Produit de tasse

Dans les mathématiques , spécifiquement dans la topologie algébrique , le produit de tasse de est une méthode de toucher deux le Cocycles du p de degré et du q pour former un cocycle composé du p de degré + q . Ceci définit un associatif (et distributif), opération commutative évaluée de produit dans le cohomology, transformant le cohomology d'un X en anneau évalué, le H ^∗ ( X ) de l'espace, appelé l'anneau de Cohomology de . Le produit de tasse a été présenté dans le travail du J. Alexandre , du Eduard Čech et du Hassler Whitney de 1935-1938, et, dans la pleine généralité, par le Samuel Eilenberg en 1944.

Définition

Dans le cohomology singulier , le produit de tasse de est une construction donnant un produit sur le H ^∗ ( X ) de l'anneau de Cohomology de évalué par d'un X de l'espace topologique .

La construction commence par un produit des cochains si le p de ^{du c est un p - cochain et le q} de ^{du d est un q - cochain, puis $de\; (d^q)\; de\; c^p\; \backslash sourire(\backslash \; sigma)\; =\; c^p\; (\backslash \; sigma\; \backslash \; circ\; \backslash \; iota\_\; \{0.1,\dots \; p\})\; \backslash \; d^q\; de\; cdot\; (\backslash \; sigma\; \backslash \; circ\; \backslash \; iota\_\; \{p,\; p+1\dots ,\; p\; +\; q\})$ là où le σ est a ( p + q ) - le simplex singulier et le $\backslash \; iota\_S,\; S\; \backslash \; sous-ensemble\; \backslash \; \{0.1,\dots ,\; p+q\; \backslash \}$ est le canonique enfonçant du recto enjambé par S dans le $(simplex\; de\; p+q)$-standard.}

Officieusement, le $\backslash sigma\backslash \; circ\; \backslash \; iota\_\; \{0.1,\dots \; p\}$ est le p - le visage d'avant de de Th et le $\backslash \; sigma\; \backslash \; circ\; \backslash \; iota\_\; \{p,\; p+1\dots ,\; p\; +\; q\}$ est le q - le visage de dos de de Th du σ, respectivement.

Le Coboundary du produit de tasse du p de c ^{de cocycles et du q} de d ^{est donné par le $de\; \backslash \; delta\; (=\; de\; d^q)\; de\; c^p\; \backslash \; sourire\; \backslash \; d^q\; de\; delta\; \{c^p\}\; \backslash \; sourire\; +\; (-\; ^p\; de\; 1)\; (c^p\; \backslash \; sourire\; \backslash \; delta\; \{d^q\}).$ Ainsi, l'opération de produit de tasse passe au cohomology, définissant un $bilinéaire\; H^p\; de\; d\text{'}opération\; (X)\; \backslash \; otimes\; H^q\; (X)\; \backslash \; à\; H^\; \{p+q\}\; (x).$}

Propriétés

L'opération de produit de tasse dans le cohomology satisfait le $\backslash \; alpha^p\; \backslash \; sourire\; \backslash \; beta^q\; de\; d\text{'}identité\; =\; (-\; ^\; de\; 1)\; \{pq\}\; (\backslash \; beta^q\; \backslash \; sourire\; \backslash \; alpha^p)$ de sorte que la multiplication correspondante soit le évaluer-commutatif.

Le produit de tasse est le Functorial dans le sens suivant : si $f\; de\; \backslash \; deuxpointsX\; \backslash \; à\; Y$ est une fonction continue, et le $f^*\; de\; \backslash \; deux\; points\; H^*(Y)\; \backslash \; à\; H^*(X)$ est l'homomorphisme induit dans le cohomology, puis le =f^* de $f^*\; de\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; sourire\; \backslash \; bêta)\; (\backslash \; alpha)\; \backslash \; f^*\; de\; sourire\; (\backslash \; bêta),$ pour tout le α de classes, β dans le H ^* ( Y ). En d'autres termes, le f ^* est l'homomorphisme d'anneau de d'a (évalué).

Exemples

En tant qu'espaces singuliers, le S ² de 2 sphères avec deux disjoignent les boucles à une dimension attachées par leurs points finaux à la surface et le T du tore ont les groupes identiques de Cohomology de dans toutes les dimensions, mais la multiplication du produit de tasse distingue les anneaux associés de cohomology. Dans l'ancien cas la multiplication du Cochains associé aux boucles est dégénérée, tandis que dans la dernière multiplication de cas dans le premier groupe de cohomology peut être employé pour décomposer le tore comme diagramme de 2 cellules, de ce fait ayant le produit égal au Z (plus généralement M où c'est le module bas).

D'autres définitions

Formes de produit et de différentiel de tasse

Dans le cohomology de De Rham de , le produit de tasse des formes différentielles est également connu comme produit de cale , et dans ce sens est un cas spécial le le produit extérieur de s de Grassmann de '.

Produit de tasse et intersections géométriques

Quand deux submanifolds d'une tubulure douce intersectent le transversalement , leur intersection est encore un submanifold. En prenant le cours fondamental d'homologie de ces tubulures, ceci rapporte un produit bilinéaire sur l'homologie. Ce produit est duel au produit de tasse, c. le cours d'homologie de l'intersection de deux submanifolds est le Poincaré duel du produit de tasse de leur Poincaré conjugue.

Voir également

Anneau de Cohomology de
Homologie singulière
Théorie d'homologie de
Produit de chapeau

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