Principe d\'argument

Dans l'analyse complexe , le principe d'argument de (ou principe d'argument de Cauchy de ) déclare cela si le f ( z ) est a La fonction méromorphe à l'intérieur et sur d'un certain fermé de découpe C , avec le f n'ayant aucun zéro ou poteaux sur le C , alors la formule suivante tient le $de \ oint_ {C} {f'(z) \ au-dessus de f (z)} \, dz=2 \ pi i (le NP)$ là où le N et le P dénotent respectivement le nombre de zéros et des poteaux du f ( z ) à l'intérieur du de découpe C , avec chaque zéro et poteau compté autant de fois comme sa multiplicité et commandent respectivement. Ce rapport du théorème suppose que le C de découpe est simple, c., sans individu-intersections, et qu'il est orienté dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Plus généralement, supposer que le C est une courbe, orientée dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, qui est Contractible à un point à l'intérieur d'un ensemble ouvert Ω dans le plan complexe . Pour chaque ∈ Ω du z de point, laisser le n ( C , z ) soit le nombre d'enroulement de du C autour du z de point. Puis

$\ oint_ {} de C \ frac {f'(z)} {f (z)} \, DZ = 2 \ pi i \ sont partis (\ sum_a n (C, a) - \ sum_b n (C, b) \ droit)$ là où la première addition est au-dessus de tout le de zéros un du f compté avec leurs multiplicities, et la deuxième addition est au-dessus du b de poteaux du f .

Preuve

Laisser le z _N être un zéro de f . Nous pouvons écrire le f ( z ) = (&minus de z ; g ( z ) du k de ^{du z _N) où le k est la multiplicité du zéro, et ainsi ≠ 0 du g ( z _N). Nous obtenons le ^ de z)=k de $f'(de (z-z_N) {k-1} g ^kg'((de z)+ (z-z_N) z) \, \ !$ et $de {f'(z) \ au-dessus de f (z)} = {k \ au-dessus de z-z_N} + {g'(z) \ au-dessus de g (z)}.$ Depuis le ≠ 0 du g ( z _N), il suit ce &prime du g ; ) (de z / g ( z ) n'a aucune singularité à le z _N, et est ainsi analytique au z _N, implique que le résidu de dont &prime du f ; ) (de z / f ( z ) au z _N est le k . Laisser le z _P être un poteau du f . Nous pouvons écrire le f ( z ) = (&minus de z ; ^{&minus du z _P) ; h ( z ) du m} où le m est l'ordre du poteau, et ainsi ≠ 0 du h ( z _P). Puis, ^ de z)=-m de $f'(de (z-z_P) {- m-1} h h'(de ^ (de z)+ (z-z_P) {- m} z) \, \ !.$ et $de {f'(z) \ au-dessus de f (z)} = {- m \ au-dessus de z-z_P} + {h'(z) \ au-dessus de h (z)}$ pareillement comme ci-dessus. Il suit ce &prime du h ; ) (de z / h ( z ) n'a aucune singularité au z _P depuis le ≠ 0 du h ( z _P) et il est ainsi analytique au z _P. Nous constatons que le résidu de &prime du f ; ) (de z / f ( z ) au z _P est &minus ; m .
Remontant ces derniers, chaque nul z _N du k de multiplicité du f crée un poteau simple pour &prime du f ; ) (de z / f ( z ) avec le résidu étant k , et chaque z _P de poteau du m d'ordre de le f crée un poteau simple pour le &prime du f ; ) (de z / f ( z ) avec le résidu étant &minus ; m . (Ici, par un poteau simple nous signifier un poteau de l'ordre un.) En outre, il peut montrer que &prime du f ; ) (de z / f ( z ) n'a aucun autre poteau, et tellement aucuns autres résidus.
Par le théorème de résidu de nous avons que l'intégrale au sujet du C est le produit de 2πi et de la somme des résidus. Ensemble, la somme du k 's pour chaque nul z _N est le nombre de zéros comptant des multiplicities des zéros, et de même pour les poteaux, et ainsi nous avoir notre résultat.

