Polynômes orthogonaux

Dans les mathématiques , un ordre polynôme orthogonal est un ordre infini des polynômes $p\_0\; de\; (x),\; \backslash \; p\_1\; (x),\; \backslash \; p\_2\; (x),\; \backslash \; \backslash \; ldots,$ dans lequel chaque $p\_n\; (x)$ a le n de degré, et tels que deux polynômes différents quelconques dans l'ordre sont orthogonaux entre eux dans le sens suivant : le

un de peut définir un produit intérieur sur des fonctions, (analogues au " ordinaire ; " du produit scalaire ; pour des vecteurs), en intégrant le produit des fonctions : $de$

de
\ langle f, g \ rangle= \ ^ de l'int_ {x_1} {x_2} f (x) g (x) \, dx le

plus généralement, un peut mettre un " fixe ; function" de poids ; W ( X ) dans l'intégrale : $de$

de
\ langle f, g \ rangle= \ ^ de l'int_ {x_1} {x_2} f (x) g (x) W (x) \, dx les fonctions du

ux de sont le orthogonal entre eux si leur produit intérieur est zéro, de la même manière ce des vecteurs ordinaires sont orthogonales (perpendiculaire) si leur produit scalaire est zéro. le

un produit si intérieur fait à l'ensemble de toutes les fonctions de la norme finie un espace de Hilbert .

Ainsi un ordre polynôme est un ordre orthogonal en ce qui concerne le W de fonction de poids quand deux polynômes différents quelconques dans l'ordre sont orthogonaux, using cette fonction de poids, c.,

$\backslash \; langle\; p\_m,\; p\_n\; \backslash \; rangle=\; \backslash \; int\_\; \{x\_1\}\; ^\; \{x\_2\}\; p\_m\; (x)\; p\_n\; (x)\; \backslash ,\; W\; (x)\; \backslash ,\; dx=0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{toutes\; les\; fois\; que\}\; \backslash \; qquad\; m\; \backslash quantiténette\; de\; substance\; explosive\; n.$

L'intervalle de l'intégration s'appelle l'intervalle de de l'orthogonalité . Il pourrait être infini une ou aux deux extrémités.

Le champ des polynômes orthogonaux s'est développé vers la fin du 19ème siècle d'une étude des fractions continues par le Stieltjes . Il s'est transformé en des riches d'un champ dans les applications à beaucoup de secteurs de la physique de mathématiques et de .

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre de , pour lesquels l'intervalle de l'orthogonalité est et la fonction de poids est simplement 1 :

$P\_0\; de\; (x)\; =\; 1\; \backslash ,$

$P\_1\; de\; (x)\; =\; x\; \backslash ,$

$P\_2\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{3x^2-1\}\; \{2\}\; \backslash ,$

$P\_3\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{5x^3-3x\}\; \{2\}\; \backslash ,$

$P\_4\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{35x^4-30x^2+3\}\; \{8\}\; \backslash ,$ $de$

de
de
\ vdots

Ce sont tous finis orthogonal :

$\backslash \; int\_\; \{-\; ^\; de\; 1\}\; \{1\}\; P\_m\; (x)\; P\_n\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{toutes\; les\; fois\; que\}\; \backslash \; qquad\; m\; \backslash \; Ne\; n$

Nous avons besoin de que la fonction de poids soit strictement positif à l'intérieur de l'intervalle de l'orthogonalité. Dans certains cas, elle peut être zéro, ou s'attaquer au loin à l'infini, aux points d'extrémité. L'intégrale de la fonction de poids chronomètre le polynôme doit être finie.

Maintenant le n'importe quel ordre de des polynômes $p\_0,\; p\_1,\; \backslash \; pointille,$ avec chaque k de _{du p ayant le k de degré, sert de base à l'espace de vecteur (infini-dimensionnel) de tous les polynômes. Un ordre orthogonal est juste un ordre qui comporte une base orthogonale pour cet espace, relativement au produit intérieur donné.}

Le Gramme-Schmidt de processus peut transformer n'importe quelle base pour un espace de vecteur en base orthogonale, en commençant par un vecteur et puis nouveaux vecteurs à plusieurs reprises de incorporation tout en faisant chaque nouveau vecteur orthogonal à tout le précédent. Ceci est fait par la soustraction appropriée combinaisons linéaires des vecteurs précédents. Faire ceci pour des polynômes est employé souvent As un exercice dans des cours élémentaires d'algèbre linéaire. Elle a comme conséquence les polynômes de Legendre.

En faisant une base orthogonale, on peut être tenté pour faire à un la base orthonormale de , c., un dans lequel p_n de $\backslash \; langle,\; p\_n\; \backslash \; rangle\; \backslash \; =\; \backslash \; 1$. Pour des polynômes, ceci résulterait souvent dedans racines carrées laides dans les coefficients. Au lieu de cela, des polynômes sont souvent mesurés d'une certaine manière ce les mathématiciens conviennent dessus, cela rend les coefficients et d'autres formules plus simples. Ceci s'appelle l'étalonnage de . Le " ; classical" ; les polynômes ont énuméré ci-dessous ont été normalisés, typiquement en plaçant leurs principaux coefficients à une certaine quantité spécifique, ou en plaçant a valeur spécifique pour le polynôme. Cet étalonnage n'a aucune signification mathématique ; c'est juste une convention. L'étalonnage implique également de mesurer la fonction de poids d'une manière convenue.

