Produit en travers

Dans les mathématiques , le produit en travers est une opération binaire sur deux vecteurs dans un espace euclidien tridimensionnel ce des résultats dans un autre vecteur qui est le perpendiculaire aux deux vecteurs entrés. En revanche, le produit scalaire produit un résultat scalaire du . Dans beaucoup des problèmes de technologie et de physique, il est maniable pour pouvoir construire un vecteur perpendiculaire de deux vecteurs existants, et le produit en travers fournit des moyens pour faire ainsi. Le produit en travers est également connu en tant que le produit de vecteur de , ou produit de vecteur de Gibbs de .

Le produit en travers n'est pas défini excepté dans des trois-dimensions (et l'algèbre définie par le produit en travers n'est pas le associatif). Comme le produit scalaire, il dépend du métrique de l'espace euclidien. À la différence du produit scalaire , il dépend également du choix de l'orientation ou du " ; handedness" ;. Certains dispositifs du produit en travers peuvent être généralisés à d'autres situations. Pour des choix arbitraires d'orientation, le produit en travers doit être considéré pas comme vecteur, mais comme un Pseudovector . Pour des choix arbitraires de métrique, et dans des dimensions arbitraires, le produit en travers peut être généralisé par le produit extérieur des vecteurs, définissant une Deux-forme au lieu d'un vecteur.

Définition

Le produit en travers du de deux vecteurs un et du b est dénoté par le des × d'un ; b < ! -- les mathématiciens n'emploient pas le ∧ pour éviter la confusion avec l'opérateur de cale du produit extérieur -->. Dans un espace euclidien tridimensionnel, avec un système du même rang droitier habituel, il est défini comme de vecteur c qui est le perpendiculaire au par et au b , avec une direction donnée par la règle droite < ! -- c'est comment les étudiants de première fois, qui emploient également les coordonnées droites, apprennent --> et une grandeur égale au secteur du parallélogramme que les vecteurs enjambent.

Le produit en travers est donné par la formule $de \ mathbf {a} \ périodes \ mathbf {b} = un b \ \ de péché \ thêta \ mathbf {\ chapeau {n}}$

là où le θ de est la mesure de l'angle entre le par et le b (≤ 180° de θ ≤ 0°), un et le b sont les importances de de vecteurs un et de b , et le $\ mathbf {\ chapeau {n}}$ est un perpendiculaire du vecteur d'unité à l'avion contenant le un et le b . Si le de vecteurs un et le b sont situés sur la même droite (c., le θ de d'angle entre lui est 0° ou 180°), par la formule ci-dessus, le produit en travers du un et le b est le nul 0 de vecteur.

La direction du $de vecteur \ du mathbf {\ chapeau {n}}$ est donnée par la règle droite, où on dirige simplement l'index de la main droite dans la direction du un et le doigt moyen dans la direction du b . Puis, le $de vecteur \ mathbf {\ chapeau {n}}$ sort du pouce (voir l'image du côté droit).

Using le produit en travers exige de la dominance manuelle du système du même rang d'être tenu compte (comme explicite dans la définition ci-dessus). Si un système du même rang gaucher est employé, la direction du $de vecteur \ du mathbf {\ chapeau {n}}$ est donnée par la règle à gauche et les points dans la direction opposée.

Ceci, cependant, crée un problème parce que transformant d'un système de référence arbitraire à l'autre ( par exemple , une transformation d'image de miroir d'un droitier à un système du même rang gaucher), ne devrait pas changer la direction du $\ du mathbf {\ chapeau {n}}$ . Le problème est clarifié en se rendant compte que le croix-produit de deux vecteurs n'est pas vecteur (vrai) d'a, mais plutôt un Pseudovector de . Voir le produit en travers et la dominance manuelle pour plus de détail.

Exemples

Exemple 1

Considérer deux vecteurs, = (1. Le de produit en travers × d'un ; le b est de des × d'un ; b = (1.6) = ((2 × ; 6 - 3 × ; 5), - (× 1 ; 6 - 3 × ; 4), + (× 1 ; 5 - 2 × ; 4)) = (- 3.

