Preintuitionism

En quelques cercles de la philosophie mathématique le Pre-Intuitionists sont considérés un petit mais influent groupe qui a officieusement partagé les philosophies semblables sur la nature des mathématiques. Le terme lui-même a été employé par le L. Brouwer , que dans ses 1951 conférences au Cambridge a décrit les différences entre l'intuitionism et ses prédécesseurs :

" ; D'un totalement différent d'orientation le " ; Vieux School" formaliste ; [[Dedekind], de chantre , de Peano de , Hilbert , Russell , Zermelo , et Couturat , ed.] de était l'école Pré-Intuitionist, principalement menée par le Poincaré , le Borel et le Lebesgue . Ces penseurs semblent avoir maintenu un point de vue d'observation modifié pour l'introduction de des nombres normaux , pour le le principe de l'induction complète pour ces derniers, même pour des théorèmes tels qu'ont été déduits au moyen de logique classique, ils ont postulé un indépendant d'existence et de précision de langue et de logique et ont considéré son non-contradictority comme certain, même sans preuve logique. Pour le continuum, cependant, ils semblent ne pas avoir cherché une origine strictement étrangère à la langue et au logic." ;

L'introduction des nombres normaux

Le Pre-Intuitionists, comme défini par le Brouwer , a différé du point de vue formaliste du de plusieurs manières. Dans l'introduction des nombres normaux, ou comment les nombres normaux sont définis/dénotés. Pour le Poincaré la définition d'une entité mathématique est la construction de l'entité elle-même et pas une expression d'une essence ou d'une existence fondamentale.

Ce qui est de dire qu'aucun objet mathématique n'existe sans notre construction de lui, à l'esprit et à la langue.

Le principe de l'induction complète

Ce sens de permis par définition Poincaré de discuter avec le Bertrand Russell au sujet de la théorie axiomatique de de Giuseppe Peano de des nombres normaux .

L'axiome du cinquième de Peano de énonce :
Permettre cela ; zéro a une propriété P ;
Et ; si chaque nombre normal moins qu'un numéro X a la propriété P puis x a également la propriété P.
Par conséquent ; chaque nombre normal a la propriété P.

C'est le principe de l'induction complète , il de établit la propriété de l'induction selon les besoins au système. Puisque l'axiome du de Peano de est comme infini comme nombres normaux , il est difficile de montrer que la propriété de P appartient à n'importe quels x et également x+1. Ce qu'on peut faire est de dire que, si après qu'un certain nombre n de traînées qui montrent une propriété P conservée dans x et x+1, puis nous pouvons impliquer qu'il tiendra toujours pour vrai après que n+1 traîne. Mais c'est elle-même induction. Et par conséquent l'argument est un cercle méchant .

De ce Poincaré argue du fait que si nous n'établissons pas l'uniformité des axiomes du de Peano de pour des nombres normaux sans tomber dans la circularité, alors le principe de l'induction complète est améliorable par la logique générale .

Ainsi l'arithmétique et les mathématiques n'est pas en général le analytique mais le synthétique. Le Logicism réprimandé ainsi et intuition est retardé. Quel Poincaré , et le Pre-Intuitionists a partagé était la perception d'une différence entre la logique et les mathématiques qui ne sont pas une question de la langue seul , mais de la connaissance lui-même de .

Arguments au-dessus du milieu exclu

Il était pour cette affirmation, notamment, que le Poincaré a été considéré semblable aux intuitionists. Pour le Brouwer cependant, le Pre-Intuitionists n'est pas allé dans la mesure où nécessaire en privant des mathématiques de la métaphysique, parce que eux employait toujours l'exclusi de tertii de principium de ou le " ; Loi de de " moyen exclu de ;. (Note : Elle lit réellement le " ; principe du third" exclu ; , mais lui n'est pas généralement connu par ce nom.)

Le principe du milieu exclu mène à quelques situations étranges. Comme la question en vue de le futur, " ; Il y aura-t-il une bataille navale demain ? " ; ne semble pas être vrai ou faux, le pourtant le . Donc il y a une certaine question si les choses sont vraies ou fausses dans quelques situations . À un intuitionist ceci semble le ranger aussi juste que le rigoureux de l'ONU en tant que cercle méchant du de Peano de .

Pourtant au Pre-Intuitionists ceci mélange des pommes et des oranges, parce que elles des mathématiques étaient une chose - embrouillé, invention de l'esprit humain (aka. le synthétique) et la logique étaient un autre - analytique.

L'autre Pre-Intuitionists

Les exemples ci-dessus incluent seulement les travaux du Poincaré , mais le Brouwer a appelé d'autres mathématiciens comme Pre-Intuitionists aussi ; Borel et Lebesgue . D'autres mathématiciens tels que le Hermann Weyl et le Leopold Kronecker ont également joué un rôle - bien qu'ils ne sont pas cités par le Brouwer dans son discours définitif.

En fait le Kronecker pourrait être le plus célèbre du Pre-Intuitionists pour son singulier et expression souvent citée, " ; Dieu a fait les nombres normaux ; est tout autrement le travail de man." ;

Le Kronecker va dans presque la direction opposée du Poincaré , croyant en nombres normaux mais pas loi du milieu exclu. Il était le premier mathématicien pour exprimer le doute sur les preuves non-constructive d'existence de du . C'est-à-dire, preuves qui prouvent que quelque chose doit exister parce qu'il peut montrer que c'est " ; impossible" ; pour lui pas à.

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