Prolongation de Friedrichs

Dans l'analyse fonctionnelle , la prolongation de Friedrichs de est une prolongation canonique du l'individu-adjoint du d'un opérateur symétrique en masse défini non négatif . Elle est baptisée du nom du Kurt Friedrichs de mathématicien. Cette prolongation est particulièrement utile dans les situations où un opérateur peut pour être l'individu-adjoint essentiellement ou il est difficile montrer dont l'individu-adjointness essentiel.

Un T d'opérateur est non négatif si

$\backslash \; langle\; \backslash \; XI\; \backslash \; mi\; T\; \backslash \; XI\; \backslash \; rangle\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash quadruple\backslash \; XI\; \backslash \; dans\; \backslash \; operatorname\; \{\}\; des\; DOM\; \backslash \; T$

Exemples

Exemple . La multiplication par une fonction non négative sur un L l'espace de ² est un opérateur non négatif d'individu-adjoint. Laisser le U être un ensemble ouvert dans le n de ^{du R . Sur le L 2 ( U ) nous considérons le les opérateurs différentiels de la forme}

$\backslash \; phi\; (x)\; =\; -\; \backslash \; sum\_\; \{I,\; j\}\; \backslash \; partial\_\; \{x\_i\}\; \backslash \; \{a\_\; \{I\; j\}\; (x)\; \backslash \; partial\_\; \{x\_j\}\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \}\; \backslash \; quadruple\; X\; \backslash \; dans,\; d\text{'}U\; \backslash \; phi\; \backslash \; dans\; \backslash \; operatorname\; \{C\}\; \_0^\; \backslash \; infty\; (U),$

là où le de fonctions un i j de _{de sont des fonctions à valeurs réelles infiniment différentiables sur le U . Nous considérons le T agissant sur le sous-espace dense des fonctions complexe-évaluées infiniment différentiables d'appui compact, dans les symboles $de$}

\ operatorname {C} _0^ \ infty (U) \ subseteq L^2 (U).

Si pour chaque &isin du X ; U les × du n ; matrice du n le $de$

\ commencent {l'a_ de bmatrix} {1 1} (x) et l'a_ {1 2} (x) et \ cdots et \ de l'a_ {1 n} (x) \ a_ {2 1} (x) et a_ {2 2} (x) et \ cdots et \ de l'a_ {2 n} (x) \ \ vdots et \ vdots et \ ddots et \ \ de vdots \ a_ {n 1} (x) et a_ {N2} (x) et \ cdots et a_ {n n} (x) \ extrémité {bmatrix}

est semi-défini non négatif, puis le T est un opérateur non négatif. Ceci signifie (a) que la matrice est le hermitien et

$\backslash \; sum\_\; \{I,\; j\}\; a\_\; \{I\; j\}\; (x)\; c\_i\; \backslash \; overline\; \{\}\; de\; c\_j\; \backslash \; geq\; 0$

pour chaque choix du c ₁ de nombres complexes,…, c _n. Ceci est prouvé using l'intégration de par les pièces .

Ces opérateurs sont le elliptique bien qu'en général les opérateurs elliptiques puissent ne pas être non négatifs. Ils sont cependant liés de dessous.

Définition de prolongation de Friedrichs

La définition de la prolongation de Friedrichs est basée sur la théorie de formes positives fermées sur des espaces de Hilbert. Si le T est non négatif, puis , de $\backslash \; operatorname\; de$

{Q} (\ XI \ eta) = \ langle \ XI \ mi T \ + d'eta \ rangle \ langle \ XI \ mi \ eta \ rangle

est une forme sesquilinear sur le T des DOM et , de $\backslash \; operatorname\; de$

{Q} (\ XI \ XI) = \ langle \ XI \ mi + de T \ XI \ rangle \ langle \ XI \ mi \ XI \ rangle \ geq \|\ XI \|^2.

Ainsi Q définit un produit intérieur sur le T des DOM. Laisser le H ₁ être l'accomplissement des DOM que le T en ce qui concerne le H ₁ de Q. est un espace abstrait défini ; par exemple ses éléments peuvent être représentés pendant que l'équivalence en classe des ordres de Cauchy des éléments du T des DOM. Il n'est pas évident que tous les éléments dans le H ₁ puissent identifié avec des éléments du H . Cependant, ce qui suit peut être prouvé :

L'inclusion canonique

$\backslash \; operatorname\; \{\}\; des\; DOM\; \backslash \; T\; \backslash \; rightarrow\; H$

se prolonge à un &rarr continu injectif du H ₁ de carte du ; H . Nous considérons le H ₁ comme un sous-espace du H .

Définir un A d'opérateur près

$\backslash \; operatorname\; \{\}\; des\; DOM\; \backslash \; A\; =\; \backslash \; \{\backslash \; XI\; \backslash dansH\_1\; :\; \backslash \; phi\_\; \backslash \; XI\; :\; \backslash \; eta\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; operatorname\; \{Q\}\; (\backslash \; XI,\; \backslash )\; d\text{'}eta\; \backslash \; mbox\; \{est\; linéaire\; lié.\}\; \backslash \}$

Dans la formule ci-dessus, le lié est relativement à la topologie sur le H ₁ hérité du H . Par le théorème de représentation de Riesz s'est appliqué au &phi fonctionnel linéaire ; _{&xi ;} prolongé au H , il y a un &xi unique du A ; &isin ; H tels que , de $\backslash \; operatorname\; de$

{Q} (\ XI \ eta) = \ langle A \ XI \ mi \ eta \ rangle \ quadruple \ eta \ dans H_1

Théorème . Le A est un opérateur non négatif d'individu-adjoint tels que le A du T ₁= - I prolonge le T .

Le T ₁ est la prolongation de Friedrichs du T .

Le théorème de Krein sur des prolongements non négatifs d'individu-adjoint

Le M. Krein a donné une caractérisation élégante de tous les prolongements non négatifs d'individu-adjoint d'un non négatif T d'opérateur symétrique.

Si le T , le S sont les opérateurs non négatifs, écrire $T\; \backslash \; leq\; S$ de

si, et seulement si,
$de$

\ operatorname {les DOM} (s) \ subseteq \ operatorname {les DOM} (t)
$de$

\ langle \ XI \ mi T \ XI \ rangle \ leq \ langle \ XI \ mi S \ XI \ rangle \ quadruple \ forall \ XI \ dans \ operatorname {les DOM} (s)

Théorème . Il y a le unique T _min de prolongements d'individu-adjoint et le T _max de n'importe quel non négatif T d'opérateur symétrique tels que

$T\_\; \{\backslash \}\; de\; mathrm\; \{minute\}\; \backslash \; leq\; T\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{maximum\}\},$

et chaque non négatif S de prolongation d'individu-adjoint du T est entre le T _min et le T _max, c.

$T\_\; \{\backslash \}\; de\; mathrm\; \{minute\}\; \backslash \; leq\; S\; \backslash \; leq\; T\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{maximum\}\}.$

La prolongation de Friedrichs du T est le T _min.

Voir également

Prolongation énergique
Prolongements de des opérateurs symétriques

.

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