion, le p*q de n'est pas équivalent au q*p de .

$q^*p\; =\; à\; +\; \backslash \; vec\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; vec\; \{v\}\; -\; a\; \backslash \; vec\; \{v\}\; +\; t\; \backslash \; vec\; \{u\}\; +\; \backslash \; vec\; \{u\}\; \backslash \; période\; \backslash \; vec\; \{\}\; de\; v\; \backslash ,\; \backslash \; !$

Quand le p = q , le résultat est le conjugé.

; Quaternion réciproque

L'inverse d'un quaternion est défini d'une manière ce ^{&minus du p ; 1} p = ^{&minus du p du p ; 1} = 1. C'est formé la même manière dont l'inverse complexe est trouvé :

$p^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; frac\; \{p^*\}\; \{\}\; de\; p^*\; de\; p\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \backslash \; !$

Le produit intérieur d'un quaternion et de son conjugé est une grandeur scalaire. La division d'un quaternion par une grandeur scalaire est équivalente à la multiplication par l'inverse scalaire, telle que chaque élément du quaternion est divisé par le diviseur.

; Division de Quaternion

Le non-commutativity des quaternions tient compte de deux divisions de ^{&minus du p de nombres ; 1}  ; q et q  de ; ^{&minus de p ; 1}. Ceci signifie que la notation du q / p est ambiguë à moins que le p soit une grandeur scalaire, le q est une grandeur scalaire, ou une convention explicite est définie, qui n'est pas normalement faite.

; Grandeur scalaire de Quaternion

La grandeur scalaire d'un quaternion peut être isolée de la même manière qui a été décrit plus tôt avec le point-produit :

$1\; de\; \backslash \; =\; de\; cdot\; p\; \backslash \; frac\; \{p\; +\; p^*\}\; \{2\}\; =\; a\; \backslash ,\; \backslash \; !$

; Vecteur de Quaternion

Le vecteur d'un quaternion peut être isolé using l'externe-produit de la même manière que le produit intérieur est employé pour isoler la grandeur scalaire : $\backslash \; operatorname\; de$

{externe} (1, p) = \ 2} = du frac {p - p^*} {\ vec {u} = Bi + cj + le DK \, \ !

; Module de Quaternion

La valeur absolue d'un quaternion est la quantité scalaire qui détermine la longueur du quaternion à partir de l'origine.

$|p|\; =\; \backslash \; racine\; carré\; \{p\; \backslash \; cdot\; p\}\; =\; \backslash \; racine\; carré\; \{p^*p\}\; =\; \backslash \; racine\; carré\; \{a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\; +\; d^2\}\; \backslash ,\; \backslash \; !$

; Signe de Quaternion

Le signe d'un nombre complexe trouve le nombre complexe de la même direction trouvée sur le cercle d'unité. Le quaternion d'unité est défini pareillement comme quaternion dans la même direction sur le hypersphere dimensionnel de du 4 d'unité. La fonction de signe de quaternion produit le quaternion d'unité : $\backslash \; sgn\; de$

(p) = \

de frac {p} Exemple

Laissé le $de$

\ commencent {matrice} X et = et 3 + \ d'I \ y et = et 5i + j - 2k \ extrémité {matrice} Puis le $de$

\ commencent {matrice} X + y et = et 3 + 6i + j - 2k \ \ \ \ de x/y et = et (3 + i) (5i + j - 2k) \ \ et = et 15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik \ \ et = et 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j \ \ et = et -5 + 15i + 5j - 5k \ \ \ \ yx et = et (5i + j - 2k) (3 + i) \ \ et = et 15i + 5i^2 + 3j + ji - 6k - 2ki \ \ et = et 15i - 5 + 3j - k - 6k - 2j \ \ et = et -5 + 15i + j - 7k \ extrémité {matrice}

Représentations de Matrix

Il y a au moins deux manières de représenter des quaternions comme matrices , de telle manière que l'addition et la multiplication de quaternion correspondent à l'addition et à la multiplication (c., Homomorphisms de matrice de Matrix de de quaternion-matrice. On est d'employer 2× ; 2 matrices complexes du , et l'autre est d'employer 4× ; 4 vraies matrices du .

Using le 2× ; 2 matrices complexes , le de quaternion + b i + c j + d k peuvent être représentées As le $de$

\ commencent {pmatrix} \ d'a+bi et de c+di \ - c+di et un-Bi \ extrémité {pmatrix}

Cette représentation a les propriétés suivantes :
Les nombres complexes ( c de = d = 0) correspondent aux matrices diagonales.
La norme d'un quaternion (la racine carrée d'un produit avec son conjugé, comme avec des nombres complexes) est le déterminant de la matrice correspondante.
Le conjugé d'un quaternion correspond au conjugé de transposent de la matrice.
Limité aux quaternions d'unité, cette représentation fournit l'isomorphisme entre le '' S '' ³ et SU (2). Le dernier groupe est important dans la mécanique quantique De en traitant la rotation ; voir également les matrices de Pauli de .

