Profil de Voigt

En spectroscopie , le profil de Voigt de est une raie spectrale profil appelé après que le Woldemar Voigt et trouvé dans toutes les branches de la spectroscopie dans lesquelles une raie spectrale est élargie par deux types de mécanismes, d'une dont seul produirait un profil gaussien (habituellement, en raison du Doppler élargissant ), et de l'autre produise un profil de Lorentzian.

Toute la ligne normale profils peut être considérée les distributions de probabilité que le profil gaussien est équivalent à un gaussien ou de distribution normale et un profil de Lorentzian est équivalent à un Lorentz ou à la distribution de Cauchy. Sans perte de généralité, nous pouvons considérer seulement les profils centrés qui font une pointe à zéro. Le profil de Voigt est alors une convolution d'un profil de Lorentz et d'un profil gaussien :

$V\; (x\; ;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; gamma)\; =\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; G\; (x\text{'};\; \backslash \; sigma)\; L)\; (de\; x-x\text{'};\; \backslash \; gamma\; \backslash ,\; dx$

là où le X est fréquence de ligne centre, le $G\; (x\; ;\; \backslash \; sigma)$ est le profil gaussien centré :

$G\; (x\; ;\; \backslash \; sigma)\; \backslash \; équivalent\; \backslash \; frac\; \{e^\; \{-\; x^2/(2\; \backslash \; sigma^2)\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \backslash racine\; carrée\{2\; \backslash \; pi\}\}$

et $L\; (x\; ;\; \backslash \; gamma)$ est le profil centré de Lorentzian :

$L\; (x\; ;\; \backslash \; gamma)\; \backslash \; équivalent\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; pi\; (x^2+\; \backslash \; gamma^2)\}.$

L'intégrale de définition peut être évaluée comme :

$V\; (x\; ;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; =\; de\; gamma)\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; textrm\; \{au\; sujet\; de\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; racine\; carrée\; \{2\; \backslash \; pi\}\}$

au sujet de là où est la vraie pièce du de la fonction erreur complexe du   du z ; et

$z=\; \backslash \; frac\; \{x+i\; \backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; racine\; carrée\; \{2\}\}.$

Propriétés

Le profil de Voigt est normal :

$\backslash \; ^\; d\text{'}int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; V\; infty\; (x\; ;\; \backslash \; sigma,\; \backslash )\; de\; gamma\; \backslash ,\; dx\; =\; 1$ puisque c'est la convolution des profils normaux. Le profil de Lorentzian n'a aucun moment (autre que le zeroth) et ainsi la fonction Moment-produisante pour la distribution de Cauchy de n'est pas définie. Elle suit que le profil de Voigt n'aura pas une fonction moment-produisante non plus, mais la fonction caractéristique pour la distribution de Cauchy de est bien définie, de même que la fonction caractéristique pour le de distribution normale. La fonction caractéristique pour le profil (centré) de Voigt sera alors le produit des deux :

$\backslash \; varphi\_f\; (t\; ;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; gamma)\; =\; E\; (e^\; \{ixt\})\; =\; e^\; \{-\; \backslash \; sigma^2t^2/2\; -\; \backslash \; gamma\; |t|\}.$

Fonction de répartition cumulative

Using la définition ci-dessus pour le   du z ; , le CDF peut être trouvé comme suit : $F\; de$

(x_0 ; \ MU, \ sigma)

\ int_ {- \ infty} ^ {x_0} \ frac {\ mathrm {au sujet de} (W (z))}{\} de sigma \ racine carrée {2 \ pi} \, dx

\ mathrm {au sujet de} \ parti (\ frac {1}} {\ racine carrée {\ pi} \ int_ {z (- \ infty)}^ {z (x_0)} W (z) \, DZ \ droit)

Substitution de la définition des rendements complexes de fonction erreur à l'intégrale indéfinie :

$\backslash \; frac\; \{1\}\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; international\; W\; (z)\; \backslash ,\; la\; DZ\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; international\; e^\; \{-\; z^2\}\; \backslash \; laissé\; \backslash ,\; la\; DZ$

