Quantification

La quantification a deux significations distinctes.

Dans les mathématiques et la science empirique , il se rapporte à des actes humains, connus sous le nom de comptant et le mesurant qui tracent les observations humaines de sens et les expériences dans les membres d'un certain réglé de la quantification des nombres dans ce sens est fondamental à la méthode scientifique .

Dans la logique , la quantification se rapporte à un opérateur qui lie un variable s'étendant au-dessus d'un domaine de du discours . La variable devient de ce fait le attaché. L'examen scolaire de la quantification se réfère plus souvent à cette signification de la limite que précédente.

La Science

Une certaine mesure d'importance générale incontestée de la quantification en sciences normales peut être glanée des commentaires suivants : le ceux-ci sont de seuls faits, mais ils sont des faits quantitatifs et la base de la science. elle semble être tenue comme universellement vraie que le la base de la quantification est mesure. il n'est guère douteux que la quantification de a constitué une base pour l'objectivité de la science. dans antique les temps, les musiciens de et les artistes… ont rejeté la quantification, mais les négociants, par définition, ont mesuré leurs affaires, afin de survivre, faites leur évidentes sur le parchemin et papier. n'importe quelle comparaison raisonnable de entre Aristote et Galilée prouve clairement qu'il ne peut y avoir aucune légalité unique découverte sans quantification détaillée. même aujourd'hui, les instruments imparfaits d'utilisation d'universités de appelés les « examens » pour mesurer indirectement quelque chose ils appellent la connaissance. cette signification de quantification relève du titre de la pragmatique .

Logique

Plus spécifiquement, dans la langue et la logique , la quantification est une construction qui spécifie la quantité de d'individus du domaine de du discours qui s'appliquent (ou satisfaire) à une formule ouverte. Par exemple, dans l'arithmétique, elle permet l'expression du rapport que chaque nombre normal a un successeur, et dans la logique, que quelque chose (au moins une chose) dans le domaine du discours a une certaine propriété, c., là des choses de exist avec cette propriété dans le domaine. Un élément de langue qui produit d'une quantification s'appelle un quantifier . L'expression en résultant est une expression mesurée, et nous disons que nous avons mesuré au-dessus de l'expression d'attribut ou de fonction dont la variable libre est le attaché par le quantifier. La quantification est employée dans les langages naturels et les exemples des langages formels des quantifiers dans un de langage naturel sont : pour tout le , pour un certain , beaucoup de , peu de , beaucoup , et aucun . Dans des langages formels, la quantification est un constructeur de formule qui produit de nouvelles formules à partir les vieilles. La sémantique de la langue spécifie comment le constructeur est interprété comme ampleur de validité. La quantification est un exemple d'une opération variable-contraignante.

Les deux genres fondamentaux de quantification dans la logique d'attribut sont la quantification universelle et la quantification existentielle . Ces concepts sont couverts en détail en leurs différents articles ; ici nous discutons les dispositifs de la quantification qui s'appliquent dans les deux cas. D'autres genres de quantification incluent la quantification d'unicité de .

Le symbole traditionnel pour le " universel de quantifier ; all" ; est le " ; ∀" ; , un " inversé de lettre ; " du A ; , et pour le " de quantifier existentiel ; exists" ; est le " ; ∃" ; , un " tourné de lettre ; " du E ;. Ces quantifiers ont été commencement généralisé avec le travail de Mostowski et Lindström. Voir le quantifier généralisé par et le quantifier de Lindström de pour d'autres détails.

De langage naturel

Toutes les langues humaines connues se servent de la quantification, même langues sans véritable système de numération (Wiese 2004). Par exemple, en anglais :
Le chaque verre dans mon ordre récent était ébréché.
Le certaines des personnes se tenant à travers le fleuve ont les brassards blancs .
Le la plupart des personnes que j'ai parlées n'a pas eu un indice que les candidats étaient .
Le chacun dans la salle d'attente a eu au moins une plainte contre Dr.
Le là était quelqu'un dans sa classe qui pouvait répondre correctement à chacune des questions que j'ai soumis .
Le beaucoup de personnes sont futé.