Exemple 2

Considérer deux vecteurs, = (3. Le de produit en travers un b de × de est de

un b de × de = (3.0) = ((0 × de × 0 - 0 2), (0 × 0 - 3 × 0), (× 0 de 3 × 2 - 0)) = (0.

Cet exemple a les interprétations suivantes :

le secteur du parallélogramme (un rectangle dans ce cas-ci) est 2 le × 3 = le

6. Le produit en travers du tous les vecteurs de deux dans l'avion de x/y du sera parallèle à l'axe du z .

Puisque le z-composant du résultat est positif, l'angle non-obtus du un avec le b est dans le sens contraire des aiguilles d'une montre (une fois observé d'un point sur + des semiaxis de z , et quand le système du même rang est droitier).

Propriétés

Signification géométrique

L'importance du produit en travers peut être interprétée comme secteur non signé du parallélogramme ayant le un et le b comme côtés :

$| \ mathbf {a} \ périodes \ mathbf {b}| = | \ mathbf {a} | | \ mathbf {b}| \ péché \ thêta. \, \ !$

Propriétés algébriques

Le produit en travers est Anticommutative , de des × d'un ; b = × du b de − ; un ,

distributif au-dessus d'addition, de × d'un ; ( b + c ) = ( × d'un ; b ) + ( × d'un ; c ),

et compatible avec la multiplication scalaire de sorte que ( de r ; × d'un ) ; b = × d'un ; ( de r ; b ) = du r ; ( × d'un ; b ).

Ce n'est pas le associatif, mais satisfait l'identité de Jacobi de : de × d'un ; (× de b ; c ) + × du b ; (× de c ; un ) + × du c ; ( × d'un ; b ) = 0 .

Il ne se conforme pas à la loi d'annulation de : si × d'un ; b = × d'un ; c et un 0 de ≠ de alors que nous pouvons écrire :
( × d'un ; − du b ) ( × d'un ; c ) = 0 et, par la loi distributive ci-dessus : de
× d'un ; ( c de − de b ) =
du 0 maintenant, si le un est parallèle à ( c de − de b ), alors même si le un 0 de ≠ de il est possible que ( c de − de b ) le 0 de ≠ et donc ce c de ≠ du b .

Cependant, si les deux un · b = un · du c et de × d'un ; b = × d'un ; le c , alors nous pouvons conclure ce b = c . C'est parce que si ( c de − de b ) le 0 de ≠, puis c'évidemment ne peut pas être parallèle et perpendiculaire à un autre différent de zéro de vecteur un .

Le distributivity, les linéarités et l'identité de Jacobi prouvent que le R ³ ainsi que l'addition de vecteur et le produit en travers forme une algèbre de Lie .

De plus, le différent de zéro de deux vecteurs un et le b sont parallèle du IFF des × d'un ; b = 0 .

La formule de Lagrange (expansion de produit triple)

voient également :

la formule de Lagrange de

C'est une identité très utile impliquant le croix-produit. On lui écrit As de

× d'un ; (× de b ; c ) = b ( un · &minus du c ) ; c ( un · b ),

il est plus facile se rappeler ce qui en tant que « CCB sans la CABINE », maintenant dans l'esprit que des vecteurs sont pointillé ensemble. Cette formule est très utile en simplifiant des calculs de vecteur dans la physique . Un cas spécial, concernant les gradients et utile dans le calcul de vecteur de , est donné ci-dessous. le ${diplômé} (\ mbox {} de division \ mathbf {f}) - \ mbox {laplacian} \ mathbf {f}. \ extrémité {matrice}$ C'est un cas spécial du $plus général de l'opérateur du Laplace-De Rham \ de + de delta = de d \ delta \ delta d$ .

Une autre identité utile de Lagrange est $de |\ mathbf {a} \ périodes \ mathbf {b}|^2 + |\ mathbf {} d'a \ cdot \ mathbf {b}|^2 = |\ mathbf {a}|^2 |\ mathbf {b}|^2.$ C'est un cas spécial du $de multiplicativity|\ mathbf {VW}| = |\ mathbf {v}| |\ mathbf {W}|$ de la norme dans l'algèbre de Quaternion .

