Polynômes de Laguerre

Dans les mathématiques , les polynômes de Laguerre de , baptisés du nom de Edmond Laguerre (1834 - 1886), sont les solutions canoniques du de l'équation de Laguerre de :

$X\; \backslash ,\; de\; y\; +\; (1\; -\; x)\; \backslash ,\; y\; +\; n\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

ce qui est une équation linéaire de second ordre. Cette équation a les solutions non singulières seulement si le de n est un nombre entier non négatif.

Ces polynômes, $L\_0\; habituellement\; dénoté,\; L\_1,\; \backslash \; dots$, sont un ordre polynôme qui peut être défini par la formule de Rodrigues de

$L\_n\; (x)=\; \backslash \; frac\; \{e^x\}\; \{n\; !\}\backslash \; frac\; \{\}\; de\; d^n\}\; \{dx^n\; \backslash \; laissé\; (x^n\; d\text{'}e^\; \{-\; x\}\; \backslash \; droit).$

Ils sont le orthogonal entre eux en ce qui concerne le produit intérieur donné près

$\backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\_0^\; \backslash \; infty\; f\; (x)\; g\; (x)\; e^\; \{-\}\; de\; x\; \backslash ,\; dx.$

L'ordre des polynômes de Laguerre est un ordre de Sheffer de .

Les polynômes de Laguerre surgissent en mécanique quantique, dans la partie radiale de la solution de l'équation de Schrödinger de pour un atome d'un-électron.

Les physiciens emploient souvent une définition pour les polynômes de Laguerre qui est plus grande, par un facteur du $(n\; !)$, que la définition a employé ici.

Les polynômes premiers

Ce sont les polynômes premiers de Laguerre :

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width=" de align=" de align=" de align=" de align=" de align=" de align=" de align=" de ) x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120 \, de align=" de

n	$L\_n\; (x)\; \backslash ,$
0	$1\; \backslash ,$
1	$-x+1\; \backslash ,$
2	$\{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (x^2-4x+2)\; \backslash ,$
3	$\{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\}\; (-\; x^3+9x^2-18x+6)\; \backslash ,$
4	$\{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{24\}\}\; (x^4-16x^3+72x^2-96x+24)\; \backslash ,$
5	$\{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{120\}\}\; (-$
6	$\{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{720\}\}\; (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)\; \backslash ,$

Comme intégrale

Les polynômes peuvent être exprimés en termes d'intégrale

$L\_n\; (x)=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; de\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; oint\; \backslash \; frac\; \{e^\; \{-\; xt/(1-t)\}\}\; \{(1-t)\; \backslash ,\}\; de\; t^\; \{n+1\}\; \backslash \; ;\; dt$

là où la découpe entoure l'origine une fois dans un sens anti-horaire.

Définition récursive

Nous pouvons également définir les polynômes de Laguerre périodiquement, définissant les deux premiers polynômes As

$L\_0\; de\; (x)\; =\; 1\; \backslash ,$

$L\_1\; de\; (x)\; =\; 1\; -\; x\; \backslash ,$

et puis using la relation de récurrence pour tous $k\; \backslash \; geq\; 1$ :

$L\_\; \{k\; +\; 1\}\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; orge\; à\; quatre\; rangs\; ((2k\; +\; 1\; -\; x)\; L\_k\; (x)\; -\; k\; L\_\; \{k\; -\; 1\}\; (x)\; \backslash \; orge\; à\; quatre\; rangs)$

Polynômes généralisés de Laguerre

La propriété d'orthogonalité indiquée ci-dessus est équivalente à dire que si le X est une variable aléatoire exponentiellement distribuée du avec la fonction de densité de probabilité

puis

$E\; (L\_n\; (X)\; L\_m\; (X))\; =0\; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{toutes\; les\; fois\; que\}\; \backslash \; n\; \backslash quantiténette\; de\; substance\; explosive\; m.$

La distribution exponentielle n'est pas la distribution gamma de seul . Un ordre polynôme orthogonal en ce qui concerne la distribution gamma dont la fonction de densité de probabilité est, pour le $\backslash \; alpha>-1$,

(voir la fonction gamma ) est donné par l'équation de définition de Rodrigues pour les polynômes de Laguerre généralisés par : $L\_n^\; de$

{(\ alpha)}(x)= {e^x de x^ {- \ alpha} \ au-dessus de n !}{d^n \ au-dessus de} de dx^n \ laissé (x^ d'e^ {- x} {n+ \ alpha} \ droit).

Ceux-ci s'appellent également parfois les polynômes de Laguerre associés par . Les polynômes simples de Laguerre sont récupérés des polynômes généralisés en plaçant le α = 0 : $L^\; de$

{(0)}_n (x)=L_n (x).

Les polynômes associés de Laguerre sont orthogonaux au-dessus du $en\; ce\; qui\; concerne\; le$ x^\; de\; fonction\; depondération\backslash \; alpha\; e^\; \{-\; x\}$:\; x^\; d\text{'}e^\; du$ de$$

\ int_0^ {\ infty} {- x} \ alpha L_n^ {(\ alpha)}(x) L_m^ {(\ alpha)}dx= (x) \ frac {\ gamma (n+ \ alpha+1)} {n !}\ delta_ {nanomètre}.

