Produit semidirect

Dans la théorie de groupe , un produit semidirect décrit une manière particulière dans laquelle un groupe peut être remonté de deux sous-groupes un de dont est normal.

Quelques définitions équivalentes

Laisser le G être un groupe, le N un sous-groupe normal du G (c., N ◁ ; G ) et H un sous-groupe du G . Les rapports suivants sont équivalents :
G = &cap du NH et du N ; H = { e } (avec e étant l'élément d'identité de G )
G = &cap du HN et du N ; H = { e }
Chaque élément du G peut être écrit comme produit unique d'un élément du N et d'un élément du H
Chaque élément du G peut être écrit comme produit unique d'un élément du H et d'un élément du N
Le &rarr de encastrement normal du H ; G , composé avec le &rarr normal du G de projection ; '' G/N '' , rendements un isomorphisme entre le H et le G/N
Là existe un &rarr du G de l'homomorphisme ; H qui est l'identité sur le H et dont le grain est le N Si un (et donc tous) ces rapports se tiennent, nous disons que le G est un produit semidirect du N et du H , ou que le du G dédouble au-dessus du N .

Faits et avertissements élémentaires

Si le G est le produit semidirect du normal N de sous-groupe et le H de sous-groupe, et le N et le H sont fini, alors l'ordre du G égale le produit des ordres du N et du H .

Noter que, par opposition au cas avec le produit direct , un produit semidirect n'est pas, généralement unique ; si G et nbsp de G'& de ; sont deux groupes que tous les deux contiennent le N en tant que sous-groupe normal et le H en tant que sous-groupe, et tous les deux sont un produit semidirect du N et le H , puis il fait le pas suivent ce G et nbsp de G'& de ; sont le isomorphe. Cette remarque mène à un problème de prolongation de , de décrire les possibilités.

Produits semidirects externes

Si le G est un produit semidirect du N et du H , puis le &phi de carte ; : &rarr du H ; Aut ( N ) (où Aut ( N ) dénote le groupe de tous les automorphismes du N ) a défini par &phi ; ( h ) ( n ) = hnh de ^-1 pour tout le h dans H et n dans N est un homomorphisme de groupe. Ensemble N , H et &phi ; déterminer le du G jusqu'à l'isomorphisme de , comme nous montrons maintenant.

Donné deux groupes quelconques le N et le H (pas nécessairement sous-groupes d'un groupe donné) et un &phi de l'homomorphisme de groupe de ; : &rarr du H ; Aut ( N ), le nouveaux $N de groupe \ rtimes_ {\ phi} H$ (ou simplement × de N ; _{&phi ; le H de}) s'appelle le produit semidirect de du N et du H en ce qui concerne le &phi ; et est défini comme × du N du produit cartésien ; H avec l'opération * définie par le ( n ₁, h ₁) * ( n ₂, h ₂) = (&phi de n ₁ ; ( h ₁) ( n ₂), h ₂) de h ₁ pour tout le n ₁, n ₂ dans le N et le h ₁, h ₂ dans le H . C'est un groupe dans lequel l'élément d'identité est ( H de _{de N}, de e de _{de e ) et l'inverse de l'élément ( n , h ) est (&phi ; ( h ^-1) ( n ^-1), h ^-1). Appareille ( H} de _{de n , de e ) la forme un sous-groupe normal isomorphe au N , alors que les paires ( N} de _{de e , h ) forment un sous-groupe isomorphe au H . Le plein groupe est un produit semidirect de ces deux sous-groupes dans le sens indiqué ci-dessus.}

Réciproquement, supposer que nous sommes donnés un produit semidirect interne comme défini ci-dessus, c. un de groupe G avec un normal N , un H de sous-groupe de sous-groupe, et tel que chaque g d'élément du G peut être écrit uniquement dans le g=nh forme où le n se situe dans le N et le h se situe dans le H . Laisser le &phi ; : &rarr du H ; Aut ( N ) soit le &phi de d'homomorphisme ; ( h ) ( n ) = hnh ^-1 de . Alors le G est isomorphe au $N de produit \ au rtimes_ semidirects externes {\ phi} H$ ; l'isomorphisme envoie le NH de produit au tuple ( n , h ). Dans le G , nous avons le de règle h ₁) ( h ₂ (de n ₁ de n ₂) = le n ₁ ( h ₁^-1) ( h ₂ de n ₂ de h ₁ de h ₁) et c'est la raison plus profonde de la définition ci-dessus du produit semidirect externe, et une manière simple de la mémoriser.