Manières de calculer un produit en travers

Notation du même rang

Le i des vecteurs d'unité , le j , et le k du système du même rang orthogonal donné satisfont les égalités suivantes : × du i de

; j = du k ; ; ; ; ; × du j ; k = du i ; ; ; ; ; × du k ; i = j .

Avec ces règles, les coordonnées du produit en travers de deux vecteurs peuvent être calculées facilement, sans nécessité de déterminer tous les angles : Laissé de

= un i de ₁ + un j de ₂ + un k de ₃ = ( un ₁, un ₂, un ₃)

et b de

= i du b ₁ + j du b ₂ + k du b ₃ = ( b ₁, b ₂, b ₃)

Puis de × d'un ; b = (&minus d'a₂b₃ ; i d'a₃b₂) + (&minus d'a₃b₁ ; j d'a₁b₃) + (&minus d'a₁b₂ ; k d'a₂b₁) = (&minus d'a₂b₃ ; a₃b₂, &minus d'a₃b₁ ; a₁b₃, &minus d'a₁b₂ ; a₂b₁)

Notation de Matrix

La notation du même rang peut également être écrite formellement comme déterminant d'une matrice : le

de  \ mathbf {a} \ temps \ = du mathbf {b} \ det \ commencent {bmatrix} \ et du mathbf {I} \ mathbf {j} et \ \ du mathbf {k} \ a_1 et a_2 et a_3 \ \ b_1 et b_2 et b_3 \ \ \ extrémité {bmatrix}.

La cause déterminante de trois vecteurs peut être récupérée en tant que det de ( un , b , c ) = un · (× de b ; c ).

Intuitivement, le produit en travers peut être décrit par l'arrangement de Sarrus de . Considérer le $de de table \ commencer {la matrice} \ mathbf {I} et \ et du mathbf {j} \ mathbf {k} et \ et du mathbf {I} \ mathbf {j} et \ \ du mathbf {k} \ a_1 et a_2 et a_3 et a_1 et a_2 et a_3 \ \ b_1 et b_2 et b_3 et b_1 et b_2 et b_3 \ extrémité {matrice}$ Pour les trois premiers vecteurs d'unité, multiplier les éléments sur la diagonale vers la droite (par exemple la première diagonale contiendrait le i , le un ₂, et le b ₃). Pour les trois derniers vecteurs d'unité, multiplier les éléments sur la diagonale vers la gauche et puis nier le produit (par exemple la dernière diagonale contiendrait le k , le un ₂, et le b ₁). Le produit en travers serait défini par la somme de ces produits :

$\ + du mathbf {I} (a_2b_3) \ mathbf {j} (a_3b_1) + \ - du mathbf {k} (a_1b_2) \ mathbf {I} (a_3b_2) - \ - du mathbf {j} (a_1b_3) \ mathbf {k} (a_2b_1).$

Bien qu'écrit ici en termes de coordonnées, il découle de la définition géométrique au-dessus de cela que le produit en travers est invariable sous les rotations autour de l'axe défini par le un b de × de , et renverse le signe sous permuter le un et le b .

Quaternions

voient également : Quaternions et

spatial de la rotation Le produit en travers peut également être décrit en termes de Quaternions et c'est pourquoi le i , le j , le k de lettres sont une convention pour la base standard sur le $\ mathbf {R} ^3$ : on le considère comme quaternions imaginaires.

Noter par exemple que les relations ci-dessus données de produit en travers parmi le i , le j , et le k sont conformes aux relations multiplicatives parmi le i de quaternions, le j , et le k . Généralement si nous représentons un vecteur '' a '' ₂, '' a '' ₃ comme de quaternion un i de ₁ + un j de ₂ + un k de ₃, nous obtenons le produit en travers de deux vecteurs en prenant leur produit comme quaternions et en supprimant la partie réelle du résultat. La partie réelle sera le négatif du produit scalaire des deux vecteurs.