Une fois qu'un ordre polynôme a été normalisé, nous pouvons définir la norme . Laissé , de p_n de $h\_n=\; \backslash \; langle\; de$

\ p_n \ rangle.

La norme est la racine carrée de ceci. Les valeurs du $\backslash \; h\_n$ pour le classique normalisé des polynômes seront énumérés dans la table ci-dessous. Using le $\backslash \; h\_n$, nous avons , de p_m de $\backslash \; langle\; de$

\ p_n \ rangle \ = \ \ delta_ {manganèse} h_n

là où δ_mn est le delta de Kronecker de .

Propriétés générales des ordres polynômes orthogonaux

Tous les ordres polynômes orthogonaux ont un certain nombre de propriétés élégantes et fascinantes. Avant de procéder à eux :

Lemme 1 : Donné un $d\text{'}ordre\; \backslash \; p\_ipolynômes\; orthogonaux\; (x)$, n'importe quel polynôme S ( X ) du n ^th-degree peut être augmenté en termes de $p\_0,\; \backslash \; points,\; p\_n$. C'est-à-dire, il y a , _0 \ pointille de $de\; coefficients\; \{\backslash \; alpha\},\; \{\backslash \; alpha\}\; \_n$ tels que $S\; de$

(_i de ^n de x)= \ sum_ {i=0} {\ alpha} \ p_i (x).

Preuve par l'induction mathématique . Choisir le $\backslash \; \{\backslash \; alpha\}\; le\; \_n$ de sorte que la limite du $\backslash \; x^n$ de Le S ( X ) assortit cela du $\backslash \; \{\backslash \; alpha\}\; du\; \_nP\_n\; (x)$. Puis $\backslash \; S\; (x)\; -\; \{\backslash \; alpha\}\; \_n\; P\_n\; (x)$ est (  de n ; &minus ;   ; 1) polynôme de Th-degré.

Lemme 2 : Donné un ordre polynôme orthogonal, chacun de ses polynômes est orthogonal au n'importe quel polynôme de de degré strictement inférieur.

Preuve : donné n , tout polynôme de   du n de degré ; &minus ;   ; 1 ou s'abaissent peut être augmenté en termes de $p\_0,\; \backslash \; points,\; p\_\; \{n-1\}$. < ! -- VEUILLEZ NE PAS CHANGER LE PROCHAIN " ; p" ; À UNE MAJUSCULE. CE SERAIT VRAIMENT STUPIDE. --le >$p\_n\; \backslash ,$ est orthogonal à chacun de eux.

Relations de récurrence

N'importe quel ordre orthogonal a une formule de répétition rapporter trois polynômes consécutifs quelconques dans l'ordre :

$p\_\; \{n+1\}\; \backslash \; =\; \backslash )\; (d\text{'}a\_nx+b\_n\; \backslash \; p\_n\; \backslash \; -\; \backslash \; c\_n\; \backslash \; p\_\; \{n-1\}.$

Le de coefficients un , le b , et le c dépendent du n . Ils dépendent également de l'étalonnage, évidemment. (preuve)

Les valeurs de $a\_n$, de $b\_n$ et de $c\_n$ peuvent être établies directement. Laisser $k\_j$ et $k\_j\text{'}$ être les premiers et deuxièmes coefficients de $p\_j$ : $p\_j\; de$

(+ de x)=k_jx^j+k_je x^ {j-1} \ cdots

et $h\_j$ soit le produit intérieur de $p\_j$ avec lui-même : $h\_j\; de$

\ = \ \, p_j de langle \ p_j \ rangle.

Nous avons $a\_n=\; de$

\ frac {k_ {n+1}} {k_n}, \ b_n=a_n de qquad \ parti (\ frac {k_ {n+1} '} {k_ {n+1}} - \ frac {k_n'} {k_n} \ droit), \ c_n=a_n de qquad \ parti (\ frac {h_n de k_ {n-1}} {h_ de k_n {n-1}} \ droit).

Existence de vraies racines

Chacun polynôme dans un ordre orthogonal a tout le n de ses racines vraies, distinct, et strictement à l'intérieur de l'intervalle de l'orthogonalité. (preuve)

(N'importe qui qui a représenté graphiquement des polynômes dans le lycée sait qu'il est très rare pour a polynôme aléatoire-choisi de haut-degré pour avoir toutes ses racines vraies.)

Entrelacement des racines

Les racines de chaque mensonge polynôme strictement entre les racines du prochain plus haut polynôme dans l'ordre. (preuve)

Équations menant aux polynômes orthogonaux

Une classe très importante des polynômes orthogonaux résulte d'une équation de la forme

$\{Q\; (x)\}\; \backslash ,\; f\; +\; \{L\; (x)\}\; \backslash ,\; f\; +\; \{\backslash \; lambda\}\; f\; =\; 0\; \backslash ,$

là où le de Q est un quadratique donné (tout au plus) le polynôme, et le L est un polynôme linéaire donné. Le de la fonction f, et le λ constant, doivent être trouvés.