Ce qui peut être résolu (voir par exemple l'intégrateur de Mathematica) pour rapporter :

$\backslash \; frac\; \{1\}\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; international\; W\; (z)\; \backslash ,\; la\; DZ\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{erf\}\; (z)\}\; \{2\}\; +\; \backslash \; frac\; \{iz^2\}\}\; \{\backslash \; pi\; \backslash ,\; \_2F\_2\; \backslash \; est\; parti\; (1.1\; ;\; \backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\},\; 2\; ;\; -\; z^2\; \backslash \; droits)$

là où le $\backslash ,\; \_2F\_2\; ()$ est une fonction hypergéométrique . Pour que la fonction approche zéro car le X approche l'infini négatif (pendant que le CDF doit faire), une constante d'intégration de 1/2 doit être ajoutée. Ceci donne pour le CDF : $F\; de$

(x ; \ MU, \ = de sigma) \ mathrm {au sujet de} \ sont partis \ frac {\ mathrm {erf} (z)} {2} + \ frac {iz^2}} {\ pi \, _2F_2 \ est parti (1.1 ; \ frac {3} {2}, 2 ; - z^2 \ droits) \ droit]

La largeur du profil de Voigt

Le de grande largeur à demi de maximum (FWHM) du profil de Voigt peut être trouvé du largeurs des largeurs associées gaussiennes et de Lorentzian. Le FWHM du profil gaussien est $f\_\; de$

\ mathrm {G} =2 \ sigma \ racine carrée {2 \ ln (2)}. \,

Le FWHM du profil de Lorentzian est juste $f\_L=2\; \backslash \; gamma$. Définir φ = $f\_L/f\_G$. Alors le FWHM du profil de Voigt ($f\_V$) peut être estimé comme :

$f\_\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; V\; \backslash \; approximativement\; f\_\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; \backslash \; (1-c\_0c\_1+\; \backslash racinecarrée\; \{\backslash \; phi^2+2c\_1\; \backslash \; phi+c\_0^2c\_1^2\}\; \backslash \; droit)$ laissé

là où $c\_0$ = 2.0056 et $c\_1$ = 1. Cette évaluation aura un écart type d'erreur d'environ 2.4 pour cent pour des valeurs de φ entre 0 et 10. Noter que l'équation ci-dessus aura le comportement approprié dans la limite du φ = 0 et du φ = du ∞.

Une approximation différente a été donnée en 1977 par J. Longbothum dans des ajustements empiriques de à la ligne largeur de Voigt : Une brève revue , JQSRT 17, P233

$f\_\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; V\; \backslash \; approximativement\; 0.5346\; f\_\; \backslash \; +\; du\; mathrm\; \{L\}\; \backslash \; racine\; carrée\; \{0.2166f\_\; \backslash \; mathrm\; \{L\}\; ^2+f\_\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; ^2\}$

avec une exactitude de 0.02%

Le profil uncentered de Voigt

Si le profil gaussien est centré au $\backslash \; mu\_G$ et le profil de Lorentzian est centré au $\backslash \; mu\_L$, la convolution sera centrée au $\backslash \; mu\_G+\; \backslash \; mu\_L$ et la fonction caractéristique sera alors :

$\backslash \; varphi\_f\; (t\; ;\; \backslash \; sigma,\; \backslash ,\; de\; gamma\; \backslash ,\; de\; mu\_\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; \backslash \; mu\_\; \backslash \; mathrm\; \{L\})\; =\; -\; t\; \backslash \; sigma^2t^2/2\; \backslash \; gamma\; de\; l\text{'}e^\; \{I\; (\backslash \; +\; de\; mu\_\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; \backslash \; mu\_\; \backslash \; mathrm\; \{L\})\; |t|\}.$

Le mode et la médiane tous les deux seront alors situés au $\backslash \; mu\_G+\; \backslash \; mu\_L$.

Voir également

Spectroscopie

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Random links:

Piment, New York | Musique de Washington | Edgar J. Goodspeed | John Couey | Protocole de Cranford | Perfil_de_Voigt

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