Dans les mathématiques , le produit scalaire de , également connu sous le nom de produit scalaire , est une opération qui prend deux vecteurs au-dessus du R des vrais nombres et renvoie une quantité scalaire du à valeurs réelles . C'est le produit intérieur de standard de de l'espace euclidien .
Par exemple, le produit scalaire de deux vecteurs tridimensionnels 3, −5 et −2, −1 est
\ commencent {bmatrix} 1&3&-5 \ extrémité {} de bmatrix \ cdot \ commencer {bmatrix} 4&-2&-1 \ extrémité {bmatrix} = (1) (4) + (3) (- 2) + (- 5) (- 1) = 3.
Using la multiplication et traitement de Matrix de des vecteurs (de colonne) comme × du n ; les matrices de 1 , le produit scalaire peuvent également être écrites comme :
\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {a} ^T \ mathbf {} de b \,
là où le un T dénote le transposer du de matrice un .
Using l'exemple d'en haut, ceci aurait comme conséquence un 1× ; la matrice 3 (c., vecteur) s'est multipliée par un 3× ; 1 vecteur (qui, en vertu de la multiplication de matrice, a comme conséquence un 1× ; 1 matrice, c., une grandeur scalaire) : le de \ commencent {bmatrix} 1&3&-5 \ extrémité {bmatrix} \ commencent {le bmatrix} 4 \ \ - 2 \ \ - 1 \ extrémité {bmatrix} = \ commencent {le bmatrix} 3 \ extrémité {bmatrix}.
\ commencent {bmatrix} 1&3&-5 \ extrémité {bmatrix} \ commencent {le bmatrix} 4 \ \ - 2 \ \ - 1 \ extrémité {bmatrix} = \ commencent {le bmatrix} 3 \ extrémité {bmatrix}.
Pour complexe vecteur, produit scalaire est défini comme \ mathbf {} d'a \ = de cdot \ mathbf {b} \ somme {b_i^* d'a_i}
Dans euclidien, le produit scalaire, la longueur , et l'angle sont connexes : Pour un de vecteur un , un • le un est à angle droit de sa longueur, et, plus généralement, si le b est un autre vecteur
\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b} = |\ mathbf {a}| \, |\ mathbf {b}| \ cos \ thêta \,
là où | un | et | b | dénoter la longueur (grandeur) de du un et le θ de du b est l'angle entre eux.
Depuis | un |cos (θ) est la projection scalaire du par sur le b , le produit scalaire peut être compris géométriquement comme produit de cette projection avec la longueur du b .
Car le cosinus de 90° est zéro, le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires du est toujours zéro. Si le un et le b ont la longueur une (c. ils sont les vecteurs d'unité , le produit scalaire donne simplement le cosinus de l'angle entre eux. Ainsi, donné deux vecteurs, l'angle entre eux peut être trouvé en réarrangeant la formule ci-dessus : \ thêta de = \ arccos \ (\ frac {\ "BOLD" {} d'a \ cdot \ "BOLD" {b}} laissé de Le produit scalaire dans la physique Dans la physique , la grandeur est un scalaire dans le sens physique, c. un indépendant de la quantité physique du système du même rang, exprimé comme le produit d'une valeur numérique et d'une unité physique , pas simplement un nombre. Le produit scalaire est également une grandeur scalaire dans ce sens, donné par la formule, indépendant du système du même rang. La formule en termes de coordonnées est évaluée avec des unités pas simplement de nombres, mais de temps de nombres. Par conséquent, bien qu'il se fonde sur la base étant orthonormale, elle ne dépend pas de la graduation. Exemple : Le travail mécanique est le produit scalaire de la force et du déplacement . Propriétés La prise suivante de propriétés si le un , le b , et le c sont les vecteurs et le r est un scalaire. Le produit scalaire est le commutatif : \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {} de b \ cdot \ mathbf {a}. Le produit scalaire est le distributif : \ mathbf {a} \ cdot (\ + de mathbf {b} \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {c}. Le produit scalaire est le bilinéaire : \ mathbf {} d'a \ cdot (+ de r \ mathbf {b} \ mathbf {c}) = r (\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b}) + (\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {c}). Une