(note qu'elle se comprend pour qu'une telle équation ait une solution polynôme. Le
chaque limite dans l'équation est un polynôme, et les degrés sont.) à conformés

C'est un type de Sturm-Liouville d'équation. De telles équations avoir généralement les singularités dans leurs fonctions f de solution excepté des valeurs particulières du λ. Elles peuvent être considérées un vecteur propre de /problèmes de la valeur propre : Laisser Le de D soit l'opérateur différentiel , $D\; (f)\; =\; Q\; f\; +\; L\; f\text{'}\backslash ,$, et changement du signe du λ, le problème est de trouver les vecteurs propres (fonctions propres) f, et λ correspondant de valeurs propres, tel que f n'a pas les singularités et le D ( f ) = le f de λ.

Les solutions de cette équation ont des singularités à moins que le λ prenne valeurs spécifiques. Il y a des séries de nombres $\{\backslash \; lambda\}\; \_0,\; \{\backslash \; lambda\}\; \_1,\; \{\backslash \; lambda\}\; \_2,\; \backslash \; points\; \backslash ,$ cela mènent à une série de solutions polynômes $P\_0,\; P\_1,\; P\_2,\; \backslash \; points\; \backslash ,$ si un des ensembles de conditions suivants sont rencontrés : le Q de

est réellement quadratique, le L est linéaire, le Q a deux vraies racines distinctes, la racine du L se trouve strictement entre les racines du Q , et les principales limites du Q et du L ont le même signe.

Le Q n'est pas réellement quadratique, mais est linéaire, le L est linéaire, les racines du Q et du L sont différentes, et les principales limites du Q et du L ont le même signe si la racine du L est moins que la racine du Q , ou vice-versa.

Le Q est juste une constante différente de zéro, le L est linéaire, et la principale limite du L a le signe opposé du Q .

Ces trois cas mènent au Jacobi-comme , au Laguerre-comme , et au Hermite-comme des polynômes de , respectivement.

Dans chacun de ces trois cas, nous avons ce qui suit :

les solutions sont une série de polynômes $P\_0,\; P\_1,\; P\_2,\; \backslash \; points\; \backslash ,$, chaque $P\_n\; \backslash ,$ ayant le n de degré, et correspondant à un _n de $de\; nombre\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,$.
L'intervalle de l'orthogonalité est lié par celui qui enracine le Q ait.
La racine du L est à l'intérieur de l'intervalle de l'orthogonalité.
Laissant $R\; (x)\; =\; e^\; \{\backslash international\backslash \; frac\; \{L\; (x)\}\; \{Q\; (x)\}\; \backslash ,\}\; de\; dx\; \backslash ,$, les polynômes sont orthogonaux sous le $W\; de\; fonction\; de\; poids\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{R\; (x)\}\; \{Q\; (x)\}\; \backslash ,$
Le W ( X ) n'a aucun zéro ou infini à l'intérieur de l'intervalle, bien qu'il puisse avoir des zéros ou des infinis aux points d'extrémité.
Le W ( X ) donne un produit intérieur fini à tous les polynômes.
Le W ( X ) peut être fait pour être plus grand que 0 dans l'intervalle. (Nier l'équation entière au besoin de sorte que le Q ( X ) > 0 intérieurs l'intervalle.)

En raison de la constante de l'intégration, le R ( X ) de quantité est déterminé seulement jusqu'à une constante multiplicative positive arbitraire. Il sera employé seulement dans des équations homogènes (où ceci ne fait pas matière) et dans la définition de la fonction de poids (qui peut également être indéterminé.) Les tables ci-dessous donneront le " ; official" ; valeurs du R ( X ) et du W ( X ).

Formule du de Rodrigues de

Dans les acceptations de la section précédente, P _n ( X ) est proportionnel à $\backslash \; frac\; \{1\}\; \{W\; (x)\}\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{d^n\}\; \{\}\; de\; dx^n\; \backslash \; à\; gauche\; (W\; (x)^n\; \backslash \; droit).$

Ceci est connu en tant que formule de Rodrigues de . On lui écrit souvent $P\_n\; de$

(x) = \ frac {1} _n} W (x \ \ frac {d^n} {dx^n} \ est parti (W (x)^n \ droit)

là où le n de _{du e de nombres dépendent de l'étalonnage. Les valeurs standard de le n} de _{du e sera donné dans les tables ci-dessous.}

Le n de λ _{de nombres}

Dans les acceptations de la section précédente, nous avons _n de $de$

{\ lambda} = - n \ + L \ droit laissé (\ frac {n-1} {2} Q).

(Puisque le de Q est quadratique et L est linéaire, le $Q$ et le $L\text{'}$ sont des constantes, ainsi ce sont juste des nombres.)

Deuxième forme pour l'équation

Laisser $R\; (x)\; =\; e^\; \{\backslash \; international\; \backslash \; frac\; \{L\; (x)\}\; \{Q\; (x)\}\; \backslash ,\}\; de\; dx\; \backslash ,$.