Conversion en multiplication de matrice

Un produit en travers entre deux vecteurs (qui peuvent seulement être définis dans l'espace tridimensionnel) peut être récrit en termes de multiplication pure de matrice comme produit d'une matrice Biaiser-symétrique et d'un vecteur, comme suit :

$\ mathbf {a} \ période \ mathbf {b} = _ {\ périodes} \ mathbf {b} = \ commencent {} de bmatrix \, 0& \ ! - a_3& \, \, a_2 \ \ \, \, a_3&0& \ ! - a_1 \ \ - a_2& \, \, a_1& \, 0 \ extrémité {bmatrix} \ commencent {bmatrix} b_1 \ \ b_2 \ \ b_3 \ extrémité {bmatrix}$

$\ mathbf {b} \ période \ mathbf {a} = \ mathbf {b} ^T _ {\ périodes} = \ commencent {bmatrix} b_1&b_2&b_3 \ extrémité {bmatrix} \ commencent {} de bmatrix \, 0& \ ! - a_3& \, \, \, a_2 \ \ \, \, \, a_3& \, 0& \ ! - a_1 \ \ - a_2& \, \, a_1& \, 0 \ extrémité {bmatrix}$

là où

$_ {\ périodes} \ stackrel {\ def de rm} {=} \ commencent {} de bmatrix \, \, 0& \ ! - a_3& \, \, \, a_2 \ \ \, \, \, a_3&0& \ ! - a_1 \ \ \ ! - a_2& \, \, a_1& \, \, 0 \ extrémité {bmatrix}$

aussi si le $\ mathbf {a}$ est un résultat d'un produit en travers : = de $\ mathbf de {a} \ mathbf {c} \ périodes \ mathbf {d}$

puis

$_ {\ périodes} = (\ mathbf {c} \ mathbf {d} ^T)^T - \ mathbf {} de c \ mathbf {d} ^T.$

Cette notation fournit à une autre manière de généraliser le produit en travers aux dimensions plus élevées en substituant le Pseudovectors (tel que vitesse angulaire ou champ magnétique ) de telles matrices biaiser-symétriques. Il est clair que de telles quantités physiques auront n (n-1) des composants de /2 indépendant dans des dimensions de n, qui coïncide avec le nombre des dimensions pour l'espace tridimensionnel, et c'est pourquoi des vecteurs peut être employé (et le plus souvent sont employés) pour représenter de telles quantités.

Il est également souvent beaucoup plus facile travailler cette notation avec, par exemple, dans la géométrie d'Epipolar de .

Des propriétés générales du produit en travers suit immédiatement cela

$_ {\} de périodes \, \ mathbf {a} = \ du mathbf {0}$ ; et ; $\ mathbf {a} ^ {} de T \, = de _ {\ périodes} \ mathbf {0}$

et du fait que le _ de ${\ temps}$ est biaiser-symétrique il découle cela

$\ mathbf {b} ^ {T} \, _ {\} de périodes \, \ mathbf {b} = 0.$

La formule (règle de Lagrange de de CCB-cabine) peut être facilement prouvée using cette notation.

La définition ci-dessus du _ de ${\ des périodes}$ signifie qu'il y a une cartographie linéaire entre l'ensemble de matrices 3×3 biaiser-symétriques, AINSI également dénoté (3) , et l'opération de prendre le produit en travers avec un certains $de vecteur \ mathbf {a}$ .

Notation d'index

Le produit en travers peut alternativement être défini en termes de

\ mathbf {a \ périodes b} = \ mathbf {} de c \ = de Leftrightarrow \ c_i \ sum_ {j=1} ^3 \ sum_ {k=1} ^3 \ b_k a_j de varepsilon_ {ijk}

là où le

i d'index, j, k

correspondent, comme dans la section précédente, aux composants orthogonaux de vecteur.

Mnémonique

Le Xyzzy de mot peut être employé pour se rappeler la définition du produit en travers.