fois multiplié par une valeur scalaire, le produit scalaire satisfait : () de c_1 \ mathbf {a} \ cdot (c_2 \ mathbf {b}) = (c_1c_2) (\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b}) (ces deux dernières propriétés suivent des deux premiers). Le différent de zéro de deux vecteurs un et le b sont perpendiculaire du si et seulement si de un • b = 0. Si le b est un vecteur d'unité , alors le produit scalaire donne à l'importance de la projection du un dans le de direction b , avec un signe moindre si la direction est vis-à-vis de. La décomposition des vecteurs est souvent utile pour les ajouter commodément, par exemple dans le calcul de la force nette dans la mécanique . À la différence de la multiplication des nombres ordinaires, où si le ab = C. , alors le b de égale toujours le c à moins que le un soit zéro, le produit scalaire ne se conforme pas à la loi d'annulation de : si un • b = un • c et un 0 de ≠ de : alors que nous pouvons écrire : un • ( b - c ) = 0 par la loi distributive ; et du résultat précédent ci-dessus : si le un est perpendiculaire à ( b - le c ), nous pouvons avoir ( b - c ) le 0 de ≠ et donc c de ≠ du b . La formule de Lagrange (expansion de produit triple) voient également : la formule de Lagrange de C'est une identité très utile impliquant le point et les croix-produits on lui écrit As de × d'un ; (× de b ; c ) = b ( un · &minus du c ) ; c ( un · b ), il est plus facile se rappeler ce qui en tant que « CCB sans la CABINE », maintenant dans l'esprit que des vecteurs sont pointillé ensemble. Cette formule est très utile en simplifiant des calculs de vecteur dans la physique . Représentation de Matrix Un produit intérieur peut être représenté comme matrice. Par exemple, donné deux vecteurs \ mathbf {a} = \ commencent {l'a_u de bmatrix} \ \ \ d'a_v \, d'a_w \ fin {bmatrix} \ qquad \ mathbf {b} = \ commencent {le b_u de bmatrix} \ \ \ de b_v \ b_w \ extrémité {le bmatrix} en ce qui concerne le de la base \ mathrm réglés {S} \ = du mathrm {S} \ {\ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {} de W \} = \ est parti \ { \ commencer {bmatrix} u_1 \ \ u_2 \ \ u_3 \ extrémité {le bmatrix}, \ commencer {bmatrix} v_1 \ \ v_2 \ \ v_3 \ extrémité {le bmatrix}, \ commencer {bmatrix} \ w_1 \ \ w_2 \ w_3 \ extrémité {bmatrix} \ droits \} n'importe quel produit intérieur peut être représenté comme suit : \ langle \ mathbf {a} \, \ mathbf {} de b \ rangle = \ mathbf {a} ^T \ cdot \ mathbf {} de M \ cdot \ mathbf {b} là où le M est la représentation de matrice 3x3 du produit intérieur. Etant donné la matrice du produit intérieur par le S a appelé le \ mathbf {C} _S, le M peut être calculé en résolvant le système des équations suivant. \ _S du mathbf {C} = \ commencer {le bmatrix} \ langle \ mathbf {u, u} \ et de rangle \ langle \ mathbf {u, v} \ et de rangle \ langle \ mathbf {u, W} \ \ de rangle \ \ langle \ mathbf {v, u} \ et de rangle \ langle \ mathbf {v, v} \ et de rangle \ langle \ mathbf {v, W} \ \ de rangle \ \ langle \ mathbf {W, u} \ rangle et \ langle \ mathbf {W, v} \ rangle et \ langle \ mathbf {W,} de W \ rangle \ extrémité {bmatrix} = \ commencer {le bmatrix} \ mathbf {u} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {u} et \ mathbf {u} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {v} et \ mathbf {u} ^T \ cdot \ mathbf {} de M \ \ de cdot \ mathbf {W} \ \ mathbf {v} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {u} et \ mathbf {v} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {v} et \ mathbf {v} ^T \ cdot \ mathbf {} de M \ \ de cdot \ mathbf {W} \ \ mathbf {W} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {u} et \ mathbf {W} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {v} et \ mathbf {W} ^T \ cdot \ mathbf {} de M \ cdot \ mathbf {W} \ extrémité {bmatrix} Exemple Donné un ensemble de base \ = du mathrm {S} \ {\ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {} de W \} = \ est parti \ { \ commencer {bmatrix} 1 \ \ 0 \ \ 0 \ extrémité {le bmatrix}, \ commencer {bmatrix} 1 \ \ 1 \ \ 0 \ extrémité {le bmatrix}, \ commencer {bmatrix} 1 \ \ 1 \ \ 1 \ extrémité {bmatrix} \ droits \} et une matrice du produit intérieur par le \ mathrm {S} \ _S du mathbf {C} = \ commencer {le bmatrix} 5 et 2 et 0 \ \ 2 et 6 et 2 \ \ 0 et 2 et 7 \ extrémité {bmatrix} nous pouvons placer chaque élément du C S égal au produit intérieur de deux des vecteurs de base comme suit \ mathbf {C} _S = \ langle \ mathrm {S}, \ mathrm {} de S \ rangle \ mathbf {C} _S = 5 = \ langle \ mathbf {u,} d'u \ rangle = \ commencent {bmatrix} 1 et 0 et 0 \ extrémité {} de bmatrix \ cdot \ mathrm {} de M \ cdot \ commencer {bmatrix} 1 \ \ 0 \ \ 0 \ extrémité {le bmatrix} \ mathbf {C} _S = 2 = \ langle \ mathbf {u,} de v \ rangle = \ commencent {bmatrix} 1 et 0 et 0 \ extrémité {} de bmatrix \ cdot \ mathrm {} de M \ cdot \ commencer {bmatrix} 1 \ \ 1 \ \ 0 \ extrémité {le bmatrix} \ cdots ce qui donne neuf équations et neuf inconnus. Solution de ces rendements d'équations \ mathbf {M} = \ commencer {le bmatrix} 5 et -3 et -2 \ \ -3 et 7 et -2 \ \ -2 et -2 et 9 \ extrémité {bmatrix} Généralisation Le produit intérieur généralise le produit scalaire aux espaces de vecteur d'abrégé sur et est normalement dénoté par < un de ; , b >. En raison de l'interprétation géométrique du produit scalaire la norme || un || d'un de vecteur un dans un espace de produit intérieur de si est défini As \|\ mathbf {} d'a \| = \ racine carrée {\ langle \ mathbf {a} \, \ mathbf {} d'a \ rangle} tels qu'il généralise la longueur, et le θ d'angle entre le de deux vecteurs un et le b près \ cos {\ thêta} = \ frac {\ langle \ mathbf {a} \, \ mathbf {} de b \ rangle} {\|\ mathbf {} d'a \| \, \|\ mathbf {} de b \|}. En particulier, deux vecteurs sont considérés le orthogonal si leur produit scalaire est zéro \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b} = 0. Le produit intérieur de Frobenius de définit un produit intérieur sur des matrices comme s'ils sont des vecteurs bidimensionnels, résumant les produits des composants correspondants. Preuve de l'interprétation géométrique Note de : cette preuve est montré pour des vecteurs à trois dimensions, mais est aisément extensible au n - vecteurs dimensionnels. Considérer un de de vecteur \ mathbf {v} = v_1 \ mathbf {I} + v_2 \ mathbf {j} + v_3 \ mathbf {k}. \, L'application répétée du théorème pythagorien rapporte pour son de du v de longueur v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2. \, Mais ceci est même que \ mathbf {} de v \ cdot \ mathbf {v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2, \, ainsi nous concluons cela qui prend au produit scalaire d'un de vecteur v avec lui-même des rendements la longueur carrée du vecteur. ; lemme 1 de de : \ mathbf {} de v \ cdot \ mathbf {v} = v^2. \, Considérer maintenant le de deux vecteurs un et le b s'étendant de l'origine, séparée par un θ d'angle. Troisième vecteur c peut être défini en tant que \ mathbf {c} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ - du mathbf {a} \ mathbf {b}. \, créant une triangle avec le de côtés un , le b , et le c . Selon la loi de des cosinus , nous avons le de c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \ cos \ thêtas. \, Substituant des produits scalaires aux longueurs carrées selon le lemme 1, nous obtenons le de \ mathbf {} de c \ cdot \ mathbf {c} \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {a} + \ mathbf {} de b \ cdot \ mathbf {b} - 2 ab \ cos \ thêtas. \, de ; ; ; ; ; ; ; ; ; (1) Mais en tant que de ≡ du c un &minus de ; le b , nous avons également le de \ mathbf {} de c \ cdot \ mathbf {c} (\ mathbf {a} - \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {a} - \) du mathbf {b} \, , ce