Puis

$(Ry\text{'})\; « =\; R\; \backslash ,\; y\; +\; R »\; \backslash ,\; y\; =\; R\; \backslash ,\; y\; +\; \backslash \; frac\; \{R\; \backslash ,\; L\}\; \{\}\; de\; Q\; \backslash ,\; y\text{'}.$

Multiplier maintenant l'équation

$\{Q\}\; \backslash ,\; y\; +\; \{L\}\; \backslash ,\; y\; +\}\; \{\backslash lambda\backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

par le du de R/ Q, obtenant

$R\; \backslash ,\; y\; +\; \backslash \; frac\; \{R\; \backslash ,\; L\}\; \{Q\}\; \backslash ,\; y\; +\; \backslash \; frac\; \{R\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{\}\; de\; Q\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

ou

$(Ry\text{'})\; \text{'}+\; \backslash \; frac\; \{R\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{\}\; de\; Q\; \backslash ,\; y\; =\; 0.\; \backslash ,$

C'est la forme standard de Sturm-Liouville pour l'équation.

Troisième forme pour l'équation

Laisser $S\; (x)\; =\; \backslash \; racine\; carré\; \{R\; (x)\}\; =\; e^\; \{\backslash \; international\; \backslash \; frac\; \{L\; (x)\}\; \{2\; \backslash ,\; Q\; (x)\}\; \backslash ,\}\; de\; dx\; \backslash ,$.

Puis = des $S\; de$

\ frac {S \, L} {2 \, Q}.

Multiplier maintenant l'équation

$\{Q\}\; \backslash ,\; y\; +\; \{L\}\; \backslash ,\; y\; +\}\; \{\backslash \; lambda\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

par le du de S/ Q, obtenant

$S\; \backslash ,\; y\; +\; \backslash \; frac\; \{S\; \backslash ,\; L\}\; \{Q\}\; \backslash ,\; y\; +\; \backslash \; frac\; \{S\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{\}\; de\; Q\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

ou

$S\; \backslash ,\; y\; +\; 2\; \backslash ,\; S\text{'}\backslash ,\; y\; +\; \backslash \; frac\; \{S\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{\}\; de\; Q\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

Mais $(\; de\; S\; \backslash ,\; y)\; =\; S\; \backslash ,\; de\; y\; +\; 2\; \backslash ,\; S\text{'}\backslash ,\; y\; +\; S\; \backslash ,\; y$, ainsi

$(S\; \backslash ,\; y)\; +\; de\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{S\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{Q\}\; -\; S\; \backslash )\; droit\; \backslash ,\; y\; =\; 0,\; \backslash ,$

ou, laissant le u = Sy ,

$u\; +\; \backslash \; -\; laissé\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\}\; \{Q\}\; \backslash \; frac\; \{S\; \}\; \{S\}\; \backslash )\; droit\; \backslash ,\; u\; =\; 0.\; \backslash ,$

Formules impliquant des dérivés

Dans les acceptations de la section précédente, laisser le $P\_n^\; \{\}$ dénotent le dérivé de r^th de $P\_n$. (Nous avons mis le " ; r" ; entre parenthèses pour éviter la confusion avec un exposant.) le $P\_n^\; \{\}$ est un polynôme de   du n de degré ; &minus ;   ; r . Alors nous avons ce qui suit :
le

(orthogonalité) pour r fixe, le $P\_r^\; polynôme\; d\text{'}ordre\; \{\},\; ^\; de\; P\_\; \{r+1\}\; \{\},\; de\; ^\; de\; P\_\; \{r+2\}\; \{\}\; \backslash \; dots$ sont orthogonal, pesé par le $WQ^r\; \backslash ,$.
le $P\_n^\; (de\; formule\; du\; de\; Rodrigues\; généralisé\; de\; )\; \{\}$ est proportionnel au $\backslash \; au\; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; de\; W\; (x)^r\}\; \backslash \; frac\; \{d^\; \{n-r\}\}\; \{\}\; de\; dx^\; \{n-r\}\; \backslash \; à\; gauche\; (W\; (x)^n\; \backslash \; droit)$.
(équation) $P\_n^\; \{\}$ est solution de $\{\}\; de\; Q\; \backslash ,\; de\; y\; +\; (rQ\text{'}+\; L)\; \backslash ,\; +\; de\; y\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash ,$, où le _r de $\{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,$ est la même fonction que le _n de $\{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; les$, c., le _r de $\{\backslash \; lambda\}\; =\; -\; r\; \backslash \; est\; parti\; (\backslash \; frac\; \{r-1\}\; \{2\}\; Q\; +\; L\; \backslash \; droit)$
(équation, deuxième forme) $P\_n^\; \{\}$ est solution de $(RQ^\; \{r\}\; y\text{'})\; \text{'}+\; RQ^\; \{r-1\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

Il y a également quelques répétitions mélangées. Dans chacune de ces derniers, le de nombres un , le b , et le c dépendent du n et le r , et sont indépendant dans les diverses formules.
$P\_n^\; de$

