Prix virtuel

Lâchement, le prix virtuel de est la variation de la valeur objective de la solution optimale d'un problème de l'optimisation obtenu en détendant la contrainte par une unité. Dans une application économique, un prix virtuel est le prix maxima que la gestion est disposée à payer une unité supplémentaire d'une ressource limitée donnée. Par exemple, quel est le prix de maintenir une chaîne de production opérationnelle pendant une heure additionnelle si la chaîne de production est déjà actionnée à son maximum limite de 40 heures ? Ce prix est le prix virtuel.

Plus formellement, le prix virtuel est la valeur du multiplicateur de Lagrange de à la solution optimale, ainsi il signifie que c'est le changement infinitésimal de la fonction objective surgissant d'un changement infinitésimal de la contrainte. Ceci suit du fait qu'à la solution optimale le gradient de la fonction objective est une combinaison linéaire des gradients de fonction de contrainte avec les poids égaux aux multiplicateurs de Lagrange. Chaque contrainte dans un problème de l'optimisation a une variable duelle de prix virtuel ou .

La valeur du prix virtuel peut fournir la perspicacité puissante de décideurs dans des problèmes. Par exemple si vous avez une contrainte qui limite la quantité de travail disponible à 40 heures par semaine, le prix virtuel t'indiquera combien vous coûteriez disposé à payer pendant une heure de travail additionnelle. Si votre prix virtuel est $10 pour la contrainte de travail, par exemple, vous devriez ne payer pas plus de $10 par heure le travail additionnel. Les coûts de la main-d'oeuvre de la main-d'oeuvre de moins que $10/hour augmenteront la valeur objective ; les coûts de la main-d'oeuvre de la main-d'oeuvre de plus que $10/hour diminueront la valeur objective. Les coûts de la main-d'oeuvre de la main-d'oeuvre exactement de $10 feront demeurer la valeur de fonction objective les mêmes.

Illustration #1

Supposer un

des prix de visages du consommateur \, \ ! p_1, p_2

et est doté de

de revenu \, \ ! m

, alors le problème des consommateurs est :

\ maximum \ {\, \ ! ) x_1, x_2 \ mbox d'u ({} : \ mbox {} p_1x_1+p_2x_2=m \}

. Formation du

lagrangien de fonction auxiliaire \, \ ! , (X_1, x_2 \ lambda) de L : = + d'u (x_1, x_2) \ lambda (m-p_1x_1-p_2x_2)

, prenant les premiers états d'ordre et les résolvant pour son point de selle nous obtenons le

\, \ ! x^*_1 \ mbox {,} x^*_2 \ mbox {,} \ lambda^*

qui satisfait :

\ lambda^*= \ frac de {\ frac {\ u partiel (x^*_1, x^*_2)}{\ x_1 partiel}} {p_1} = \ frac {\ frac {\ u partiel (x^*_1, x^*_2)}{\ x_2 partiel}} {p_2}

Ceci donne nous clair interprétation de Lagrange multiplicateur dans le cadre de consommateur maximisation si consommateur est donné supplémentaire dollar (la restriction budgétaire est relaxed) à optimal niveau de consommation où l'utilité marginale par dollar pour chaque bon est égale au

\, \ ! \ lambda^*

comme ci-dessus, alors le changement de l'utilité maximale par dollar de revenu supplémentaire sera égal au

\, \ ! \ lambda^*

puisqu'à l'optimum le consommateur obtient le même montant d'utilité marginale par dollar de dépenser son revenu supplémentaire sur l'un ou l'autre bon. Dans ce cas-ci le concept de prix virtuel ne porte pas beaucoup d'importation-- la fonction objective (utilité) et la contrainte (revenu) sont mesurées dans différentes unités.

Illustration #2

Prix de possession fixes, si nous définissons le

U (p_1, p_2 de , m) : = \ maximum \ {\, \ ! ) x_1, x_2 \ mbox d'u ({} : \ mbox {} p_1x_1+p_2x_2=m \}

, alors nous avons le

de d'identité \, \ ! U (p_1, p_2, m)=u (x_1^* (p_1, p_2, m), x_2^* (p_1, p_2, m))

, là où

\, \ ! x_1^* (\ cdot, \, de cdot \ cdot), x_2^* (\ cdot, \, de cdot \ cdot)

sont les fonctions de demande, c. le x_i^* de

(p_1, p_2, m) : = \ arg \ maximum \ {\, \ ! ) x_1, x_2 \ mbox d'u ({} : \ mbox {} p_1x_1+p_2x_2=m \} \ mbox {pour} i=1,2

Définir maintenant le

\, \ ! E (p_1, p_2, m) : =p_1x_1^* (p_1, p_2, m)+p_2x_2^* (p_1, p_2, m)

Assumer le differentiability et ce

\, \ ! \ lambda^*

est la solution au

\, \ ! p_1, p_2, m

, alors nous avons de la règle à chaînes multivariable :

de \, \ ! \ = de frac {\ U partiel} {\ m partiel} \ frac {\ u partiel} {\ x_1 partiel} \ + de frac {\ x_1^* partiel} {\ m partiel} \ frac {\ u partiel} {\ x_2 partiel} \ = de frac {\ x_2^* partiel} {\ m partiel} \ lambda^* p_1 \ + de frac {\ x_1^* partiel} {\ m partiel} \ lambda^* p_2 \ = de frac {\ x_2^* partiel} {\ m partiel} \ lambda^* \ parti (p_1 \ frac {\ x_1^* partiel} {\ m partiel} + p_2 \ frac {\ partiel x_2^*} {\ m partiel} \) = droit \ lambda^* \ frac {\ E partiel} {\ m partiel}

Maintenant nous pouvons conclure ce

de \, \ ! \ lambda^* = \ frac {\ frac {\ U partiel} {\ m partiel}} {\} de frac {\ E partiel} {\ m partiel} \ approximativement \ frac {\ delta \ mbox {utilité optimale}} {\ delta \ mbox {dépense optimale}}

Ceci donne encore l'interprétation évidente, sur le dollar supplémentaire de dépense optimale mènera au

\, \ ! \ lambda^*

unités d'utilité optimale.

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