Using le 4× ; 4 vraies matrices , ce même quaternion peuvent être écrites As le $de$

\ commencent {pmatrix} \ ; \ ; et d'a et de b \ ; \ ; \ de c et de d \ \ ; \ ; - et de b \ ; \ ; a et - d et \ de c \ \ ; \ ; - et de c \ ; \ ; et de d \ ; \ ; a et - \ de b \ \ ; \ ; - et de d \ ; \ ; - et de c \ ; \ ; et de b \ ; \ ; a \ $=\; de$

d'extrémité {pmatrix} un \ commencer {le pmatrix} \ ; \ ; 1 et 0 et \ ; \ ; 0 et 0 \ \ \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 1 et 0 et 0 \ \ \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 1 et 0 \ \ \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 1 \ extrémité {pmatrix} + b \ commencer {le pmatrix} \ ; \ ; 0 et 1 et \ ; \ ; 0 et 0 \ \ \ ; \ ; -1 et \ ; \ ; 0 et 0 et 0 \ \ \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 0 et -1 \ \ \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 1 et \ ; \ ; 0 \ extrémité {pmatrix} + c \ commencer {le pmatrix} \ ; \ ; 0 et 0 et \ ; \ ; 1 et 0 \ \ \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 0 et 0 et 1 \ \ \ ; \ ; -1 et \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 0 et 0 \ \ \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; -1 et \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 0 \ extrémité {pmatrix} + d \ commencer {le pmatrix} \ ; \ ; 0 et 0 et \ ; \ ; 0 et 1 \ \ \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 0 et -1 et 0 \ \ \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 1 et \ ; \ ; 0 et 0 \ \ \ ; \ ; -1 et \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 0 et \ ; \ ; 0 \ extrémité {pmatrix}

Dans cette représentation, le conjugé d'un quaternion correspond au transposent de la matrice. La quatrième puissance de la valeur absolue d'un quaternion est le déterminant de la matrice correspondante.

Construction de Cayley-Dickson

Selon la construction de Cayley-Dickson de , un quaternion est une paire commandée de nombres complexes. En laissant le j être une nouvelle racine de &minus ; 1, différent du i et du &minus ; le i , et le donné u et le v sont une paire de nombres complexes, puis $de$

q = u + j v \,

est un quaternion.

Si u = + ib de et v = c + identification de , puis $de$

q = a + I b + j c + j i d \, .

D'ailleurs, laisser le $j\; i\; de\; =\; -\; I\; j\; \backslash ,$, de sorte que

$q\; =\; a\; +\; I\; b\; +\; j\; c\; +\; I\; j\; (-)\; de\; d\; \backslash ,$, et laisser également le produit des quaternions soit associatif.

Avec ces règles, nous pouvons maintenant dériver la table de multiplication pour le i , le j et l'ij , les composants imaginaires de d'un quaternion : $de\; j\text{'}I\; =\; -1,\; \backslash ,$ i$j\; =\; (,\; d\text{'}I\; j)\; \backslash ,$ $i\; (I\; j)\; =\; (I\; i)\; j\; =\; -,\; de\; j\; \backslash ,$ j\; i$=\; -\; (I\; j),\; \backslash ,$ j$j\; =\; -1,\; \backslash ,$ $j\; (I\; j)\; =\; -\; j\; (j\; i)\; =\; -\; (j\; j)\; i\; =\; I,\; \backslash ,$ $(I\; j)\; i\; =\; -\; (j\; i)\; i\; =\; -\; j\; (I\; i)\; =,\; de\; j\; \backslash ,$ $(I\; j)\; j\; =\; I\; (j\; j)\; =\; -,\; d\text{'}I\; \backslash ,$ $(I\; j)\; (I\; j)\; =\; -\; (I\; j)\; (j\; i)\; =\; -\; I\; (j\; j)\; i\; =\; j\text{'}I\; =\; -1.\; \backslash ,$ Notification comment l'ij la dyade se comporte juste comme le k dans la définition.

Pour n'importe quel v de nombre complexe = c + identification de , son produit avec le j a la propriété suivante : $j\; v\; de\; =\; v^*\; j\; \backslash ,$ depuis le $j\; v\; de\; =\; j\; c\; +\; j\; i\; d\; =\; j\; c\; -\; (I\; j)\; d\; =\; (c\; -\; I\; d)\; j\; =\; v^*\; j\; \backslash ,$.

