Pseudoprime d\'Euler

Un composé n du nombre entier du impair du s'appelle un pseudoprime d'Euler de pour baser le un , si le un et le n sont le copremier, et $a^ de {(n-1) /2} \ équivalent \ P. 1 \ pmod {n}$

(où mod de se rapporte à l'opération du modulo ).

La motivation pour cette définition est le fait que tout le p des nombres premiers satisfont l'équation ci-dessus qui peut être déduite théorème de Fermat de de peu de. Le théorème de Fermat affirme cela si le p est principal, et copremier au un , puis un p de ^{de -1} = 1 ( p de mod). Supposer que le p >2 est principal, puis le p peut être exprimé en tant que 2 q +1 où le q est un nombre entier. Ainsi ; un ^{de (2 q +1) - 1} = 1 ( p de mod) qui signifie ce un q de ^{2 - 1 = 0 ( p de mod). Ceci peut être factorisé comme ( un de ^{de q} - 1) ( un q de ^de + 1) = 0 ( p de mod) qui est équivalent au par ^{de ( p -1) /2} = ±1 ( p de mod).}

L'équation peut être examinée plutôt rapidement, qui peut être employée pour l'essai probabiliste de primality de . Ces essais sont deux fois plus forts que des essais basés sur peu de théorème de Fermat.

Chaque pseudoprime d'Euler est également un Pseudoprime de Fermat. Il n'est pas possible de produire un essai défini de primality basé dessus si un nombre est un pseudoprime d'Euler parce que là existent les pseudoprimes absolus d'Euler de , les nombres qui sont des pseudoprimes d'Euler à chaque perfection de base relativement à eux-mêmes. Les pseudoprimes d'Euler d'absolu sont un sous-ensemble des pseudoprimes absolus de Fermat, ou les nombres de Carmichael de et le plus petit pseudoprime absolu d'Euler est le 1729 = 7· ; 13· ; 19.

Il convient noter que la condition plus forte qui un ^{de ( n -1) /2} = ( un / n ) ( n de mod), où ( un , n ) =1 et ( un / n ) est le symbole de Jacobi de , est parfois employé pour une définition d'un pseudoprime d'Euler. Un examen des nombres de cette forme peut être trouvé au pseudoprime d'Euler-Jacobi de .

Voir également

Perfection probable

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