{} = ^ de l'aP_ {n+1} {} + bP_n^ {} + ^ du cP_ {n-1} {}
$P\_n^\; \{\}\; =\; (ax+b)\; P\_n^\; \{\}\; +\; ^\; du\; cP\_\; \{n-1\}\; \{\}$
$QP\_n^\; \{\}\; =\; (ax+b)\; P\_n^\; \{\}\; +\; ^\; du\; cP\_\; \{n-1\}\; \{\}$

Il y a un énorme nombre d'autres formules impliquant des polynômes orthogonaux dans diverses manières. Voici un échantillon minuscule de elles, concernant Tchebychev, polynômes associés de Laguerre, et de Hermite :

$2\; \backslash ,\; T\_\; \{m\}\; (x)\; \backslash ,\; T\_\; \{n\}\; (x)\; =\; T\_\; \{m+n\}\; (x)\; +\; T\_\; \{manganèse\}\; (x)\; \backslash ,$
$H\_\; \{2n\}\; (x)\; =\; (-\; ^\; de\; 4)\; \{\}\; de\; n\; \backslash ,\; n\; !\; \backslash ,\; ^\; de\; L\_\; \{n\}\; \{(-\; 1/2)\}\; (x^2)$
$H\_\; \{2n+1\}\; (x)\; =\; 2\; (-\; ^\; de\; 4)\; \{\}\; de\; n\; \backslash ,\; n\; !\; \backslash ,\; x\; \backslash ,\; ^\; de\; L\_\; \{n\}\; \{(1/2)\}(x^2)$

Les polynômes orthogonaux classiques

La classe des polynômes résultant de l'équation décrite ci-dessus ont beaucoup applications importantes dans des secteurs tels que la physique mathématique, théorie , la théorie d'interpolation de de Matrices aléatoires , approximations d'ordinateur de , et beaucoup d'autres. Tous les ces polynôme les ordres sont équivalents, sous la graduation et/ou le décalage du domaine, et normalisation des polynômes, à des classes plus restreintes. Ceux ont limité les classes sont le " ; polynomials" orthogonal classique ;.

chaque Jacobi-comme l'ordre polynôme peut avoir son domaine décalé et/ou mesuré de sorte que son intervalle d'orthogonalité soit, et a le Q = 1  ; &minus ;   ; X ². Ils peuvent alors être normalisés dans le $P\_n^\; despolynômes\; de\; Jacobide\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêtas)\}$. Il y a plusieurs sous-classes importantes de ces derniers : Gegenbauer , Legendre , et deux types de Tchebychev .
Chaque Laguerre-comme l'ordre polynôme peut faire décaler son domaine, être mesuré, et/ou refléter de sorte que son intervalle d'orthogonalité soit $\backslash )$ infty, et a '' Q '' = '' x ''. Ils peuvent alors être normalisés dans le $L\_n^\; de\; \text{'}\text{'}\text{'}\; depolynômes\; de\; Laguerreassocié\; par\; \text{'}\text{'}\text{'}\; \{(\backslash \; alpha)\}$. Le $platde\; \text{'}\text{'}\text{'}\; de\; polynômes\; de\; Laguerre\; de\; \text{'}\text{'}\text{'}\; \backslash \; L\_n$ sont une sous-classe de ces derniers. * Chaque Hermite-comme l'ordre polynôme peut avoir son domaine décalé et/ou mesuré de sorte que son intervalle d'orthogonalité soit le $(-\; \backslash \; infty,\; \backslash \; infty)$, et a Q = 1 et L (0) = 0. Ils peuvent alors être normalisés dans le $H\_n\; despolynômes\; de\; Hermitede\; \backslash ,$.

Puisque tout le polynôme ordonnance résulter d'une équation de la façon décrits ci-dessus sont trivialement l'équivalent aux polynômes classiques, le classique réel des polynômes sont toujours employés.

Polynômes de Jacobi

Jacobi-comme des polynômes, une fois qu'ils ont fait décaler leur domaine et le mesuraient de sorte que l'intervalle de l'orthogonalité est, a toujours deux paramètres à déterminer. Ils sont le $\backslash \; alpha$ et le $\backslash \; beta$ dans les polynômes de Jacobi, $P\_n^\; écrit\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta)\}$. Nous avons le $Q\; (x)\; =\; 1\; x^2\; \backslash ,$ et $L\; (x)\; =\; \backslash \; bêta-\; \backslash \; alpha\; (\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta+2)\; \backslash ,\; x$. Le $\backslash \; alpha$ et le $\backslash \; beta$ sont exigés pour être plus grands que le &minus ; 1. (Ceci met la racine de L à l'intérieur de l'intervalle de l'orthogonalité.)

Quand le $\backslash \; alpha$ et le $\backslash \; beta$ ne sont pas égaux, ces polynômes ne sont pas symétriques au sujet du X = 0.

L'équation

$(1-x^2)\; \backslash ,\; y\; +\; (\backslash \; bêta\; \backslash \; alpha\; \backslash ,\; x)\; \backslash ,\; y\; +\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{avec\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; n\; (n+1+\; \backslash \; alpha+\; \backslash \; bêta)\; \backslash ,$

est l'équation de Jacobi de .