Là existe aucune manière simple de reformuler des n'importe quelles de ces expressions comme conjonction ou disjonction des phrases, chaque un attribut simple d'un individu tel que le que le verre de vin était ébréché. Ces exemples suggèrent également que la construction des expressions mesurées dans de langage naturel puisse être syntactiquement très compliquée. Heureusement, pour des affirmations mathématiques, le processus de quantification est syntactiquement plus franc.

L'étude de la quantification dans des langages naturels est beaucoup plus difficile que le problème correspondant pour des langages formels. Ceci vient en partie du fait que la structure grammaticale des phrases de langage naturel peut cacher la structure logique. D'ailleurs, les conventions mathématiques spécifient strictement la gamme de la validité pour des quantifiers de langage formel ; pour de langage naturel, la spécification de la gamme de la validité exige traiter des problèmes sémantiques non triviaux.

La grammaire de Montague de donne une sémantique formelle originale des langages naturels. Ses partisans arguent du fait qu'elle fournit un rendu formel beaucoup plus normal de langage naturel que les traitements traditionnels du Frege , du Russell et du Quine .

Mathématiques

Nous commencerons en discutant la quantification dans le discours mathématique sans cérémonie. Considérer le
suivant 1 de
de rapport·2 = 1 + 1, et 2·2 = 2 + 2, et 3 · 2 = 3 + 3,…., et n · 2 = n + n , etc. Ceci a l'aspect d'une conjonction infinie de des propositions. Du point de vue des langages formels c'est immédiatement un problème, puisque nous nous attendons à ce que les règles de la syntaxe produisent des objets finis du . En mettant de côté cette objection, noter également que dans cet exemple que nous étions chanceux dans celui il y a un procédé pour produire de toutes les propositions conjointes. Cependant, si nous voulions affirmer quelque chose au sujet de chaque nombre irrationnel , nous n'aurions aucune manière énumérant toutes les propositions conjointes puisque des irrationals ne peuvent pas être énumérés. Une formulation succincte qui évite ces problèmes emploie la quantification universelle : pour tout n , n du nombre normal ·2 = n + n . Une analyse semblable s'applique à la disjonction , le
1 de
est le principal, ou 2 est principal, ou 3 est principal, etc. ce qui peut être reformulé using la quantification existentielle : le pour un certain n , le n du nombre normal est principal.

Il est possible de concevoir les algèbres abstraites dont les modèles inclure les langages formels avec la quantification, mais le progrès a été lent et l'intérêt pour une telle algèbre a été limité. Trois approches ont été conçues jusqu'ici :
Algèbre de relation de , inventée par le DeMorgan , et développée par le Ernst Schroder , le Tarski , et les étudiants de Tarski. L'algèbre de relation ne peut représenter aucune formule avec des quantifiers a niché plus de trois profonds. Étonnant, les modèles de l'algèbre de relation incluent le axiomatique ZFC de la théorie des ensembles et le Peano arithmétique ;
Algèbre cylindrique , conçue par le Tarski , le Henkin , et d'autres ;
L'algèbre polyadique du Paul Halmos .

Syntaxe

La quantification dans le les langages naturels formels de et de tombe sous la syntaxe et la sémantique .

Notation

Le symbole traditionnel pour le quantifier universel est " ; ∀" ; , un " inversé de lettre ; " du A ; , qui représente le " de mot ; all" ;. Le symbole correspondant pour le quantifier existentiel est " ; ∃" ; , un " tourné de lettre ; " du E ; , qui représente le " de mot ; exists" ;. Également, mesuré expression sont construit comme suit,

\ existe {x} \, P \ quadruple \ forall {} de x \, P

là où " ; " du P ; dénote une formule. Beaucoup variable notation sont utilisé, comme