Laisser le p être le quaternion avec le complexe W de composants et le z : $de\; p\; =\; W\; +\; j\; z\; \backslash ,$. Alors le qp produit est le $q\; de\; p\; =\; (u\; +\; j\; v)\; (W\; +\; j\; z)\; =\; u\; W\; +\; u\; j\; z\; +\; j\; v$ W\; +\; de\; j\; v\; j\; z\; \backslash ,$ de\; de$=\; u\; v^*\; z\; de\; W\; +\; u^*\; de\; j\; z\; +\; j\; v\; de\; W\; +\; de\; j\; j\; \backslash ,\; de$=\; (u\; W\; -\; v^*\; z)\; +\; j\; (u^*\; z\; +\; v\; w).\; \backslash ,$ Puisque le produit des nombres complexes est commutatif, nous avons le $de\; (u\; +\; j\; v)\; (W\; +\; j\; z)\; =\; (u\; W\; -\; v^*\; de\; z)\; +\; j\; (u^*\; z\; +\; W\; v)\; \backslash ,$ ce qui est avec précision comment la multiplication de quaternion est définie par la construction de Cayley-Dickson.

Noter cela si u = a + ib , v = c + identification , et p = a + &prime du p d'ib + de jc + de kd puis ; la construction de s du u et du v est plutôt $de\; p\; =\; u\; +\; v\; v^*\; de\; j\; =\; d\text{'}u\; +\; de\; j\; \backslash ,$.

H comme union des plans complexes

Introduction sans cérémonie

Là existe une manière intrigante de comprendre le H qui lie sa structure étroitement à la surface d'une sphère ordinaire du rayon 1. Dans les mathématiques une telle sphère s'appelle une sphère du 2 d'unité pour souligner que seulement sa surface bidimensionnelle est considérée.

La première étape est de traduire les coordonnées de XYZ de la sphère de l'unité 2 en système du même rang d'ijk des quaternions, gardant (la première) valeur scalaire des quaternions réglés à zéro. Par exemple, le <1,0,0> de point de XYZ devient le 0 de quaternion + 1i + 0j + 0k . Depuis le quaternion des longueurs absolues sont calculées in the same way as des rayons de XYZ, les quaternions en résultant de sphère de l'unité 2 également que toutes ont des longueurs absolues (rayons) de 1.

Une propriété moins intuitive des quaternions de sphère de l'unité 2 est que leurs places égalent tout -1. Cela vaut par définition pour les trois haches principales du i , du j , et du k , mais il peut également être vérifié facilement par épreuve pour n'importe quel quaternion arbitraire de sphère de l'unité 2.

Puisqu'une longueur de 1 et une place de -1 sont les propriétés de définition du i , ces quaternions de sphère de l'unité 2 semblent soupçonneusement comme des analogues mathématiques au i . En outre, puisque chaque un tel quaternion a un " ; unused" ; la valeur scalaire s'est associée à elle, une conjecture fascinante devient possible : est-ce que

pour ijk-only indiqué un point sur la sphère de l'unité 2 de quaternion, l'ensemble de tous les quaternions qui peuvent être exprimés comme somme d'un vrai nombre et d'un multiple de ce ijk-only point se comporte comme un plan complexe ?

Légèrement étonnant, la réponse est oui.

C'est-à-dire, le H peut être divisé de telle manière qu'il ressemble à un ensemble infini de plans complexes. Chaque un tel avion a sa propre version unique du i , bien qu'ils tous partagent le même vrai axe (scalaire). En outre, chaque valeur unique du i correspond à et est entièrement définie par un point sur la surface d'une sphère ordinaire d'unité-rayon, de ce fait fournissant un raccordement fort entre la géométrie des sphères ordinaires et les propriétés quadridimensionnelles loin moins intuitives du H . Une fois un point sur la sphère de l'unité 2 a été choisi, il n'y a aucune différence mathématique dans le comportement du sous-ensemble en résultant de H et du concept plus traditionnel d'un plan complexe abstrait simple.

Ainsi les quaternions ne prolongent pas simplement le concept du i juste j de deux au nouveau haches et au k . Ils généralisent le i à un ensemble infini de points qui s'avèrent justement être les mêmes trouvés sur la surface d'une sphère ordinaire d'unité-rayon !

Un profil mathématique plus précis de la façon dont le H peut être interprété comme union des plans complexes est fourni ci-dessous.