Une version du lemme de division pour des groupes déclare qu'un G de groupe est isomorphe à un produit semidirect des deux groupes du N et le H si et seulement si là existe un ordre exact de short de $0 \ longrightarrow N \ longrightarrow^ de {\ ! \ ! \ ! \ ! \ ! \ ! \ ! \ ! \ ! \ bêta} \ \, G \ longrightarrow^ {\ ! \ ! \ ! \ ! \ ! \ ! \ ! \ ! \ ! \ \ d'alpha} \, H \ longrightarrow 0$

et un &gamma d'homomorphisme de groupe ; : &rarr du H ; G tels que &alpha ; &gamma du $\ circ$ ; = H , la carte d'id_{d'identité de sur le H . Dans ce cas-ci, &phi ; : &rarr du H ; Aut ( N ) est donné par &phi de ; ( h ) ( n ) = &beta ; ⁻¹ (&gamma ; ( h ) &beta ; ( n ) &gamma ; ( h ⁻¹)).}

Exemples

Le dièdre n de _{du D du groupe avec 2 éléments du n est isomorphe à un produit semidirect du cyclique n} de _{du C des groupes et du C ₂. Ici, l'élément de non-identité du C ₂ agit sur le n} de _{du C en inversant des éléments ; c'est un automorphisme puisque le n} de _{du C est le abélien. La présentation pour ce groupe est : , de $\ langle a de \ ; b \ mi, d'a^2 = d'e \ ; , de b^n = d'e \ ; aba^ {- =b^ de 1} {- 1} \ rangle$ . Plus généralement, un produit semidirect de tout $C_m cyclique de deux groupes \ ;$ avec le $a de générateur \ ;$ et $C_n \ ;$ avec le $b de générateur \ ;$ est donné par un =b^k simple de $aba^ de relation {- 1} \ ;$ avec le $k \ ;$ et $n \ ; copremier, c. la présentation de$ : , de $\ langle a de \ ; b \ mi, d'a^m=e \ ; , de b^n = d'e \ ; =b^k d'aba^ {- 1} \ ; \ rangle$ .
Si $r \ ;$ et $m \ ;$ sont copremiers, $a^r \ ;$ est un générateur de $C_m \ ;$ et $a^rba^ {-} =b^ r {} de k^r \ ;$ , par conséquent la présentation : , de $\ langle a de \ ; b \ mi, d'a^m=e \ ; , de b^n = d'e \ ; aba^ {- =b^ de 1} {} de k^ {r} \ ; \ rangle$
donne un groupe isomorphe à le précédent.
Le groupe fondamental de la bouteille de Klein de peut être présenté dans le $de de forme \, du langle a \ ; b \ mi aba^ {- =b^ de 1} {- 1} \ ; \ rangle$ et est donc un produit semidirect du groupe de nombres entiers, $\ mathbb {Z}$ , avec lui-même.
Le groupe euclidien de tous les mouvements rigides (isometries ) de l'avion ( f de cartes : &rarr du R ² ; Le R ² tels que la distance euclidienne entre le X et le y égale la distance entre le f ( X ) et le f ( y ) pour tout le X et y dans le R ²) est isomorphe à un produit semidirect du R ² (qui décrit des traductions) et le groupe O de groupe abélien (2) de matrices orthogonales 2×2 (qui décrit les rotations et les réflexions qui maintiennent l'origine fixe). le n est une traduction, un h une rotation ou une réflexion. L'application d'une traduction et puis d'une rotation ou d'une réflexion correspond d'abord et puis à appliquer la rotation ou la réflexion une traduction par le vecteur de traduction tourné ou reflété (c. appliquant le conjugé de la traduction originale). Chaque matrice orthogonale agit en tant qu'automorphisme sur le R ² par multiplication de matrice.
Le groupe orthogonal O ( n ) de de toutes les vraies matrices orthogonales du n de × du n (intuitivement l'ensemble de toutes les rotations et les réflexions de n - l'espace dimensionnel qui maintiennent l'origine fixe) est isomorphe à un produit semidirect du groupe AINSI ( n ) (se composant de toutes les matrices orthogonales avec déterminant 1, intuitivement les rotations de n - l'espace dimensionnel) et le C ₂. Si nous représentons le C ₂ comme groupe multiplicatif de matrices { I , R }, où le R est une réflexion de l'espace dimensionnel du n qui maintient l'origine fixe (c. une matrice orthogonale avec cause déterminante - 1 représentant une involution ), puis &phi ; : &rarr du C ₂ ; Aut (AINSI ( n )) est donné par &phi ; ( H ) ( N ) = H ^-1 de N de H pour tout le H dans C ₂ et N dans AINSI ( n ). Dans le cas non trivial (le H n'est pas l'identité) ceci signifie ce &phi ; ( H ) est la conjugaison des opérations par la réflexion (un axe de rotation et la direction de la rotation sont remplacés par leur " ; image" de miroir ;).