(\ existe {x}) P \ quadruple (\ existe x \. \ P) \ quadruple (\ existe x : P) \ quadruple \ existe {x} (p) \ quadruple \ exists_ {x} \, P \ quadruple \ existe {x} {,} \, P \ quadruple \ existe {x} {\ dedans} \ mathbb {} de N \, P \ quadruple \ existe \, x {:}\ mathbb {} de N \, P

Toutes ces variations s'appliquent également à la quantification universelle. D'autres variations pour le quantifier universel sont

(x) de \, P \ quadruple \ bigwedge_ {x} P

Noter que quelques versions de la notation mentionnent explicitement la gamme de la quantification. La gamme de la quantification doit toujours être spécifiée, mais pour une théorie mathématique donnée, ceci peut être fait de plusieurs manières :
Assumer un domaine fixe du discours pour chaque quantification, comme est fait dans la théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel,
Fixer plusieurs domaines du discours à l'avance et exiger que chacun variable a un domaine avoué, qui est le type cette variable. C'est analogue à la situation dans des langues statiquement dactylographiées de la programmation par ordinateur de du , où les variables ont déclaré des types.
Mentionner explicitement la gamme de la quantification, peut-être using un symbole pour le réglé de tous les objets dans ce domaine ou le type des objets dans ce domaine.

Noter également qu'on peut employer la variable comme variable mesurée au lieu de tout autre, sous certaines restrictions, qui est dans quelle capture variable de ne se produit pas. Même si la notation emploie des variables dactylographiées, on peut encore employer n'importe quelle variable de ce type. La question de la capture variable de est excessivement importante, et nous discutons cela dans la sémantique formelle ci-dessous.

Officieusement, le " ; " du X de ∀ ; ou " ; " du X de ∃ ; pourrait bien apparaître après le P ( X ), ou même au milieu si le P ( X ) est une longue expression. Formellement, cependant, l'expression qui présente la variable factice est standard placée dans l'avant. Voir également en haut.

Noter que les formules mathématiques mélangent des expressions symboliques pour des quantifiers, avec des quantifiers de langage naturel tels que le pour n'importe quel X de nombre normal,…. Le
là existe un X tel que….
pour au moins un X . Les mots-clés pour la quantification d'unicité de incluent : pour exactement un X de nombre normal,…. Le
là est un et seulement un X tel que…. On pourrait même éviter des noms variables tels que le X using un pronom . Par exemple, le pour tout nombre normal, son produit avec 2 égales à sa somme avec lui-même
un certain nombre normal est principal.

Emboîtement

Considérer le rapport suivant : pour tout n de nombre normal, il y a un s de nombre normal tels que le s = × du n ; n . C'est clairement vrai ; il affirme juste que chaque nombre normal a une place.

La signification de l'affirmation dans laquelle les quantifiers sont tournés autour est très différente : le il y a un s de nombre normal tels que pour n'importe quel n , le s de nombre normal = × du n ; n . C'est clairement faux ; il affirme qu'il y a un simple s de nombre normal qui est immédiatement à angle droit de chaque nombre normal de .

Ceci illustre fondamentalement un aspect important quand des quantifiers sont nichés : L'ordre de l'alternance des quantifiers est d'importance absolue.

Un exemple moins insignifiant est le concept important de la continuité uniforme de l'analyse , qui diffère du concept plus familier de la continuité de pointwise de seulement par un échange des positions de deux quantifiers. Pour illustrer ceci, laisser le f être une fonction à valeurs réelles sur le R .

A : Continuité de Pointwise du f sur le R : de
, de $\ underbrace de {\ forall X \ dans \ mathbb {R}, \ \ forall \ >0 epsilon} \ existe \ delta > 0, \ forall h \ dans \, du mathbb {R} \ quadruple |h| < \ delta \ implique |f (x) - f (x+h)| < \$ epsilon

échangeant les quantifiers universels au-dessus des croisillons, c'est identique que le
continuité d'A': Pointwise du f sur le R : de
$de \ forall \ >0 epsilon, \ \ underbrace {\ forall X \ dans \, du mathbb {R} \ existe \ delta > 0}, \ \ forall h \ dans \, du mathbb {R} \ quadruple |h| < \ delta \ implique |f (x) - f (x+h)| < \$ epsilon

Ceci diffère du
B : Continuité uniforme du f sur le R : de
$de \ forall \ >0 epsilon, \, d'underbrace {\ existe \ delta > 0, \ forall X \ dans \ mathbb {R}} \ forall h \ dans \, du mathbb {R} \ quadruple |h| < \ delta \ implique |f (x) - f (x+h)| < \$ epsilon en échangeant les quantifiers existentiels et universels au-dessus des croisillons dans A'.