Conséquences
Ceci a des conséquences en considérant le nombre d'enroulement de du f ( z ) au sujet de l'origine par exemple si le C est une découpe fermée portée sur l'origine. Nous voyons que l'intégrale du &prime du f ; ) (de z / f ( z ) au sujet du C est la variation des valeurs du f ( z ) de notation. Puisque le C est fermé nous devons seulement considérer le de l'arg i de changement dedans f ( z ) au-dessus de &minus du C ; ce qui sera un certain multiple de 2πi puisque le C est fermé (mais peut s'enrouler plus d'une fois au sujet de l'origine). Mais depuis par argument principe

$\ oint_C {f'(z) \ au-dessus de f (z)} \, dz=2 \ pi i (le NP)$ facteur de 2πi décommandent et ainsi nous sont parti avec

$N-P = I (C, 0) \, \ !$ là où le I ( C , 0) dénote le nombre d'enroulement du f au-dessus du C environ 0. Une conséquence du théorème plus général est que, sous la même hypothèse, si le g est une fonction analytique dans Ω, puis

$\ frac {1} {} de 2 \ pi i \ oint_C g (z) \ frac {f'(z)} {f (z)} \, DZ = \ sum_a n (C, a) g (a) - \ sum_b n (C, b) g (b).$
Par exemple, si le f est un polynôme ayant le z ₁ de zéros,…, z _p à l'intérieur d'un simple C de découpe, et du g ( z ) = z ^k, puis $de \ frac {1} {2 \ pi i} \ z^k d'oint_C \ frac {f'(z)} {f (z)} \, DZ = z_1^k+z_2^k+ \ dots+z_p^k,$ est la fonction symétrique de la somme de puissance de des racines du f .
Une autre conséquence est si nous calculons l'intégrale complexe :

$\ oint_C f (z) {g'(z) \ au-dessus de g (z)} \, dz$
pour une élection appropriée pour g et f nous prenons le Abel - formule de Plana :

$\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} f (n) - \ int_ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx= f (0) /2+i \ int_ {0} ^ {\} infty \ frac {f (It) - f (- il)}{e^ {2 \ pi t} - 1} \, décollement$
cela exprime le rapport entre une somme discrète et son intégrale.

Histoire
Selon le livre par Frank Smithies (Cauchy et la création de théorie de fonction complexe, de presse d'Université de Cambridge, 1997), le Augustin Louis Cauchy a présenté une théorie semblable à ce qui précède sur le 1831 du 27 novembre , pendant son exil dont on a pris soi-même la responsabilité à Turin (capital du royaume de la Piémont-Sardaigne en 1831 mais maintenant juste d'une ville en Italie nordique après l'unification de l'Italie) à partir de la France. (Voir svp la page 177.) Cependant, selon ce livre, seulement des zéros n'ont été mentionnés, pas des poteaux. Cette théorie par Cauchy seulement a été éditée beaucoup d'ans après en 1974 sous une forme manuscrite et ainsi est tout à fait difficile à lire. (Ceci s'est produit probablement en raison de l'exil dont on a pris soi-même la responsabilité de Cauchy en 1831.) Cependant, selon ce document présenté en 1831, seulement des zéros n'ont été mentionnés, pas des poteaux. Il peut trouver par recherche bibliographique que Cauchy a édité un document avec une discussion sur des les deux " ; zeroes" ; et " ; poles" ; en 1855, deux ans avant sa mort. " impliqué du théorème 1 seulement ; zeroes" ;. Le théorème 2 du papier de Cauchy 1855 a déclaré que le " ; logarithmiques" de compteurs ; (le résidu logarithmique selon les manuels modernes) d'une fonction Z d'une variable complexe est égal à la différence du nombre de racines de Z et de racines de 1/Z (des zéros et des poteaux de la fonction Z selon les manuels modernes). Ainsi le " moderne ; Argument Principle" ; peut être trouvé comme théorème dans un papier 1855 par le Augustin Louis Cauchy , qui était l'un des plus grands mathématiciens français.
Applications
Les livres modernes sur la théorie de commande de rétroaction emploient tout à fait fréquemment le " ; Argument Principle" ; pour servir de base théorique de critère de stabilité de Nyquist de . Le papier de l'original 1932 par le Harry Nyquist (H. Nyquist, " ; Theory" de régénération ; , Revue technique de système de Bell, vol. 126-147, 1932) utilisé une approche plutôt maladroite et primitive pour dériver le critère de stabilité de Nyquist de . En son papier 1932, le Harry Nyquist n'a pas mentionné le nom de Cauchy du tout. Plus tard, Leroy MacColl (théorie fondamentale de servomécanismes, de 1945) et le Hendrik présagent (l'analyse de réseau et l'amplificateur de contre-réaction conçoivent, 1945) commencé à partir du " ; Argument Principle" ; pour dériver le critère de stabilité de Nyquist de . MacColl (laboratoires de Bell) a mentionné le " ; Argument Principle" ; comme théorème de Cauchy. Ainsi le " ; Argument Principle" ; a l'impact fort sur des mathématiques pures et l'automatique. De nos jours, le " ; Argument Principle" ; peut être trouvé en beaucoup de manuels modernes sur l'analyse complexe ou l'automatique .
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