qui, selon la loi distributive , augmente au de \ mathbf {} de c \ cdot \ mathbf {c} \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {a} + \ mathbf {} de b \ cdot \ mathbf {b} -2 (\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b}). \, de ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; (2) Fusionnement deux du c • les équations du c , le (1) et le (2) , nous obtenons le de \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {a} + \ mathbf {} de b \ cdot \ mathbf {b} -2 (\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b}) \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {a} + \ mathbf {} de b \ cdot \ mathbf {b} - 2 ab \ cos \ thêtas. \, Soustrayant le un • + b • b des deux côtés et division par &minus ; 2 feuille \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b} = ab \ cos \ thêta. Voir également produit en travers Multiplication de Matrix de Inégalité de Cauchy-Schwarz de . Random links:Richard Gough (ancien) | Paradoxe de rue Pétersbourg | Contrat de travail | Sid Barnes | Autoroute de soleil | Producto_de_punto
= \ arccos \ (\ frac {\ "BOLD" {} d'a \ cdot \ "BOLD" {b}}
laissé
Dans la physique , la grandeur est un scalaire dans le sens physique, c. un indépendant de la quantité physique du système du même rang, exprimé comme le produit d'une valeur numérique et d'une unité physique , pas simplement un nombre. Le produit scalaire est également une grandeur scalaire dans ce sens, donné par la formule, indépendant du système du même rang. La formule en termes de coordonnées est évaluée avec des unités pas simplement de nombres, mais de temps de nombres. Par conséquent, bien qu'il se fonde sur la base étant orthonormale, elle ne dépend pas de la graduation.
Exemple : Le travail mécanique est le produit scalaire de la force et du déplacement .
Le produit scalaire est le commutatif : \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {} de b \ cdot \ mathbf {a}.
Le produit scalaire est le distributif : \ mathbf {a} \ cdot (\ + de mathbf {b} \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {c}.
Le produit scalaire est le bilinéaire : \ mathbf {} d'a \ cdot (+ de r \ mathbf {b} \ mathbf {c}) = r (\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b}) + (\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {c}).
Une fois multiplié par une valeur scalaire, le produit scalaire satisfait : () de c_1 \ mathbf {a} \ cdot (c_2 \ mathbf {b}) = (c_1c_2) (\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b}) (ces deux dernières propriétés suivent des deux premiers).
Le différent de zéro de deux vecteurs un et le b sont perpendiculaire du si et seulement si de un • b = 0.
Si le b est un vecteur d'unité , alors le produit scalaire donne à l'importance de la projection du un dans le de direction b , avec un signe moindre si la direction est vis-à-vis de. La décomposition des vecteurs est souvent utile pour les ajouter commodément, par exemple dans le calcul de la force nette dans la mécanique .
À la différence de la multiplication des nombres ordinaires, où si le ab = C. , alors le b de égale toujours le c à moins que le un soit zéro, le produit scalaire ne se conforme pas à la loi d'annulation de : si un • b = un • c et un 0 de ≠ de : alors que nous pouvons écrire : un • ( b - c ) = 0 par la loi distributive ; et du résultat précédent ci-dessus : si le un est perpendiculaire à ( b - le c ), nous pouvons avoir ( b - c ) le 0 de ≠ et donc c de ≠ du b .
voient également :
la formule de Lagrange de
C'est une identité très utile impliquant le point et les croix-produits on lui écrit As de
× d'un ; (× de b ; c ) = b ( un · &minus du c ) ; c ( un · b ),
il est plus facile se rappeler ce qui en tant que « CCB sans la CABINE », maintenant dans l'esprit que des vecteurs sont pointillé ensemble. Cette formule est très utile en simplifiant des calculs de vecteur dans la physique .