L'ambiguïté est évitée en mettant les quantifiers (dans les symboles ou les mots) dans l'avant :
$\ exists$ A : $\ forall$ B : C - non ambigu
il y a A tels que le $\ forall$ B : C - non ambigu
il y a A tels que pour tout le B, C - non ambigu, à condition que la séparation entre B et C soit claire
il y a A tels que C pour tout le B - il est souvent clair que ce qui est signifié est le de
il y a A tels que (C pour tout le B)
mais lui de pourrait être interprété comme (il y a A tels que C) pour tout le
B il y a A tels que le $de C \ forall$ B - suggère plus fortement que le premier soit signifié ; ceci peut être renforcé par la disposition, par exemple en mettant le " ; $de C \ forall$ B" ; sur une nouvelle ligne.

Voir également ci-dessous.

Gamme de quantification

Chaque quantification implique un variable spécifique et un domaine de du discours ou la gamme de de la quantification de cette variable. La gamme de la quantification spécifie l'ensemble de valeurs que la variable prend. Dans les exemples ci-dessus, la gamme de la quantification est l'ensemble de nombres normaux. Les spécifications de la gamme de la quantification nous permettent d'exprimer la différence entre, affirmant qu'un attribut se tient pour un certain nombre normal ou pour un certain vrai nombre . Les conventions expositoires réservent souvent certains noms variables tels que le " ; " du n ; pour les nombres normaux et le " ; " du X ; pour de vrais nombres, bien que compter exclusivement sur des conventions de nomination ne peut pas fonctionner en général puisque les gammes des variables peuvent changer au cours d'un argument mathématique.

Une manière plus normale de limiter le domaine du discours emploie la quantification gardée par . Par exemple, le
gardé de
de quantification pour un certain n , le n de nombre normal est même et le n est principal signifie le pour un certain n , le n du chiffre pair est principal.

Dans quelques théories mathématiques on assume un domaine simple de le discours a fixé à l'avance. Par exemple, dans la théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel , les variables s'étendent au-dessus de tous les ensembles dans ce cas-ci, des quantifiers gardés peuvent être employées pour imiter une plus petite gamme de quantification. Ainsi dans l'exemple au-dessus de pour exprimer le pour tout n , n de nombre normal ·2 = n + n dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, on peut indiquer le pour n'importe quel n , si le n appartient au N , puis le n ·2 = n + n , là où le N est l'ensemble de tous les nombres normaux.

Sémantique formelle

La sémantique mathématique est l'application des mathématiques pour étudier la signification des expressions dans un formel - c., mathématiquement spécifier-langue. Elle a trois éléments : Des spécifications mathématiques d'une classe des objets par l'intermédiaire de la syntaxe , des spécifications mathématiques des domaines sémantiques de divers et la relation entre les deux, qui est habituellement exprimée comme fonction des objets syntactiques à les sémantiques. En cet article, nous abordons seulement l'issue de la façon dont des éléments de quantifier sont interprétés.

Dans cette section nous considérons seulement le la logique de premier ordre avec des symboles de fonction. Nous renvoyons le lecteur à l'article sur la théorie des modèles pour plus d'information sur l'interprétation des formules dans ce cadre logique. La syntaxe d'une formule peut être donnée par un arbre de syntaxe. Les Quantifiers ont la portée et un variable X est libèrent s'il n'est pas dans la portée d'une quantification pour cette variable. Ainsi dans

$\ forall X (\ existe y B (x, y)) \ vé C (y, x)$ l'occurrence du X et du y dans le C ( y , X ) est libre.

