Produit libre
Dans l'algèbre d'abrégé sur , le produit libre du groupe des constructions de par groupe deux ou donnés. Donné, par exemple, le G de groupes et le H , le libre G*H de produit peut être construit comme suit : les exposés présentés du G et du H , prennent les générateurs du G et du H , prennent le disjoignent l'union de ceux, et touchent les relations correspondantes pour le G et pour le H . C'est une présentation du G*H , le point étant qu'il ne devrait y avoir aucune interaction entre le G et le H dans le produit libre. Si le G et le H sont les groupes cycliques infinis par exemple, le G*H est un groupe libre sur deux générateurs.
Le produit libre s'applique à la théorie des groupes fondamentaux dans la topologie algébrique . Si le X des espaces reliés et le Y sont joints à un unique (par l'intermédiaire de la somme de cale de ), le groupe fondamental de l'espace en résultant sera le produit libre des groupes fondamentaux de X et de Y . C'est un cas spécial du théorème de Van Kampen's de . Le groupe modulaire est un produit libre des groupes cycliques d'ordres 2 et 3, jusqu'à un problème avec le définir à dans les groupes de l'index 2. peuvent être montrés pour avoir la structure de produit libre au moyen d'actions de groupe sur des arbres.
La définition ci-dessus peut ne pas ressembler à intrinsèque. On peut éliminer la dépendance à l'égard le choix de la présentation en prouvant que le produit libre est le Coproduct dans la catégorie de des groupes .
La construction plus générale du produit libre de avec l'amalgamation est également une extraction dans la même catégorie . Supposer que le G et le H sont donnés comme avant, avec les homomorphisms de groupe de
Commencer par le libre G*H de produit et toucher comme relations
pour chaque f dans le F . Prendre en d'autres termes au plus petit normal N du sous-groupe du G*H contenant tous ces éléments du côté à gauche , qui tacitement sont considérés dans le G*H au moyen des inclusions du G et du H dans leur produit libre. Le produit libre avec l'amalgamation du G et du H , en ce qui concerne le &phi ; et &psi ; , est le groupe de quotient de
L'amalgamation a forcé une identification entre le &phi ; ( F ) dans le G avec le &psi ; ( F ) dans le H , élément par l'élément. C'est la construction requise pour calculer le groupe fondamental des deux espaces reliés jointifs le long d'un sous-espace relié, avec le F jouant le rôle du groupe fondamental du sous-espace. Voir : théorème de Kampen de Seifert-fourgon de .
On peut pareillement définir les produits libres d'autres structures algébriques que des groupes, y compris des algèbres de au-dessus d'un champ . Les produits libres des algèbres des variables aléatoires jouent le même rôle en définissant le " ; freeness" ; dans la théorie de la probabilité libre ce jeu des produits cartésiens en définissant l'indépendance statistique dans la théorie des probabilités classique .
Voir également
Groupe libre Objet libre
Produit direct
Propriété universelle
.