Spécifications détaillées

Isomorphisms à l'unité imaginaire

L'ensemble de quaternions de longueur absolue (rayon) 1 a la forme d'une sphère du 3 ou de Hypersphere , qui s'appellent également le ³ du S . Dans ce hypersphere là existe un sous-ensemble de quaternions avec la propriété additionnelle que leurs places sont égales à −1. Ce sous-ensemble a la forme géométrique d'une sphère ordinaire, ou la sphère (² du 2 de S ). Il peut comprendre comme " tridimensionnel ; slice" ; du hypersphere plus grand plus ou moins de la même façon qu'un cercle est un " bidimensionnel ; slice" ; d'une sphère ordinaire. Pour des raisons expliquées ci-dessous, ceci sphère-comme le sous-ensemble de H désigné ici sous le nom du H _i, où l'indice inférieur du i se rapporte à l'unité imaginaire , ou du $\backslash \; racine\; carrée\; \{-\; 1\}$.

Identification des isomorphisms d'imaginaire-unité

L'adhésion dans le H _i peut être spécifiée using la notation réglée . Deux tels essais sont : le $H\_i\; de$

= \ est parti \ {q : q ^2 = -1 \ droit \} = \ est parti \ {q : q^* = - q \ \ mbox {et q^*} \ q = 1 \ droit \}

Des quaternions du H _i peuvent également être identifiés en regardant s'il est vrai tous les deux que leur premier (grandeur scalaire) composant un est zéro, et que leur Bi restant de , cj de , et composants du DK de ont une longueur de 1 s'interprété comme vecteur tridimensionnel : le $H\_i\; de$

= \ est parti \ {q : a = 0 \ \ \ de mbox {et} \ racine carrée {b^2 + c^2 + d^2} = 1) \ droit \} \, \ !

Isomorphisms au plan complexe

Un dispositif notable du H _i est que chaque $i\_r\; d\text{'}élément\; \backslash \; dans\; H\_i$ peut être employé pour définir un sous-ensemble de H (l'ensemble complet de tous les quaternions) qui se comporte identiquement au plan complexe . C'est-à-dire, pour chaque $i\_r\; d\text{'}élément\; \backslash \; dans\; H\_i$ là existe un C _r de sous-ensemble de l'ensemble complet du H de quaternions qui est le isomorphe au plan complexe. le $C\_r\; de$

= \ est parti \ {c_r : c_r = a_r + b_r i_r \ \ mbox {et} \ a_r, b_r \ dans R \ droit \} \, \ !

C'est la raison pour l'usage du souscrit i pour marquer le H _i d'ensemble.

Quaternions en tant que nombres complexes isomorphes

L'union des plans complexes produits par tous les éléments du H _i est l'ensemble de tout le H de quaternions. Ceci signifie que n'importe quel quaternion peut être exprimé comme nombre complexe isomorphe dont l'unité imaginaire est associée à un point sur la sphère d'unité ordinaire.

C'est-à-dire, donné un de quaternion q = a + Bi + cj + le DK , l'unité imaginaire isomorphe correspondante peuvent être calculés en normalisant la partie d'ijk (seulement) du quaternion : = de $b\_r\; de$

\|r \| = \ racine carrée {b^2 + c^2 + d^2} $i\_r\; de$

= \ = du frac {Bi + cj + DK} {b_r} \ frac {Bi + cj + DK} {\|r \|}

Le équivalent isomorphe q_r de nombre complexe du original q de quaternion devient alors : $q\_r\; de$

= a + i_r de b_r = a + \|r \| i_r

La formule d'Euler

En plus, depuis le point général sur un cercle comme donné par la formule d'Euler de : = de $e^\; de$

{\ thêta i} \ cos {(\ thêta)} + I \ péché {(\ thêta)} \, \ !

Le point général sur la sphère 3 de tous les quaternions d'unité-longueur est : = de $e^\; de$

{\ i_r de thêta} \ cos {(\ thêta)} + i_r \ péché {(\ thêta)} \, \ !

Where  ;   ; $i\_r\; \backslash \; dans\; H\_i\; \backslash ,\; \; de$ ;   ; and  ;   ; = de $\backslash \; péché\; (\backslash \; thêta)\; \backslash \; frac\; \{\backslash |\; r\; \backslash |\}\; \{\backslash |\; q\; \backslash |\}$  ;   ;.

Subrings commutatifs

En conclusion, le rapport des quaternions entre eux dans des subplanes du i _r du H peut également être identifié et exprimé en termes de commutatif du Subrings spécifiquement, depuis le p de deux quaternions et le q permuter (le p q = q p ) seulement s'ils se situent dans le même subplane complexe du i _r du H , le profil du H comme une union des plans complexes surgit quand on cherche à trouver tout le commutatif Subrings du de l'anneau de quaternion. Les algèbres et les groupes classiques (Cambridge, 1995) de Clifford de de livre d'Ian R. Porteous décrit cette dérivation dans la proposition 8.