Si = de $\ mathbf de {a} \ mathbf {b} \ périodes \ mathbf {c}$

là où :

$\ mathbf {a} = \ commencent {l'a_x de bmatrix} \ \ \ a_y \ a_z \ extrémité {le bmatrix}, \ mathbf {b} = \ commencent {le b_x de bmatrix} \ \ \ b_y \ b_z \ extrémité {le bmatrix}, \ mathbf {c} = \ commencent {le c_x de bmatrix} \ \ \ c_y \ c_z \ extrémité {le bmatrix}$

puis : $a_x de = c_z b_y - b_z c_y \, de$ $= b_x c_y - c_x b_y \,$

Noter que les deuxièmes et troisième équations peut être obtenu dès la début en tournant simplement verticalement les indices inférieurs, le X de → du z de → du y de → du X . Le problème, naturellement, est comment se rappeler la première équation, et deux options sont disponibles à cette fin : ou vous vous rappelez les deux diagonales appropriées de l'arrangement de Sarrus (ceux contenant i de ), ou vous vous rappelez l'ordre de Xyzzy .

Puisque la première diagonale dans l'arrangement de Sarrus est juste la diagonale principale du au-dessus de - matrice mentionnée de $3 \ périodes 3$ , on peut très facilement se rappeler les trois premières lettres du Xyzzy de mot.

Applications

Le produit en travers se produit dans la formule pour la courbure de l'opérateur de vecteur . Il est également employé pour décrire la force de Lorentz éprouvée par une charge électrique mobile dans un champ magnétique. Les définitions du serrent à la clé dynamométrique et le moment angulaire impliquent également le produit en travers.

Le produit en travers peut également être employé pour calculer la normale pour une triangle ou un polygone, une opération fréquemment effectuée dans les infographies .

Donné un p de point et une ligne par le un et le b dans un avion, tout avec la coordonnée zéro, puis le composant du z du z ( p - un ) des × ; ( b - un ) être positif ou négatif, selon lequel le côté de la ligne le p est.

Le tour de récrire un produit en travers en termes de multiplication de matrice apparaît fréquemment dans la géométrie epipolar et de multi-vue, en particulier en dérivant des contraintes assorties.

Produit en travers comme produit extérieur

Le produit en travers peut être regardé en termes de produit extérieur . Cette vue tient compte d'une interprétation géométrique normale du produit en travers. Dans le calcul extérieur le produit extérieur (ou le produit de cale) de deux vecteurs est un Bivector . Un bivector est un élément plat orienté, plus ou moins de la même façon cela qu'un vecteur est une ligne élément orientée. Le donné de deux vecteurs un et le b , un peuvent regarder le de bivector un &and de ; le b comme parallélogramme orienté a enjambé par le un et le b . Nous obtenons le produit en travers en prenant au Hodge duel du de bivector un &and de ; b ; ceci peut être considéré comme " multidimensionnel orienté d'élément ; perpendicular" ; au bivector. Dans trois dimensions seulement (parce que seulement dans ce cas-ci le duel d'un vecteur est un bivector), le résultat est une ligne élément orientée -- un vecteur (tandis que, par exemple, dans 4 dimensions le hodge duel d'un bivector est bidimensionnel -- des autres élément plat orienté). Ainsi, dans trois dimensions seulement, le produit en travers du un et du b est le vecteur duel au de bivector par &and de ; b : il est perpendiculaire au bivector, avec la personne à charge d'orientation sur la dominance manuelle de système du même rang, et a la même grandeur relativement au vecteur normal d'unité comme un &and de ; le b a relativement au bivector d'unité ; avec précision les propriétés décrites ci-dessus.