Pour d'autres détails, voir les polynômes de Jacobi de .

Polynômes de Gegenbauer

Quand on place le $de\; paramètres\; \backslash \; alpha$ et le $\backslash \; beta$ en polynômes de Jacobi égaux entre eux, on obtient Polynômes ultraspherical de Gegenbauer ou de . Ils sont $C\_n^\; écrit\; \{(\backslash \; alpha)\}$, et défini As $C\_n^\; de$

{(\ alpha)}(x) = \ frac {\ gamma (2 \ alpha \ ! + \ ! n) \, \ gamma (\ alpha \ ! + \ ! 1/2)} {\ Gamma) (de 2 \ alpha \, \ gamma (\ alpha \ ! + \ ! n \ ! + \ ! 1/2)}\ ! \ P_n^ {(\ alpha-1/2, \ alpha-1/2)}.

Nous avons le $Q\; (x)\; =\; 1\; x^2\; \backslash ,$ et $L\; (x)\; =\; -\; (2\; \backslash \; alpha+1)\; \backslash ,\; x$. le $\backslash \; alpha\; \backslash ,$ est exigé pour être plus grands que le &minus ; 1/2.

(Par ailleurs, l'étalonnage donné dans la table ci-dessous ne semblerait aucun raisonnable pour le α = 0 et ≠ 0 du n , parce qu'il placerait les polynômes à zéro. Dans ce cas, l'étalonnage admis place le $C\_n^\; \{(0)\}(1)\; =\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\}$ au lieu de la valeur donnée dans la table.)

Ignorant les considérations ci-dessus, le $de\; paramètre\; \backslash \; alpha$ est étroitement lié aux dérivés du $C\_n^\; \{(\backslash \; alpha)\}$ :

$C\_n^\; \{(\backslash \; alpha+1)\}\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; de\; 2\; \backslash \; alpha\; \backslash \; !\; \backslash \; \backslash \; ^\; C\_\; du\; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; \{n+1\}\; \{(\backslash \; alpha)\}(x)$

ou, plus généralement : $C\_n^\; de$

{(\ alpha+m)} (x) = \ frac {\ gamma (\ alpha)}{2^m \ gamma (\ alpha+m)} \ ! \ ^ de C_ {n+m} {(\ alpha)}(x).

Tout l'autre classique Jacobi-comme les polynômes (Legendre, etc.) sont cas spéciaux des polynômes de Gegenbauer, obtenus en choisissant une valeur du $\backslash \; alpha$ et choisissant un étalonnage.

Pour d'autres détails, voir les polynômes de Gegenbauer de .

Polynômes de Legendre

L'équation est

$(1-x^2)\; \backslash ,\; y\; -\; 2x\; \backslash ,\; y\; +\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{avec\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; n\; (n+1).\; \backslash ,$

C'est l'équation de Legendre de .

La deuxième forme de l'équation est $de$

(\, + de y') '\ lambda \, y = 0. \,

La relation de récurrence est $de$

(n+1) \, P_ {n+1} (x) = (2n+1) x \, P_n (x) - n \, P_ {n-1} (x). \,

Une répétition mélangée est ^ du $P\_\; de$

{n+1} {} (x) = ^ de P_ {n-1} {} (x) + (2n+1) \, P_n^ {} (x). \,

La formule de Rodrigues est $P\_n\; de$

(x) = \, \ frac {1} {2^n \, n !} \ \ frac {d^n} {dx^n} \ est parti (^n \ droit).

Pour d'autres détails, voir les polynômes de Legendre de .

Polynômes associés de Legendre

Le a associé les polynômes de Legendre, dénotés le $P\_\; \backslash \; ell^\; \{(m)\}\; (x)$ où $\backslash \; ell$ et $m$ sont nombre entier avec $0\; \{\backslash \; le\}\; m\}\; \{\backslash \; le\; \backslash \; ell$, sont définis As

$P\_\; \backslash \; ell^\; \{(m)\}\; (x)\; =\; (-\; ^m\; de\; 1)\; \backslash ,\; (1-x^2)^\; \{m/2\}\; \backslash \; P\_\; \backslash \; ell^\; \{\}\; (x).\; \backslash ,$

Le m entre parenthèses (pour éviter la confusion avec un exposant) est un paramètre. Le m entre parenthèses dénote le dérivé du m ^th du polynôme de Legendre.

Ces " ; polynomials" ; sont mal nommés -- ils ne sont pas des polynômes quand le m est impair.

Ils ont une relation de récurrence :

$)\; (\backslash \; ell+1-m\; \backslash ,\; ^\; de\; P\_\; \{\backslash \; ell+1\}\; \{(m)\}\; (x)\; =\; (2\; \backslash \; ell+1)\; x\; \backslash ,\; P\_\; \backslash \; ell^\; \{(m)\}\; (x)\; -\; (\backslash \; ell+m)\; \backslash ,\; ^\; de\; P\_\; \{\backslash \; ell-1\}\; \{(m)\}\; (x)\; \backslash ,$

Pour le fixe m , le $P\_m^\; d\text{'}ordre\; \{(m)\},\; ^\; de\; P\_\; \{m+1\}\; \{(m)\},\; de\; ^\; de\; P\_\; \{m+2\}\; \{(m)\}\; \backslash \; dots$ être orthogonal plus de 1, avec le poids 1.