Fonctions d'une variable de quaternion

Des fonctions d'une variable complexe peuvent être prolongées aux fonctions d'une variable de quaternion comme suit :

Laisser la fonction complexe être écrit $f\; de$

(z) = u (x, y) + I \ v (x, y) \, \ !

là où le u et le v sont des fonctions à valeurs réelles de deux vraies variables. Selon le profil ci-dessus, n'importe quel quaternion peut être écrit le $q\; de\; =,\; d\text{'}a\; +\; de\; b\; \backslash \; r\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; r^\; \{2\}\; =\; -1\; \backslash$. Alors la prolongation est donnée par le $f\; (q)\; =\; u\; (a,\; b)\; +\; r\; \backslash \; v\; (a,\; b)\; \backslash ,\; \backslash \; !$.

Ceci s'appelle la méthode de Fueter.

Groupes tridimensionnels et quadridimensionnels de rotation

Comme est expliqué en plus détail dans le Quaternions et la rotation spatiale , le groupe multiplicatif de quaternions différents de zéro agit par conjugaison sur la copie des quaternions se composants de ³ du R avec la partie réelle égale à zéro. La conjugaison par un quaternion d'unité (un quaternion de valeur 1 absolue) avec la partie réelle cos ( t ) est une rotation par un t , l'axe de l'angle 2 de la rotation étant la direction de la cloison imaginaire. Les avantages des quaternions sont :

non singulier de représentation de

(comparée au Euler pêche par exemple) Davantage contrat (et plus rapide) que le

des matrices Les paires de quaternions d'unité représentent une rotation dans l'espace du 4D . Voir le du lemme de Wikipedia AINSI (4) , en particulier le " de section ; Algèbre du rotations" 4D ;.

L'ensemble de tous les quaternions d'unité constitue un ³ à trois dimensions et un groupe (un groupe de Lie ) du S de la sphère de sous la multiplication. Le ³ du S est la couverture de double de du AINSI (3, R ) de groupe de vrai 3× orthogonal ; 3 matrices déterminant 1 puisque les quaternions d'unité du deux correspondent à chaque rotation sous la correspondance ci-dessus.

voient également : Groupes de point de dans trois le

s dimensions#Spin_analogs L'image d'un sous-groupe de ³ du S est un groupe de point de , et réciproquement, le preimage d'un groupe de point est un sous-groupe de ³ du S . Le preimage d'un groupe fini de point s'appelle par le même nom, avec le binaire de préfixe. Par exemple, le preimage du groupe icosaèdre est le groupe icosaèdre binaire .

Le ³ du S de groupe est isomorphe au SU (2), le groupe de complexe unitaire 2× ; 2 matrices déterminant 1. Laisser le A être l'ensemble de quaternions du de forme + Bi de + cj de + DK où le un , le b , le c et le d sont tous les nombres entiers ou tous les nombres raisonnables avec le numérateur et le dénominateur impairs 2. Le A d'ensemble est un anneau et un trellis . Il y a 24 quaternions d'unité en cet anneau, et ils sont les sommets d'un polytope régulier de cellules du 24 avec le symbole {3.

Généralisations

voient également :

l'algèbre de Quaternion de

Si le F est n'importe quel champ avec la caractéristique différente de 2, et le un et le b sont des éléments du F , on peut définir une algèbre associative unitaire quadridimensionnel au-dessus du F avec la base 1, du i , du j , et de l'ij de , où ² du i = un , ² du j = b et ij de = &minus ; ji (ainsi ² de d'ij de = - ab ). Ces algèbres s'appellent les algèbres de quaternion de et sont isomorphes à l'algèbre de 2× ; 2 matrices au-dessus du F ou des algèbres de Division de de forme au-dessus du F , selon le choix du un et du b .

Histoire

Quaternions ont été présentés par monsieur irlandais William Rowan Hamilton de mathématicien du en 1843. Hamilton recherchait des manières de prolonger les nombres complexes (qui de peuvent être regardés pendant que le dirige sur un avion ) à des dimensions spatiales plus élevées. Il ne pourrait pas faire ainsi pour 3 dimensions, mais 4 dimensions produisent des quaternions. Selon l'histoire Hamilton dit, le 16 octobre, il marchait dehors le long du canal royal dans le Dublin avec son épouse quand la solution sous forme d'équation

$i^2\; =\; j^2\; =\; k^2\; =\; ijk\; =\; -1\; \backslash ,$

soudainement produit à lui ; Hamilton alors a promptement découpé cette équation dans le côté du pont voisin de Brougham (maintenant appelé le pont en balai de ). Ceci a impliqué d'abandonner la loi commutative, une étape radicale pendant le temps. L'algèbre et les matrices de vecteur ont eu pour être développées encore.