L'intégrale suivante est nécessaire dans le traitement mécanique de quantum de l'atome d'hydrogène,

$\backslash \; int\_0^\; \{\backslash \; infty\}\; e^\; \{-\}\; x^\; x\; \{\backslash \; alpha+1\}\; \backslash \; left^2\; dx=\; \backslash \; frac\; \{(n+\; \backslash \; alpha)\; !\}\{n\; !\}(2n+\; \backslash \; alpha+1).$

Les polynômes associés de Laguerre obéissent l'équation suivante :

$X\; L\_n^\; \{(\backslash )\; d\text{'}alpha\; \backslash perfection\backslash \; perfection\}\; (x)\; +\; (\backslash \; alpha+1-x)\; L\_n^\; \{(\backslash )\; d\text{'}alpha\; \backslash \; perfection\}\; (x)\; +\; n\; L\_n^\; \{(\backslash \; alpha)\}(x)=0.\; \backslash ,$

Ils obéissent la relation de récurrence suivante pour le $n\; \backslash \; geq\; 1$ : ^ de $L\_\; de$

{n + 1} {(\ alpha)}(x) = \ frac {1} {n + 1} \ orge à quatre rangs ((2n + 1 + \ alpha - x) L_n^ {(\ alpha)}(x) - (n + \ alpha) ^ de L_ {n - 1} {(\ alpha)}(x) \ orge à quatre rangs).

Deux autres relations de récurrence qui sont parfois utiles sont ^ de $L\_\; de$

{n + 1} {(\ alpha)}(x) = ^ de L_ {n+1} {(\ alpha-1)}(x) + L_n^ {(\ alpha)}(x), ^ de $L\_\; de$

{n + 1} {(\ alpha)}(x) = \ frac {1} {n + 1} \ orge à quatre rangs ((n + 1 + \ alpha) L_n^ {(\ alpha)}(x) - ^ de x L_ {n} {(\ alpha+1)} (x) \ orge à quatre rangs).

Exemples explicites des polynômes généralisés de Laguerre

Le polynôme généralisé de Laguerre du degré $n$ est (comme suit de s'appliquer le théorème de Leibniz de pour la différentiation d'un produit à la formule de définition de Rodrigues)

$L\_n^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\_\; \{m=0\}\; ^n\; \{n+\; \backslash \; alpha\; \backslash \}\; choisissent\; nanomètre\; \backslash \; frac\; \{(-)\; ^m\; x\}\; \{m\; !\}$ de ce que nous voyons que le coefficient de la principale limite est le $(-\; 1)\; ^n/n\; !$ et la limite constante (qui de est également la valeur à l'origine) est $\{n+\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choisissent\; n\}.$

Les polynômes de Laguerre généralisés par premiers sont : $L\_0^\; de$

{(\ alpha)} (x) = 1 $L\_1^\; de$

{(\ alpha)}(x) = - x + \ alpha +1 $L\_2^\; de$

{(\ alpha)}(x) = \ + du frac {x^2} {2} - (\ alpha + 2) x \ frac {(\ alpha+2) (\ alpha+1)} {2} $L\_3^\; de$

{(\ alpha)}(x) = \ frac {- x^3} {6} + \ 2} - de frac {(\ alpha+3) x^2} {\ frac {(\ alpha+2) (\ alpha+3) x} {2} + \ frac {(\ alpha+1) (\ alpha+2) (\ alpha+3)} {6}

Dérivés des polynômes généralisés de Laguerre

La différenciation de la représentation de série entière des temps polynômes généralisés de Laguerre un $k$ mène à

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; d^k\; de\; mathrm\}\; \{\backslash \; x^k\; de\; mathrm\; d\}\; L\_n^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)$

(- ^ de L_ de ^k de 1) {n-k} {(\ alpha+k)} (x) \.

Relation aux polynômes de Hermite

Les polynômes généralisés de Laguerre sont liés aux polynômes de Hermite de

$H\_\; \{2n\}\; (x)\; =\; (-\; ^n\; de\; 1)\; \backslash \; 2^\; \{2n\}\; \backslash \; n\; !\; \backslash \; L\_n^\; \{(-\; 1/2)\}\; (x^2)$

et

$H\_\; \{2n+1\}\; (x)\; =\; (-\; ^n\; de\; 1)\; \backslash \; 2^\; \{2n+1\}\; \backslash \; n\; !\; \backslash \; x\; \backslash \; L\_n^\; \{(1/2)\}\; (x^2)$

là où le $H\_n\; (x)$ sont les polynômes de Hermite de basés sur le $de\; fonction\; de\; pondération\; \backslash \; exp\; \{(-\; x^2)\}$, le soi-disant " ; le version." du physicien ;

Pour cette raison, les polynômes généralisés de Laguerre surgissent dans le traitement de l'oscillateur harmonique de Quantum de .

Relation aux fonctions hypergéométriques

Les polynômes de Laguerre peuvent être définis en termes de fonctions hypergéométriques spécifiquement les fonctions hypergéométriques confluentes As $L^\; de$

{(\ alpha)}_n (x) = {n+ \ alpha \ choisissent n} M (-, de n \ alpha+1, x) = \ frac {(\ alpha+1) _n} {n !} \, _1F_1 (-, de n \ alpha+1, x)

là où le $(a)\; \_n$ est le symbole (que de Pochhammer de dans le ce cas de représente le factoriel en hausse).

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