Produit en travers et dominance manuelle < ! -- Cette section est liée du calcul de vecteur de -->

Quand les quantités mesurables impliquent les produits en travers, la dominance manuelle s systèmes du même rang utilisés ne peut pas être arbitraire. Cependant, quand des lois de physique sont écrites comme équations, il devrait être possible de faire un choix arbitraire du système du même rang (dominance manuelle y compris). Pour éviter des problèmes, on devrait faire attention à ne jamais noter une équation où les deux côtés ne se comportent pas également sous toutes les transformations qui doivent être considérées. Par exemple, si un côté de l'équation est un produit en travers de deux vecteurs, on doit tenir compte que quand la dominance manuelle du système du même rang est le pas fixe a priori, le résultat n'est pas vecteur (vrai) mais un Pseudovector d'a. Par conséquent, pour l'uniformité, l'autre de côté doit également être un pseudovector.

Plus généralement, le résultat d'un produit en travers peut être un vecteur ou un pseudovector, selon le type de ses opérandes (des vecteurs ou des pseudovectors). À savoir, des vecteurs et les pseudovectors sont mis en corrélation des manières suivantes sous l'application du produit en travers : × de vecteur de

; vecteur = pseudovector × de vecteur de

; pseudovector = vecteur

pseudovector × pseudovector = pseudovector

Puisque le produit en travers peut également être vecteur (vrai) d'a, il peut ne pas changer la direction avec une transformation d'image de miroir. Ceci se produit, selon les rapports ci-dessus, si un des opérandes est vecteur (vrai) d'a et l'autre est un pseudovector ( par exemple , le produit en travers de deux vecteurs).

Une approche dominance-libre est possible using l'algèbre extérieure .

Des dimensions plus élevées

Il y a plusieurs manières de généraliser le produit en travers aux dimensions plus élevées.

Dans le cadre de l'algèbre multilinéaire , il est possible de définir un produit en travers généralisé en termes de parité tels que le produit en travers généralisé entre deux vecteurs du n de dimension est un tenseur Biaiser-symétrique du de &minus luxuriant du n ; 2.

Using des octonions

voient également :

Sept-dimensionnel du produit en travers Un produit en travers pour 7 vecteurs dimensionnels peut être obtenu de la même manière en employant le Octonions au lieu des quaternions. La non-existence de tels produits en travers de deux vecteurs dans d'autres dimensions est liée au résultat que les seules algèbres de division de Normed sont celles avec la dimension 1, 2, 4, et 8.

Produit de cale

voient également :

extérieur de l'algèbre En général la dimension, là n'est aucun analogue direct du produit en travers binaire. Il y a cependant le produit de cale , qui a les propriétés semblables, sauf que le produit de cale de deux vecteurs est maintenant un vecteur du 2 au lieu d'un vecteur ordinaire. Le produit en travers peut être interprété comme produit de cale dans trois dimensions après utilisation de la dualité de Hodge de pour identifier les vecteurs du 2 avec des vecteurs.

On peut également construire un n - analogue ary du produit en travers dans le n +1 de ^{du R donné par le $\ bigwedge de (\ mathbf {v} _1, \ cdots, \ _n de mathbf {v}) = \ commencer {le vmatrix} v_1 {} ^1 et \ \ ^ des cdots &v_1 {} {n+1} \ \ vdots et \ ddots et \ \ de vdots \ v_n {} ^1 et \ \ du ^ &v_n de cdots {} {n+1} \ \ mathbf {e} _1 et \ cdots et \ _ du mathbf {e} {n+1} \ extrémité {vmatrix}.$}

Cette formule est identique en structure à la formule déterminante pour le produit en travers normal dans le R ³ sauf que la rangée des vecteurs de base est la dernière rangée dans la cause déterminante plutôt que la première. La raison de ceci est de s'assurer que les vecteurs commandés ( v ₁,…, n , Λ ( v ₁,…, n de _{de v de _{de v )) avoir une orientation positive en ce qui concerne ( e ₁,…, n +1} de _{de e ). Si le n est égal, les feuilles de cette modification la valeur sans changement, ainsi cette convention est conformes à la définition normale du produit binaire. Dans le cas que le n est impair, cependant, la distinction doit être maintenue. Ce n - la forme ary apprécie plusieurs des mêmes propriétés que le produit en travers de vecteur : elle est alternant et linéaire dans ses arguments, elle est perpendiculaire à chaque argument, et sa grandeur donne le hypervolume de la région liée par les arguments. Et juste comme le produit en travers de vecteur, elle peut être définie d'une manière indépendante du même rang comme Hodge duel du produit de cale des arguments.}}

Le produit de cale et le produit scalaire peuvent être combinés pour former le produit de Clifford de .