Non seulement ceci, mais Hamilton dans une certaine mesure avait inventé la croix et les produits scalaires de l'algèbre de vecteur. Hamilton a également décrit un quaternion en tant que quadruple commandé (4-tuple) de vrais nombres, et décrit la première coordonnée comme partie « scalaire », et les autres trois comme cloison de « vecteur ». Si deux quaternions avec les pièces scalaires zéro sont multipliés, la partie scalaire du produit est le négatif du produit scalaire des pièces de vecteur, alors que la pièce de vecteur du produit est le produit en travers . Mais la signification de ces derniers devait toujours être découverte. Hamilton a procédé populariser des quaternions avec plusieurs livres, le bout dont, les éléments de de Quaternions , ont eu 800 pages et ont été édités peu de temps après sa mort.

Employer la polémique

Même à cette heure il y avait polémique au sujet de l'utilisation des quaternions. Certains des défenseurs de Hamilton, comme le Cargill Gilston Knott , se sont en vociférant opposés aux champs croissants de l'algèbre de vecteur et du calcul de vecteur de (développé par Oliver Heaviside et Willard Gibbs notamment), maintenant que les quaternions ont fourni une notation supérieure. Tandis que c'est discutable dans trois et quatre dimensions, des quaternions ne peuvent pas être directement appliqués dans des dimensions plus élevées (bien que les prolongements comme le Octonions et les algèbres de Clifford de peuvent s'appliquer). Diriger la notation avait presque universellement remplacé des quaternions en la Science et technologie par le siècle de mid-20th.

Quelques formulations tôt des équations de Maxwell de ont employé une notation quaternion-basée (le Maxwell a appareillé sa formulation dans 20 équations dans 20 variables avec une représentation 1873 de quaternion), mais elle a prouvé inpopulaire comparé au vecteur - notation basée de de Heaviside. (Les diverses notations étaient, naturellement, mathématiquement équivalent, la différence étant une question de l'esthétique et de la convenance.)

Années récentes

Quaternions sont employé souvent dans les infographies (et l'analyse géométrique associée) pour représenter des rotations (voir le Quaternions et la rotation spatiale ) et des orientations des objets dans l'espace tridimensionnel du . Certaines fractales peuvent tracer dans des coordonnées de quaternion. Elles sont plus petites que d'autres représentations telles que des matrices, et des opérations sur elles telles que la composition peuvent être calculées plus efficacement. Quaternions voient également l'utilisation dans la théorie de commande , le traitement des signaux , le pilotage , la physique , la bio-informatique de (voir : Déviation de moyenne carrée de racine de (bio-informatique) ), et mécanique orbitale , principalement pour représenter des rotations/orientations dans trois dimensions. Par exemple, il est commun pour que les systèmes d'attitude-commande de vaisseau spatial soient commandés en termes de quaternions, qui sont également employés pour télémétrer leur attitude courante. Le raisonnement est cela qui combine beaucoup de transformations de quaternion est plus numériquement stable que combinant beaucoup de transformations de matrice. Il y a également moins de frais généraux en employant des quaternions comparés à employer des matrices de rotation, parce qu'un quaternion a seulement quatre composants au lieu de neuf, ainsi les algorithmes de multiplication pour combiner des rotations successives sont plus rapides, et il est beaucoup plus facile renormalize le résultat après.

Depuis 1989, le département des mathématiques de l'université nationale de de l'Irlande, Maynooth a organisé un pélerinage, où les scientifiques ( y compris Murray Gell-Mann de physiciens en 2002 et Steven Weinberg en 2005 et Wiles d'Andrew de de mathématicien en 2003) font un tour de l'observatoire de Dunsink de au pont royal en canal où, malheureusement, aucune trace du découpage de Hamilton ne demeure.