Un produit intérieur peut être représenté comme matrice. Par exemple, donné deux vecteurs
\ mathbf {a} = \ commencent {l'a_u de bmatrix} \ \ \ d'a_v \, d'a_w \ fin {bmatrix} \ qquad \ mathbf {b} = \ commencent {le b_u de bmatrix} \ \ \ de b_v \ b_w \ extrémité {le bmatrix}
en ce qui concerne le de la base \ mathrm réglés {S}
\ = du mathrm {S} \ {\ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {} de W \} = \ est parti \ { \ commencer {bmatrix} u_1 \ \ u_2 \ \ u_3 \ extrémité {le bmatrix}, \ commencer {bmatrix} v_1 \ \ v_2 \ \ v_3 \ extrémité {le bmatrix}, \ commencer {bmatrix} \ w_1 \ \ w_2 \ w_3 \ extrémité {bmatrix} \ droits \}
n'importe quel produit intérieur peut être représenté comme suit :
\ langle \ mathbf {a} \, \ mathbf {} de b \ rangle = \ mathbf {a} ^T \ cdot \ mathbf {} de M \ cdot \ mathbf {b}
là où le M est la représentation de matrice 3x3 du produit intérieur. Etant donné la matrice du produit intérieur par le S a appelé le \ mathbf {C} _S, le M peut être calculé en résolvant le système des équations suivant.
\ _S du mathbf {C} = \ commencer {le bmatrix} \ langle \ mathbf {u, u} \ et de rangle \ langle \ mathbf {u, v} \ et de rangle \ langle \ mathbf {u, W} \ \ de rangle \ \ langle \ mathbf {v, u} \ et de rangle \ langle \ mathbf {v, v} \ et de rangle \ langle \ mathbf {v, W} \ \ de rangle \ \ langle \ mathbf {W, u} \ rangle et \ langle \ mathbf {W, v} \ rangle et \ langle \ mathbf {W,} de W \ rangle \ extrémité {bmatrix} = \ commencer {le bmatrix} \ mathbf {u} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {u} et \ mathbf {u} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {v} et \ mathbf {u} ^T \ cdot \ mathbf {} de M \ \ de cdot \ mathbf {W} \ \ mathbf {v} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {u} et \ mathbf {v} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {v} et \ mathbf {v} ^T \ cdot \ mathbf {} de M \ \ de cdot \ mathbf {W} \ \ mathbf {W} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {u} et \ mathbf {W} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {v} et \ mathbf {W} ^T \ cdot \ mathbf {} de M \ cdot \ mathbf {W} \ extrémité {bmatrix}
= \ commencer {le bmatrix} \ mathbf {u} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {u} et \ mathbf {u} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {v} et \ mathbf {u} ^T \ cdot \ mathbf {} de M \ \ de cdot \ mathbf {W} \ \ mathbf {v} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {u} et \ mathbf {v} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {v} et \ mathbf {v} ^T \ cdot \ mathbf {} de M \ \ de cdot \ mathbf {W} \ \ mathbf {W} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {u} et \ mathbf {W} ^T \ cdot \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {v} et \ mathbf {W} ^T \ cdot \ mathbf {} de M \ cdot \ mathbf {W} \ extrémité {bmatrix}
Donné un ensemble de base
\ = du mathrm {S} \ {\ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {} de W \} = \ est parti \ { \ commencer {bmatrix} 1 \ \ 0 \ \ 0 \ extrémité {le bmatrix}, \ commencer {bmatrix} 1 \ \ 1 \ \ 0 \ extrémité {le bmatrix}, \ commencer {bmatrix} 1 \ \ 1 \ \ 1 \ extrémité {bmatrix} \ droits \}
et une matrice du produit intérieur par le \ mathrm {S}
\ _S du mathbf {C} = \ commencer {le bmatrix} 5 et 2 et 0 \ \ 2 et 6 et 2 \ \ 0 et 2 et 7 \ extrémité {bmatrix}
nous pouvons placer chaque élément du C S égal au produit intérieur de deux des vecteurs de base comme suit
\ mathbf {C} _S = \ langle \ mathrm {S}, \ mathrm {} de S \ rangle
\ mathbf {C} _S = 5 = \ langle \ mathbf {u,} d'u \ rangle = \ commencent {bmatrix} 1 et 0 et 0 \ extrémité {} de bmatrix \ cdot \ mathrm {} de M \ cdot \ commencer {bmatrix} 1 \ \ 0 \ \ 0 \ extrémité {le bmatrix}
\ mathbf {C} _S = 2 = \ langle \ mathbf {u,} de v \ rangle = \ commencent {bmatrix} 1 et 0 et 0 \ extrémité {} de bmatrix \ cdot \ mathrm {} de M \ cdot \ commencer {bmatrix} 1 \ \ 1 \ \ 0 \ extrémité {le bmatrix} \ cdots