Relation aux produits directs
Supposer que le G est un produit semidirect du normal N de sous-groupe et du H de sous-groupe. Si le H est également normale dans le G , ou d'une manière equivalente, si là existe un &rarr du G d'homomorphisme ; Le N qui est l'identité sur le N , puis le G est le produit direct du N et du H .
Le produit direct de deux groupes du N et le H peut être considéré comme produit semidirect externe du N et du H en ce qui concerne le &phi ; ( h ) = N d'id_{pour tout le h dans le H .}
Noter que dans un produit direct, l'ordre des facteurs n'est pas important, depuis des × du N ; Le H est isomorphe aux × du H ; N . Ce n'est pas la caisse pour les produits semidirects, car les deux facteurs jouent différents rôles.

Généralisations
La construction des produits semidirects peut être poussée beaucoup plus loin. Le produit de Zappa-Szep de des groupes est une généralisation qui, dans sa version interne, ne suppose pas que l'un ou l'autre sous-groupe est normal. Il y a également une construction dans la théorie , le produit croisé d'anneau de de des anneaux . Ceci est vu naturellement dès qu'on construira un anneau de groupe pour un produit semidirect des groupes. Il y a également la somme semidirecte d'algèbres de Lie . Donné une action de groupe sur un espace topologique , il y a un produit croisé correspondant qui sera en général non commutatif même si le groupe est abélien. Ce genre d'anneau (voir le produit croisé pour une construction relative) peut jouer le rôle de l'espace de des orbites de l'action de groupe, dans les cas où cet espace ne peut pas être approché par des techniques topologiques conventionnelles - par exemple dans le travail du Alain Connes (cf. la géométrie non commutative ).
Il y a également des généralisations de grande envergure dans la théorie de catégorie de . Elles montrent comment construire les catégories fibred par des catégories répertoriées par de . C'est une forme abstraite de la construction semidirecte externe de produit.

Notation
Les sources diffèrent dans leur notation pour le produit semidirect. Quelques textes le discutent sans la notation explicite. D'autres emploient le " subscripted ; times" ; symbole (×_{&phi ;}) comme ci-dessus pour modifier le produit direct par l'inclusion d'un homomorphisme, écrivant le groupe normal du côté gauche. L'autre notation remodèle le symbol&mdash de périodes ; par exemple : $\ ltimes$ ou $\ rtimes$ , avec ou sans des indices inférieurs. L'one-way de penser au symbole du $\ rtimes$ est comme combinaison du symbole pour le sous-groupe normal et du symbole pour le produit.
Le Unicode énumère quatre variantes :

Voir également

produit direct
Produit de guirlande de
holomorph
.
Random links: Lacs Westwood, la Floride | Riz d'Edmund Ignatius | Attaque de gaz de Sarin sur le souterrain de Tokyo | Liste de fleuves dans l'Oklahoma | Institut de & de traduction ; Interprétation | Producto_semidirecto}