Histoire

Dans 1843 la sorbe mathématique irlandaise Hamilton de William de de monsieur de physicien a présenté le produit de Quaternion , et avec elle le " de limites ; vector" ; et " ; scalar" ;. Le ''' donné du ''' u de deux quaternions et le ''' du ''' v, où le u et le v sont des vecteurs dans le R ³, leur produit de quaternion peuvent être récapitulés en tant que ''' du ''' v de × de ''' du ''' u. Les outils de quaternion de Maxwell Hamilton utilisé par de commis de James de pour développer ses équations célèbres d'électromagnétisme de , et pour ceci et d'autres quaternions de raisons pendant un certain temps étaient une part essentielle d'éducation de physique.

Cependant, le Oliver Heaviside dans le Angleterre et le Josiah Willard Gibbs dans le le Connecticut a estimé que les méthodes de quaternion étaient trop encombrantes, souvent exigeant la grandeur scalaire ou la pièce de vecteur d'un résultat à extraire. Ainsi, environ quarante ans après le produit de quaternion, le produit scalaire et produit en travers ont été présentés - à l'opposition heated. L'acceptation (certaine) pivotale était l'efficacité de la nouvelle approche, permettant à Heaviside de ramener les équations de l'électromagnétisme de l'original 20 de Maxwell aux quatre généralement - vu aujourd'hui.

En grande partie l'indépendant de ce développement, et en grande partie inapprécié alors, Hermann Grassmann ont créé une algèbre géométrique non attachés pour dimensionner deux ou trois, avec le produit extérieur jouant un rôle central. Le William Kingdon Clifford a combiné les algèbres de Hamilton et de Grassmann pour produire l'algèbre de Clifford de , où dans le cas des vecteurs tridimensionnels le bivector a produit à partir de deux vecteurs dualizes à un vecteur, de ce fait reproduisant le produit en travers.

La notation en travers, qui a commencé par Gibbs, a inspiré le " nommé ; product" en travers ;. À l'origine apparaissant dans les notes en privé éditées pour ses étudiants dans 1881 comme éléments de de l'analyse de vecteur , la notation de Gibbs - et le nom - plus tard a accédé une assistance plus large par l'analyse de vecteur de (Gibbs/Wilson) , un manuel par un ancien étudiant. Le Edwin Bidwell Wilson a réarrangé le matériel des conférences de Gibbs, ainsi que le matériel des publications par Heaviside, Föpps, et Hamilton. Il a divisé l'analyse de vecteur en trois parts : " de ; d'abord, cela qui concerne l'addition et les produits de grandeur scalaire et de vecteur des vecteurs. En second lieu, cela qui concerne le calcul différentiel et intégral dans ses relations aux fonctions de grandeur scalaire et de vecteur. Troisièmement, cela qui contient la théorie de la fonction de vecteur linéaire. " de ; Deux genres principaux de multiplications de vecteur ont été définis, et ils se sont appelés comme suit :
Le direct, scalaire, ou produit du point de deux vecteurs
Le biais , vecteur , ou produit en travers du de deux vecteurs

Plusieurs genres de produits triples et de produits de plus de trois vecteurs ont été également examinés. L'expansion mentionnée ci-dessus de produit triple (la formule de Lagrange de ) a été également incluse.

Voir également

&mdash de la formule de Lagrange de ; Une identité utile impliquant les produits triples (voir ci-dessous).
&mdash des produits triples ; Produits impliquant trois vecteurs.
&mdash multiple des produits en travers ; Produits impliquant plus de trois vecteurs.
Produit scalaire
&mdash du produit cartésien ; Un produit de deux ensembles.
× (le symbole) de

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