\ mathbf {C} _S = 2 = \ langle \ mathbf {u,} de v \ rangle = \ commencent {bmatrix} 1 et 0 et 0 \ extrémité {} de bmatrix \ cdot \ mathrm {} de M \ cdot \ commencer {bmatrix} 1 \ \ 1 \ \ 0 \ extrémité {le bmatrix}
\ cdots
ce qui donne neuf équations et neuf inconnus. Solution de ces rendements d'équations
\ mathbf {M} = \ commencer {le bmatrix} 5 et -3 et -2 \ \ -3 et 7 et -2 \ \ -2 et -2 et 9 \ extrémité {bmatrix}
Le produit intérieur généralise le produit scalaire aux espaces de vecteur d'abrégé sur et est normalement dénoté par < un de ; , b >. En raison de l'interprétation géométrique du produit scalaire la norme || un || d'un de vecteur un dans un espace de produit intérieur de si est défini As
\|\ mathbf {} d'a \| = \ racine carrée {\ langle \ mathbf {a} \, \ mathbf {} d'a \ rangle}
tels qu'il généralise la longueur, et le θ d'angle entre le de deux vecteurs un et le b près
\ cos {\ thêta} = \ frac {\ langle \ mathbf {a} \, \ mathbf {} de b \ rangle} {\|\ mathbf {} d'a \| \, \|\ mathbf {} de b \|}.
En particulier, deux vecteurs sont considérés le orthogonal si leur produit scalaire est zéro
\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b} = 0.
Le produit intérieur de Frobenius de définit un produit intérieur sur des matrices comme s'ils sont des vecteurs bidimensionnels, résumant les produits des composants correspondants.
Note de : cette preuve est montré pour des vecteurs à trois dimensions, mais est aisément extensible au n - vecteurs dimensionnels.
Considérer un de de vecteur \ mathbf {v} = v_1 \ mathbf {I} + v_2 \ mathbf {j} + v_3 \ mathbf {k}. \, L'application répétée du théorème pythagorien rapporte pour son de du v de longueur v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2. \, Mais ceci est même que \ mathbf {} de v \ cdot \ mathbf {v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2, \, ainsi nous concluons cela qui prend au produit scalaire d'un de vecteur v avec lui-même des rendements la longueur carrée du vecteur. ; lemme 1 de de : \ mathbf {} de v \ cdot \ mathbf {v} = v^2. \,
Considérer maintenant le de deux vecteurs un et le b s'étendant de l'origine, séparée par un θ d'angle. Troisième vecteur c peut être défini en tant que \ mathbf {c} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ - du mathbf {a} \ mathbf {b}. \, créant une triangle avec le de côtés un , le b , et le c . Selon la loi de des cosinus , nous avons le de c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \ cos \ thêtas. \, Substituant des produits scalaires aux longueurs carrées selon le lemme 1, nous obtenons le de \ mathbf {} de c \ cdot \ mathbf {c} \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {a} + \ mathbf {} de b \ cdot \ mathbf {b} - 2 ab \ cos \ thêtas. \, de ; ; ; ; ; ; ; ; ; (1) Mais en tant que de ≡ du c un &minus de ; le b , nous avons également le de \ mathbf {} de c \ cdot \ mathbf {c} (\ mathbf {a} - \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {a} - \) du mathbf {b} \, , ce qui, selon la loi distributive , augmente au de \ mathbf {} de c \ cdot \ mathbf {c} \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {a} + \ mathbf {} de b \ cdot \ mathbf {b} -2 (\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b}). \, de ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; (2) Fusionnement deux du c • les équations du c , le (1) et le (2) , nous obtenons le de \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {a} + \ mathbf {} de b \ cdot \ mathbf {b} -2 (\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b}) \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {a} + \ mathbf {} de b \ cdot \ mathbf {b} - 2 ab \ cos \ thêtas. \, Soustrayant le un • + b • b des deux côtés et division par &minus ; 2 feuille \ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b} = ab \ cos \ thêta. Voir également produit en travers Multiplication de Matrix de Inégalité de Cauchy-Schwarz de . Random links:Richard Gough (ancien) | Paradoxe de rue Pétersbourg | Contrat de travail | Sid Barnes | Autoroute de soleil | Producto_de_punto
.