Potentiel de vecteur

Dans le calcul de vecteur de , un potentiel de vecteur de est un champ de vecteur dont la courbure est un champ de vecteur donné. C'est analogue à un potentiel scalaire de , qui est un champ scalaire dont le gradient négatif est un champ de vecteur donné.

Formellement, donné un v de champ de vecteur, un potentiel de vecteur de est un A de champ de vecteur tels que = de \ mathbf de {v} \ nabla \ périodes \ mathbf {A}.

Si un v de champ de vecteur admet un potentiel A de vecteur, puis du \ du nabla \ du cdot de d'égalité (\ nabla \ périodes \ mathbf {A}) = 0 (la divergence de la courbure est zéro) on obtient = de \ nabla \ cdot \ mathbf de {v} \ nabla \ cdot (\ nabla \ périodes \ mathbf {A}) = 0, ce qui implique que le v doit être un champ de vecteur solénoïdal .

Une question intéressante est alors le cas échéant champ de vecteur solénoïdal admet un potentiel de vecteur. La réponse est affirmative, si le potentiel de vecteur remplit certaines conditions.

Théorème

Laisser le de \ mathbf {v} : \ mathbb R^3 \ \ mathbb R^3 être le champ de vecteur solénoïdal qui est deux fois le sans interruption différentiable. Supposer que le v ( X ) diminue suffisamment rapide As || X ||&rarr ; &infin ;. Définir

\ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = \ frac {1} {4 \ pi} \ nabla \ période \ int_ {\} de mathbb R^3 \ frac {\ mathbf {v} (\ mathbf {y})}{\ est parti \|\ - du mathbf {x} \ mathbf {y} \ droits \|} \, d \ mathbf {y}. Puis, le A est un potentiel de vecteur pour le v , c., de \ nabla \ périodes \ = du mathbf {A} \ mathbf {v}.

Une généralisation de ce théorème est la décomposition de Helmholtz de qui déclare que n'importe quel champ de vecteur peut être décomposé comme somme d'un champ de vecteur solénoïdal et d'un champ de vecteur irrotationnel .

Nonuniqueness

Le potentiel de vecteur admis par un champ solénoïdal n'est pas unique. Si le A est un potentiel de vecteur pour le v , alors est ainsi + de \ mathbf de

{A} \ nabla m là où le m est n'importe quelle fonction scalaire sans interruption différentiable. Ceci suit du fait que la courbure du gradient est zéro.

Ce nonuniqueness mène à un degré de liberté dans la formulation de l'électrodynamique, ou à la liberté de mesure, et exige le choisissant une mesure .

Voir également


théorème fondamental de l'analyse de vecteur
Potentiel magnétique
Solénoïde

.

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