Citations

" ; Je considère lui comme inelegance, ou l'imperfection, dans les quaternions, ou plutôt dans l'état auquel elle a été jusqu'ici dévoilée, toutes les fois qu'il devient ou semble devenir nécessaire d'avoir recours à x, à y, à z, etc." ; &mdash ; Sorbe Hamilton (ed de William de . Cité dans une lettre de Tait à Cayley.)
" ; L'heure est dite d'avoir seulement une dimension, et espace pour avoir trois dimensions. Le quaternion mathématique participe à ces deux éléments ; dans la langue technique il peut dire d'être " ; temps plus le space" ; , ou " ; l'espace plus le time" ; : et dans ce sens il a, ou implique au moins une référence à, quatre dimensions. Et comment celui de période, de l'espace les trois, pourrait dans la chaîne de be." ceint par symboles ; &mdash ; Sorbe Hamilton de William (cité dans des tombes de R., " ; La vie de monsieur William Rowan Hamilton" ;)
" ; Quaternions est venu de Hamilton après que son travail vraiment bon ait été effectué ; et, bien qu'admirablement ingénieux, ont été un mal pur à ceux qui les ont touchées de quelque façon, y compris le commis Maxwell . " ; &mdash ; Seigneur Kelvin , 1892 de .
" ; Ni des matrices ni les quaternions et les vecteurs ordinaires n'ont été bannis de ces dix chapitres. Pour, malgré la puissance incontestée du calcul moderne de tenseur, ces langues mathématiques plus anciennes continuent, à mon avis, à offrir des avantages remarquables dans le domaine restreint de la relativité spéciale. D'ailleurs, en science aussi bien que dans la vie quotidienne, la maîtrise de plus d'une langue est également précieuse, car elle élargit nos vues, favorise la critique en ce qui concerne, et garde contre hypostasy de, la matière exprimée par des mots ou symbols." mathématique ; &mdash ; Ludwik Silberstein , préparant la deuxième édition de sa théorie de de la relativité en 1924
" ; … les quaternions semblent exsuder un air de l'affaiblissement du 19ème siècle , en tant qu'espèces plutôt non réussies d'un dans la lutter-pour-vie des idées mathématiques. Les mathématiciens, évidemment, subsistance immobile un endroit chaud à leurs coeurs pour les propriétés algébriques remarquables des quaternions mais, hélas, tant d'enthousiasme veut dire peu au scientist." physique dur-dirigé ; &mdash ; Simon L. Altmann , 1986

Quaternions dans la fiction

" ; … la chose au sujet d'un Quaternion « est » est que nous sommes obligés de le rencontrer sous plus d'une apparence. Comme quotient de vecteur. Comme manière de tracer des nombres complexes le long de trois haches au lieu de deux. Comme liste d'instructions pour transformer un vecteur en des autres . Et considéré subjectivement, comme acte de devenir plus long ou plus court, tout en en même temps tournant, parmi les haches dont le vecteur d'unité n'est pas le familier et consolation de « un » mais parmi la racine carrée de tout à fait terrifiant du minus un . Si le vous étaient un vecteur, mademoiselle, vous commenceriez dans le « vrai » monde, changez votre longueur, entrez dans un système « imaginaire » de référence, tournez jusqu'à trois manières différentes, et retournez à la « réalité » une nouvelle personne. Ou " de vecteur . ; &mdash ; Thomas Pynchon , dans le contre le jour , 2006, P. 534, une conversation fictive , surprise par sa traversée de kit de des caractères fictifs et Umeki Tsurigane , à une réunion fictive de " ; Quaternionnaires de autour du globe" ; , à Ostende, en Belgique en ou autour de l'année 1905.

Voir également

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Articles et ressources externes