Une interprétation pour le calcul d'attribut de premier ordre suppose comme donné un domaine du X d'individus. Les variables libres du A un de formule dont sont le X ₁,…, le X _n est interprété comme a booléen - F ( v ₁ de fonction évaluée,…, n de _{du v ) des arguments du n , où chaque argument s'étend au-dessus du X de domaine. Booléen-évalué signifie que la fonction assume un du T de valeurs (interprété comme vérité) ou de F (interprété comme fausseté). L'interprétation du x_n A (x_1, \ ldots, x_n) de $\ forall de de formule$ est le G de fonction des arguments du n -1 tels que le G ( v ₁,…, n -1} de _{de v ) = le T si et seulement si le F ( v ₁,…, n -1} de _{de v , W ) = le T pour chaque W dans le X . Si F ( v ₁,…, n -1} de _{de v , W ) = F pour au moins une valeur du W , puis G ( v ₁,…, n -1} de _{de v ) = F . De même l'interprétation du $de de formule \ existe le x_n A (x_1, \ ldots, x_n)$ est le H de fonction des arguments du n -1 tels que le H ( v ₁,…, n -1} de _{de v ) = le T si et seulement si le F ( v ₁,…, n -1} de _{de v , W ) = le T pour au moins un W et H ( v ₁,…, n -1} de _{de v ) = le F autrement.}

La sémantique pour la quantification d'unicité de exige le calcul d'attribut de premier ordre avec l'égalité. Ceci signifie qu'on donne un " deux-placé distingué d'attribut ; =" ; ; la sémantique est également modifiée en conséquence de sorte que " ; =" ; est toujours interprété comme relation d'égalité de deux-endroit sur le X . L'interprétation du $de \ existe ! x_n A (x_1, \ ldots, x_n)$ alors est la fonction des arguments du n -1, qui est le logique et des interprétations du $\ forall y, z \ est partie \ {A (x_1, \ ldots, x_ {n-1}, y) \ cale A (x_1, \ ldots, le x_ {n-1}, z) \ implique y = z \ droit \}$

Quantifiers de Paucal, multal et autre de degré

Jusqu'ici nous avons seulement considéré quantification universelle, existentielle et d'unicité comme utilisée dans les mathématiques. Aucune de ceci ne s'applique à une quantification comme

là étaient beaucoup de danseurs dehors sur la piste de danse cette soirée.

Bien que cet article ne traite pas la sémantique de langage naturel, nous essayerons de fournir une sémantique pour des affirmations dans un langage formel du type

là sont le n de beaucoup de nombres entiers < 100, tels que le n est divisible par 2 ou 3 ou 5.

Un mécanisme possible d'interprétation peut obtenu comme suit : Supposer qu'en plus d'un sémantique X de domaine, nous avons donné une mesure de probabilité P définie sur le X et les numéros de coupure 0 < un ≤ 1. Si le A est une formule avec le libre X ₁ de variables,…, le n de _{du X dont l'interprétation est le F de fonction du v ₁ de variables,…, n} de _{du v puis l'interprétation du $de \ du x_n A (x_1, \ ldots, x_ {n-1}, x_n) d'exists^ {\ mathrm {beaucoup}}$ est fonction de v ₁,…, v _{n -1} qui est T si et seulement si

$\ operatorname {} de P \ {W : F (v_1, \ ldots, v_ {n-1}, w) = \ mathbf {} de T \} \ geq b$ et F autrement. De même, l'interprétation du $de \ du x_n A (x_1, \ ldots, x_ {n-1}, x_n) d'exists^ {\ mathrm {peu}}$ est fonction de v ₁,…, v _{n -1} qui est F si et seulement si

$0< \ operatorname {} de P \ {W : F (v_1, \ ldots, v_ {n-1}, w) = \ mathbf {} de T \} \ leq un$ et T autrement. Nous avons complètement évité l'examen des issues techniques concernant la mesurabilité des fonctions d'interprétation ; certaines de ces derniers sont des questions techniques qui exigent le théorème de Fubini de .}

Nous avertissons le lecteur que la logique de correspondant à une telle sémantique est excessivement compliquée.

