Produit vide

Dans les mathématiques , un produit vide , ou le produit nullary , est le résultat du multipliant aucuns nombres. Sa valeur numérique est le 1 , l'identité multiplicative , juste comme le &mdash vide de la somme ; le résultat du ajoutant aucun numbers&mdash ; est le zéro, ou l'identité additive.

Le produit vide est employé dans les mathématiques discrètes , l'algèbre , l'étude de la série entière , et les programmes informatiques .

Le " de limite ; product" vide ; est le plus employé souvent dans le sens ci-dessus en discutant des opérations arithmétiques du . Cependant, la limite est parfois utilisée en discutant les intersections placer-théorétiques, les produits catégoriques, et les produits dans la programmation par ordinateur ; ceux-ci sont discutés ci-dessous.

Produit d'arithmétique de Nullary

Exemples fréquents

Deux exemples souvent-vus sont par ⁰ = 1 (tout nombre augmenté à la puissance de zeroth est un) et 0 ! = 1 (le factoriel de zéro est un).

Plus d'exemples de l'utilisation du produit vide dans les mathématiques peuvent être trouvés aux pages suivantes : Théorème binomial , factoriel, théorème fondamental de arithmétique, paradoxe de l'anniversaire , nombre , le théorème , type binomial , opérateur de différence , symbole , preuve de qu'e est irrationnel, facteur principal , série binomiale , multi-ensemble de Stirling de de König de de de Pochhammer de de de de .

0 a augmenté à la 0th puissance le de de

pour plus d'information, voient la section sur le zéro à la puissance nulle dans l'article sur l'élévation à une puissance . Dans la théorie des ensembles et la combinatoire, le n^m du nombre cardinal est la taille de l'ensemble de fonctions d'un ensemble de m de taille en jeu de n de taille. Si le m est positif et le n est zéro, alors il n'y a aucune telle fonction, parce qu'il n'y a aucun élément dans le dernier ensemble pour tracer ceux de l'ancien ensemble dans. Ceci justifie la convention ce 0^m = 0 quand le m est positif. Cependant, si les deux ensembles sont vides (taille 0), puis il y a exactement un tel &mdash de cartographie ; la fonction vide . Ainsi 0⁰ = 1. La valeur de 0⁰ est discutée en plus détail dans l'article sur l'élévation à une puissance .

Intersection de Nullary

Pour les raisons semblables, l'intersection d'un ensemble vide de sous-ensembles d'un X d'ensemble est par convention égale au X . Voir l'intersection de Nullary de pour plus d'information.

Produit cartésien de Nullary

Considérer la définition générale du produit cartésien : = de X_i de

\ prod_ de  {I \ dedans I} \ {f : I \ \ bigcup_ {I \ dedans I} X_i \ |\ (\ forall i) (f (i) \ dans) de X_i \}.

Si le I est vide, le seul satisfying f est la fonction vide : le $\ aiguillon de \ vident = \ {le f_ \ vident : \ vider \ \ vider \}.$

Sous le peut-être plus familier n - interprétation du tuple , le $\ aiguillon de \ vident = \ {() \},$

c'est-à-dire, le singleton réglé de contenant le tuple vide . Noter que dans les deux représentations le produit vide a la cardinalité 1.

Produit cartésien de Nullary des fonctions

Le produit cartésien de vide des fonctions est encore la fonction vide.

Produit catégorique de Nullary

Dans n'importe quelle catégorie , le produit d'un famille vide est un objet terminal de cette catégorie. Dans la catégorie de des ensembles , par exemple, c'est un ensemble de singleton, alors que dans la catégorie de des groupes , c'est un groupe insignifiant avec un élément.

Le duel , le Coproduct d'un famille vide est un objet d'initiale de . Les produits ou les coproducts catégoriques de Nullary peuvent ne pas exister dans une catégorie donnée ; par exemple dans la catégorie de des champs , ni l'un ni l'autre n'existe.

Dans la programmation par ordinateur

La plupart des langages de programmation ne permettent pas l'expression directe du produit vide, parce que la multiplication est prise pour être un opérateur de l'infixe et donc un opérateur binaire. (Le programmeur d'A peut, naturellement, la mettre en application.) Les langues mettant en application les fonctions de Variadic de sont l'exception. Par exemple, la notation de préfixe entièrement parenthesized du blèsent des langues que provoque une notation normale pour des fonctions de Nullary :

(* 2 2 2) ; évalue à 8 (* 2 2) ; évalue à 4 (* 2) ; évalue à 2 (*) ; évalue à 1

Beaucoup de langages de programmation avec la multiplication d'infixe offrent également une fonction généralisée de multiplication, souvent appelée le product, qui peut être appliqué à une liste de nombres. De telles fonctions renvoient 1 une fois appliquées à une liste vide.

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