Livres et publications

Hamilton, sorbe (1853), " de William ; Conférences de sur le " de Quaternions ;. Académie irlandaise royale.
Tait, Peter Guthrie (1873), " ; un traité élémentaire sur le " des quaternions ;., Cambridge : La presse d'université.
Maxwell, commis de James (1873), " ; un traité sur le " de l'électricité et du magnétisme ;. Presse de Clarendon, Oxford.
Tait, Peter Guthrie (1886), " ; " de Quaternion de ;. Encyclopédie Britannica , neuvième édition, 1886, vol. (dossier bzipped de post-scriptum )
Joly, Charles Jasper (1905), " ; Manuel du A de " des quaternions ;. Londres, Macmillan et Cie., limités ; New York, la compagnie de Macmillan. LCCN 05036137 //r84
Macfarlane, Alexandre (1906), " ; Analyse de vecteur de et " des quaternions ; , 4ème ed. Wiley et fils ; etc… LCCN es 16000048
encyclopédie 1911 : " ; " de Quaternion de ;.
Finkelstein, David, Josef M. Jauch, Samuel Schiminovich, et David Speiser (1962), " ; Bases de de " de la mécanique quantique de quaternion ;. 3, pp207-220, MathSciNet.
Du Val, Patrick (1964), " ; Homographies de , quaternions, et " des rotations ;. Oxford, presse de Clarendon (monographies mathématiques d'Oxford). LCCN 64056979 //r81
Crowe, Michael J. (1967), " ; une histoire d'analyse de vecteur : L'évolution de l'idée d'un " vectoriel du système ;. Université de presse de Notre Dame. Examine les systèmes principaux et mineurs de vecteur du 19ème siècle (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, MacFarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside). La concurrence entre les quaternions et d'autres systèmes est un thème important.
Altmann, Simon L. (1986), " ; Rotations de , quaternions, et " des doubles groupes ;. Oxford : Presse de Clarendon ; New York : Presse d'Université d'Oxford. ISBN 0-19-855372-2 DE LCCN 85013615
Adler, Stephen L. (1995), " ; " de la mécanique quantique de Quaternionic de et des champs de quantum ;. New York : Presse d'Université d'Oxford. Série internationale de monographies sur la physique (Oxford, Angleterre) 88. ISBN 0-19-506643-X de LCCN 94006306
Salle, J. (1997), " ; Quaternions et nombres de Cayley : " d'algèbre et d'applications ; , Éditeurs d'universitaire de Kluwer. ISBN 0-7923-4513-4
Gürlebeck, Klaus et Sprössig, Wolfgang (1997), " ; Quaternionic et calcul de Clifford pour le " de physiciens et d'ingénieurs ;. Chichester ; New York : Wiley (méthodes mathématiques dans la pratique ; v. ISBN 0-471-96200-7 DE LCCN 98169958
Kuipers, Jack (2002), " ; Quaternions et ordres de rotation : Une amorce avec des applications au " d'orbites, d'espace, et de réalité virtuelle ; (édition de réimpression), presse d'Université de Princeton de . ISBN 0-691-10298-8
Conway, John Horton , et Smith, Derek A. (2003), " ; sur Quaternions et Octonions : Leur " de la géométrie, d'arithmétique, et de symétrie ; , ISBN 1-56881-134-9 (revue) d'A.
Kravchenko, Vladislav (2003), " ; " appliqué de l'analyse de Quaternionic de ; , ISBN 3-88538-228-8 de Heldermann Verlag.
Hanson, Andrew J. (2006), " ; visualisant le " de Quaternions ; , Elsevier : Morgan Kaufmann ; San Francisco. ISBN 0-12-088400-3

Liens et monographies

FAQ v1.21 de Matrix et de Quaternion a fréquemment posé des questions
La documentation géométrique d'outils inclut plusieurs articles se concentrant sur des applications d'infographies des quaternions. Couvre des techniques utiles telles que l'interpolation linéaire sphérique.
Patrick-Gilles Maillot code source fournit libre de Fortran et de C pour les quaternions et les rotations de manipulation/position dans l'espace. Inclut également le fond mathématique sur des quaternions.
Les outils géométriques que le code source inclut le code source libre de C++ pour une classe complète de quaternion appropriée aux infographies fonctionnent, sous un permis très libéral.
Faire la physique avec Quaternions
Quaternions pour les infographies et la mécanique (Gernot Hoffman)
L'héritage physique de monsieur W. Hamilton (pdf)
La recherche de Hamilton sur Quaternions
Fractales de Julia de des fractales 3D Raytraced Quaternion de Quaternion Julia par David J. Grossman
Page de maths et de conversions de Quaternion grande expliquant des maths de base avec des liens aux formules franches de conversion de rotation. Mathews, bibliographie pour Quaternions.
Puissances de Quaternion sur GameDev.net
Andrew Hanson, page d'accueil de visualisation de Quaternions.
Représentation de l'attitude avec des angles et Quaternions d'Euler : Une référence, un rapport technique et une boîte à outils de Matlab récapitulant toutes les représentations communes d'attitude, avec des équations et la discussion détaillées sur des dispositifs de diverses méthodes. Mebius, A matrice-a basé la preuve du théorème de représentation de quaternion pour des rotations quadridimensionnelles., les mathématiques générales 2005 d'arXiv de . Mebius, dérivation de la formule d'Euler-Rodrigues pour des rotations tridimensionnelles de la formule générale pour des rotations quadridimensionnelles., mathématiques générales 2007 d'arXiv de .
Département du NUI Maynooth des mathématiques, promenade de Hamilton.
OpenGL : Cours d'instruction : Using Quaternions pour représenter la rotation
D. Erickson, dérivation de matrice de rotation de représentation unitaire de quaternion en vieux papier :

Logiciel

Le pro A GUI libre d'Euler Quaternion a basé l'utilité qui convertit des angles d'Euler avec Quaternions autour de l'axe de X, de Y et de Z (pain, lancement et lacet) et exécute le conjugé, addition, soustraction, la multiplication, opérations d'interpolation de grand cercle sur Quaternions converti.
Calculatrice de Quaternion * Boîte à outils de Quaternion pour Matlab
Soutien de bibliothèque de poussée de Quaternions dans C++

Zh-classique : 四元數 .

Random links:

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