Histoire

La logique de limite de traite la quantification en quelque sorte qui est plus près de langage naturel, et également moins adapté à l'analyse formelle. traité par aristotélicien All de logique de , un certain et aucun au ęr siècle de AVANT JÉSUS CHRIST , dans un compte touchant également sur les modalités d'Alethic de .

Le Gottlob Frege , dans son 1879 de Begriffsschrift , était le premier pour utiliser un quantifier pour lier un rangement variable au-dessus d'un domaine de du discours et semblant dans les attributs il mesurerait universellement une variable (ou la relation) en écrivant la variable au-dessus d'une fossette dans une ligne autrement droite apparaissant dans ses formules schématiques. Frege n'a pas conçu une notation explicite pour la quantification existentielle, au lieu de cela utilisant son équivalent de ~&forall ; ~ du X , ou Contraposition . Le traitement de Frege de la quantification a disparu en grande partie unremarked jusque le les principes 1903 de de s de Bertrand Russell à 'des mathématiques .

Dans le travail qui a abouti à Peirce (1885), à ponceuses Peirce de Charles de et à ses qunatifiers universels de l'étudiant O. Mitchell et existentiels indépendamment inventés, et les variables attachées Peirce et Mitchell de a écrit Π_x et Σ_x où nous écrivons maintenant le &forall ; X et &exist ; X . La notation de Peirce peut être trouvée dans les écritures du Ernst Schroder , du Leopold Loewenheim , du Thoralf Skolem , et des logiciens polonais dans les années 50. Spécialement, c'est la notation le papier de la borne limite 1930 de s de Goedel Kurt de 'sur la perfection de la logique de premier ordre , et le papier 1931 sur l'imperfection du Peano arithmétique.

L'approche de Peirce à la quantification également a influencé le William Ernest Johnson et le Giuseppe Peano , qui ont inventé encore une autre notation, à savoir ( X ) pour la quantification universelle du X et (en 1897) du &exist ; X pour la quantification existentielle du X . Par conséquent pendant des décennies, la notation canonique en philosophie et la logique mathématique étaient ( X ) le P pour exprimer le " ; tous les individus dans le domaine du discours ont le P , " de propriété ; et " ; (&exist ; " du P du X ) ; pour le " ; là existe au moins un individu dans le domaine du discours ayant le P de propriété. " ; Peano, qui était beaucoup mieux connu que Peirce, a en effet répandu ce dernier pensant dans l'ensemble de l'Europe. La notation de Peano adoptée par le Principia Mathematica de du Whitehead et du Russell , du Quine , et de l'église d'Alonzo de . En 1935, le Gentzen a présenté le &forall ; symbole, par analogie avec le &exist de Peano ; symbole. &forall ; n'est pas devenu canonique jusqu'aux années 60.

Environ 1895, Peirce a commencé à développer ses graphiques existentiels dont les variables peuvent être vues comme tacitement mesuré. Si l'exemple le plus peu profond d'une variable est égal ou impair détermine si la quantification de cette variable est universelle ou existentielle. (La superficialité est le contraire de la profondeur, qui est déterminée par l'emboîtement des négations.) La logique graphique de Peirce a attiré une certaine attention ces dernières années par ceux recherchant le raisonnement hétérogène et l'inférence schématique .

Le développement de Quantitification à travers des espèces et chez des humains

Dans l'analyse quantitative de du comportement , la psychologie évolutionnaire et la psychologie développementale , quantification de cognitif est étudiée comme comportement.

Voir également

Variable attachée
Domaine de du discours
Quantifier généralisé par
Quantifier de Lindström de
Grammaire de Montague de
Opérateur d'obligatoire variable de
Algèbre cylindrique
Algèbre de relation de

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