Pour le donné m , $P\_\; \backslash \; ell^\; \{(m)\}\; (x)$ sont les solutions de

$(1-x^2)\; \backslash ,\; y\; -2xy\; +\; -\; \backslash \; frac\; \{m^2\}\; \{1-x^2\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{avec\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; aune\; (\backslash \; ell+1)\; \backslash ,$

Polynômes de Tchebychev

L'équation est

$(1-x^2)\; \backslash ,\; y\; -\; x\; \backslash ,\; y\; +\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{avec\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; n^2.\; \backslash ,$

C'est le ''' de l'équation de Tchebychev de ''' de .

La relation de récurrence est $T\_\; de$

{n+1} (x) = 2x \, T_n (x) - T_ {n-1} (x). \,

La formule de Rodrigues est , de $T\_n\; de$

(x) = \ frac {\ gamma) (de 1/2 \ racine carrée {1-x^2}} {(- ^n de 2) \ \ gamma (n+1/2)} \ \ frac {} de d^n} {dx^n \ laissé (^ {n-1/2} \ droit).

Ces polynômes ont la propriété qui, dans l'intervalle de l'orthogonalité, $T\_n\; de$

(x) = \ cos (n \, \ cos^ {- 1} (x)).

(Pour le prouver, employer la formule de répétition.)

Ceci signifie que tous leurs minimum et maximum locaux ont des valeurs de &minus ; 1 et +1, c'est-à-dire, les polynômes sont " ; level" ;. Pour cette raison, expansion des fonctions en termes de Tchebychev des polynômes est parfois employés pour le polynôme de approximations dans des bibliothèques mathématiques d'ordinateur.

Quelques auteurs emploient des versions de ces polynômes qui ont été décalés de sorte que l'intervalle de l'orthogonalité est ou.

Il y a également des polynômes de Tchebychev de du deuxième aimable, $U\_n\; dénoté\; \backslash ,$

Nous avons :

$U\_n\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n+1\}\; \backslash ,\; T\_\; \{n+1\}\; \text{'}.\; \backslash ,$

Pour d'autres détails, y compris les expressions pour les premiers les polynômes, voient les polynômes de Tchebychev de .

Polynômes de Laguerre

Le plus général Laguerre-comme des polynômes, après que le domaine ait été décalé et mesurés, sont les polynômes associés de Laguerre (également appelés les polynômes généralisés de Laguerre), $L\_n^\; dénoté\; \{(\backslash \; alpha)\}$. Il y a un $de\; paramètre\; \backslash \; alpha$, qui en peut être vrai nombre strictement plus grand que le &minus ; 1. Le paramètre est mis entre parenthèses pour éviter la confusion avec un exposant. Les polynômes de Laguerre de plaine sont simplement le $\backslash \; alpha\; =\; les\; 0$ version de ces derniers : $L\_n\; de$

(x) = L_n^ {(0)}(x). \,

L'équation est

$x\; \backslash ,\; y\; +\; (\backslash \; alpha\; +\; 1\; x)\; \backslash ,\; y\; +\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{avec\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; N.\; \backslash ,$

C'est l'équation de Laguerre de .

La deuxième forme de l'équation est

$(x^\; \{\backslash \; alpha+1\}\; \backslash ,\; e^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; y\text{'})\; \text{'}+\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; x^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash ,\; e^\; \{-\}\; de\; x\; \backslash ,\; y\; =\; 0.\; \backslash ,$

La relation de récurrence est $de$

(n+1) \, ^ de L_ {n+1} {(\ alpha)}(x) =) (de 2n+1+ \ alpha-x \, L_n^ {(\ alpha)}(x) -) (de n+ \ alpha \, ^ de L_ {n-1} {(\ alpha)}(x). \,

La formule de Rodrigues est $L\_n^\; de$

{(\ alpha)}(x) = \ frac {e^x de x^ {- \ alpha}} {n !} \ \ frac {d^n} {dx^n} \ est parti (x^ {} de n+ \ alpha \, e^ {- x} \ droit).

Le $de\; paramètre\; \backslash \; alpha$ est étroitement lié aux dérivés du $L\_n^\; \{(\backslash \; alpha)\}$ : $L\_n^\; de$

{(\ alpha+1)} (x) = - \ ^ L_ de frac {d} {dx} {n+1} {(\ alpha)}(x)

ou, plus généralement : $L\_n^\; de$

{(\ alpha+m)} (x) = (- ^ de L_ de ^m de 1) {n+m} {(\ alpha)}(x).

