Principe de Homotopy

Dans les mathématiques , le principe homotopy (ou h-principe ) est une manière très générale de résoudre les équations différentielles partielles (PDEs), et plus généralement les relations différentielles partielles (PDRs) de . Le h-principe est bon pour PDEs ou PDRs underdetermined tel que le problème d'immersion, problème isométrique d'immersions et ainsi de suite.

La théorie a été commencée par des travaux de Eliashberg , de Gromov et de Phillips et a été basée sur de premiers résultats de Hirsch , Kuiper , Nash , Smale ,… ?

Idée approximative

Supposer que nous voulons trouver une fonction $f$ sur le R ^m qui satisfait une équation différentielle partielle du degré $k$, coordonne dedans le $(u\_1,\; u\_2,\dots ,\; u\_m)$. On peut le récrire As $de$

\ livre par pouce carré (u_1, u_2,…, u_m, J^k_f) =0 \ ! \,

là où $J^k\_f$ représente tous les dérivés partiels de $f$ jusqu'à l'ordre $k$. Échangeons chaque variable dans $J^k\_f$ pour de nouvelles variables indépendantes $y\_1,\; y\_2,\dots ,\; y\_N$. Alors on peut penser notre équation originale comme système de y_N de $de\; \backslash \; \_\; de\; Psi^\; \{\}\; \{\}\; (u\_1,\; u\_2,\dots \; u\_m,\; y\_1,\; y\_2,\dots )\; =0\; \backslash \; !\; \backslash ,$ et un certain nombre d'équations du type suivant $y\_j=\; de\; \{\backslash \; y\_i\; partiel\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; u\_k\; partiel\}.\; \backslash \; !\; \backslash ,$

Une solution de $de\; \backslash \; de\; \_\; de\; Psi^\; \{\}\; \{\}\; (u\_1,\; u\_2,\dots \; u\_m,\; y\_1,\; y\_2,\dots \; y\_N)\; =0\; \backslash \; !\; \backslash ,$ s'appelle une solution non-holonomic , et une solution du système (qui est une solution de notre PDE original) s'appelle une solution holonomic . Afin de vérifier si une solution existe, le premier contrôle s'il y a une solution non-holonomic (habituellement il est tout à fait facile et sinon notre équation originale puis n'a eu aucune solution). Un PDE satisfait le h-principe le cas échéant la solution que non-holonomic peut être déformé par dans holonomic dans la classe des solutions non-holonomic.

Par conséquent, une fois que vous montrez qu'une équation satisfait le h-principe il est vraiment facile de vérifier s'il a des solutions. Il est étonnant que la plupart des équations différentielles partielles underdetermined satisfassent le h-principe.

L'exemple le plus simple

La position d'une voiture dans l'avion est déterminée par trois paramètres : deux coordonnées $x$ et $y$ pour l'endroit (un bon choix est l'endroit du point médian entre les roues arrières) et un $d\text{'}angle\; \backslash \; alpha$ qui décrit l'orientation de la voiture. Le mouvement de la voiture satisfait l'équation $de$

\ point X \ péché \ alpha= \ point y \ cos \ alpha. \,

Une solution non-holonomic dans ce cas-ci, en général, correspond à un mouvement de la voiture par le glissement dans l'avion. Dans ce cas-ci les solutions non-holonomic sont non seulement le homotope à le holonomic mais également peuvent arbitrairement être bien rapprochées par le holonomic (en allant de va-et-vient, comme le stationnement parallèle dans un espace limité). Cette dernière propriété est plus forte que le h-principe général ; ce s'appelle le h-principe dense de $C^0$-.

Manières de prouver le h-principe

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Quelques paradoxes

Ici nous énumérons quelques résultats contre-intuitifs qui peuvent être prouvés par l'application h-principe :

1. Considérons le de fonctions f sur le R ² sans   du f ( X ) d'origine ; =  ; | X |. Il y a alors une famille continue d'un-paramètre des fonctions $f\_t$ tels que $f\_0=f$, $f\_1=-f$ et pour aucun $t$, le $\backslash \; operatorname\; \{diplômé\}\; (f\_t)$ n'est pas zéro à un point quelconque. Tubulure ouverte en admet métrique Riemannian (non-complet) d'a (ou le négatif) de la courbure positive. Le paradoxe de Smale de peut être fait using l'encastrement isométrique de $C^1$ de $S^2$.

Théorèmes relatifs

le paradoxe de Smale
Nash incluant le théorème

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