L'équation de Laguerre peut être manoeuvrée dans une forme qui est plus utile dans les applications : $u\; de$

= e^ de x^ {\ frac {\ alpha-1} {2}} {- x/2} L_n^ {(\ alpha)}(x)

est une solution de

$u\; +\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\}\; \backslash ,\; u\; +\; \backslash \; est\; parti\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha^2-1\}\; \{4x^2\}\; \backslash \; droit\; \backslash ,\; u\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{avec\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; n+\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha+1\}\; \{2\}.\; \backslash ,$

Ceci peut être encore manoeuvré. Quand = de $\backslash \; aune\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha-1\}\; \{2\}$ est un nombre entier, et $n\}\; \{\backslash \; GE\; \backslash \; ell+1$ : $u\; de$

= ^ de L_ d'e^ de x^ {\ aune} {- x/2} {n \ ell-1} {(2 \ ell+1)} (x)

est une solution de

$u\; +\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\}\; \backslash ,\; u\; +\; \backslash \; est\; parti\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; aune\; (\backslash \; ell+1)\}\; \{x^2\}\; \backslash \; droit\; \backslash ,\; u\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{avec\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; N.\; \backslash ,$

La solution est souvent exprimée en termes de dérivés au lieu des polynômes associés de Laguerre : $u\; de$

= ^ de L_ d'e^ de x^ {\ aune} {- x/2} {n+ \ aune} {} (x).

Cette équation surgit en mécanique quantique, dans la partie radiale de la solution de l'équation de Schrödinger de pour un atome d'un-électron.

Les physiciens emploient souvent une définition pour les polynômes de Laguerre qui est plus grande, par un facteur du $(n\; !)$, que la définition a employé ici.

Pour d'autres détails, y compris les expressions pour les polynômes premiers, voir les polynômes de Laguerre de .

Polynômes de Hermite

L'équation est

$y\; -\; 2xy\text{'}+\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{avec\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; 2n.\; \backslash ,$

C'est l'équation de Hermite de .

La deuxième forme de l'équation est

$(e^\; \{-\; x^2\}\; \backslash ,\; y\text{'})\; \text{'}+\; e^\; \{-\; x^2\}\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; y\; =\; 0.\; \backslash ,$

La troisième forme est

$(e^\; \{-\; x^2/2\}\; \backslash ,\; y)\; +\; (\{\backslash \; lambda\}\; +1-x^2)\; (e^\; \{-\; x^2/2\}\; \backslash ,\; y)\; =\; 0.\; \backslash ,$

La relation de récurrence est $H\_\; de$

{n+1} (x) = 2x \, H_n (x) - 2n \, H_ {n-1} (x). \,

La formule de Rodrigues est

$H\_n\; (x)\; =\; (-\; ^n\; de\; 1)\; \backslash ,\; e^\; \{x^2\}\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\}\; de\; d^n\}\; \{dx^n\; \backslash \; laissé\; (e^\; \{-\; x^2\}\; \backslash \; droit).$

Les polynômes de Hermite de premiers sont

$H\_0\; de\; (x)\; =\; 1\; \backslash ,$

$H\_1\; de\; (x)\; =\; 2x\; \backslash ,$

$H\_2\; de\; (x)\; =\; 4x^2-2\; \backslash ,$

$H\_3\; de\; (x)\; =\; 8x^3-12x\; \backslash ,$

$H\_4\; de\; (x)\; =\; 16x^4-48x^2+12\; \backslash ,$

On peut définir les fonctions de Hermite associées par

$\{\backslash \; livre\; parpoucecarré\}\; \_n\; (x)\; =\; ^\; (de\; h\_n)\; \{-\}\; de\; 1/2\; \backslash ,\; e^\; \{-\; x^2/2\}\; H\_n\; (x).\; \backslash ,$

Puisque le multiplicateur est proportionnel à la racine carrée de la fonction de poids, ces fonctions être orthogonal au-dessus du $(-\; \backslash \; infty,\; \backslash \; infty)$ sans la fonction de poids.

La troisième forme de l'équation ci-dessus, pour le Hermite associé fonctionne, est du $de$

\ livre par pouce carré + ({\ lambda} +1-x^2) \ livre par pouce carré = 0. \,

Les fonctions associées de Hermite surgissent dans beaucoup de secteurs des mathématiques et de la physique. En mécanique quantique, elles sont les solutions de l'équation de Schrödinger pour l'oscillateur harmonique. Elles sont également des fonctions propres (avec valeur propre (&minus ; du ^{n de de i)) de la transformée de Fourier continue .}

Quelques auteurs, en particulier probabilistes, emploient une définition alternative des polynômes de Hermite, avec une fonction de poids du $e^\; \{-\; x^2/2\}$ au lieu de $e^\; \{-\; x^2\}$. Ceci est généralement appelé avec le $He\; à\; deux\; lettres\; de\; symbole\; \backslash ,$. Il pourrait être défini As $He\_n\; de$

(x) = 2^ {- n/2} \, H_n \ parti (\ frac {x} {\ racine carrée {2}} \ droit).

Pour d'autres détails, voir les polynômes de Hermite de .

Tableau des polynômes orthogonaux classiques

Voir également

Ordres polynômes de du type binomial
Série de Fourier Généralisée par
Ordre de Sheffer de
Ordre d'Appell de
Calcul d'Umbral de
Mesure secondaire

.

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